§ О26. Периодические решения

Как мы знаем, множество решений L линейной m-мерной системы

x′ = A(t)x + f(t)

(1)

представляет собой m-мерное гиперпространство в линейном пространстве C определенных на всей оси непрерывных функций со значениями в R^m. Поэтому для выделения единственного решения в общем положении можно взять пересечение множества решений с некоторым гиперпространством I коразмерности m, т. е. множеством уровня m-мерного функционала (системы m функционалов) на пространстве C. (В нелинейном случае общего положения множество решений — это m-параметрическое семейство и для выделения единственного решения (т. е. для выделения единственного набора параметров) нужно добавить еще m скалярных алгебраических уравнений). В случае задачи Коши, например, в качестве такого функционала мы берем

F(x) = x(t0)

и единственное решение — это единственная точка пересечения L и множества I = {x ∈ C: F(x) = x₀}. Очевидно, codim I = m. В случае простейшей двухточечной краевой задачи для уравнения (1)

x(t1) = a1, ..., xl(t1) = al, xl+1(t2) = al+1, ..., xm(t2) = am

функционал F имеет вид

F(x) = (x1(t1), ..., xl(t1), xl+1(t2), ..., xm(t2)),

а множество I = {x ∈ C: F(x) = (a₁, ..., a_m)} (оно, как легко видеть, также имеет коразмерность m).

Еще одна широко распространенная задача получается, если в качестве F взять функционал вида

F(x) = x(t0) – x(t0 + T),

а в качестве I — ядро этого функционала.

Задача О26.1. Докажите, что codim I = m.

Последняя задача обычно называется периодической краевой задачей или задачей о периодических решениях. Это название объясняется тем, что в случае непрерывной T-периодической правой части уравнения (1) (т. е. если A(t) ≡ A(t + T) и f(t) ≡ f(t + T)) решение уравнения (1), удовлетворяющее условию F(x) = 0, т. е. условию

x(t0) = x(t0 + T),

является T-периодической функцией.

Задача О26.2. Докажите последнее утверждение (воспользуйтесь, в частности, единственностью решения задачи Коши для уравнения (1)).

В силу задачи О26.1 интуитивно ясно, что в общем положении задача о периодических решениях (линейного) уравнения (1) однозначно разрешима.

В общем случае задача о периодических решениях — это задача о нахождении T-периодического решения уравнения

x′ = f(t, x)

(2)

с T-периодической по t правой частью: f(t, x) ≡ f(t + T, x). Эта задача весьма важна в приложениях, поскольку периодические решения описывают периодические колебательные процессы в реальных системах. Особенно часто такие колебания возникают в механических и электрических устройствах. Поэтому теория периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений необычайно широка и очертить ее границы сколь-нибудь четко очень трудно. В этом очерке мы опишем простейшие начала теории периодической краевой задачи, отсылая читателя к другим разделам данной книги (см. предметный указатель) и списку литературы.

Линейная задача о периодических решениях (т. е. задача о периодических решениях уравнения (1) с непрерывными T-периодическими функциями A(t) и f(t); последнее предполагается всюду ниже, поскольку периодические решения уравнений с непериодическими по t правыми частями существуют лишь в исключительных случаях) обладают всеми типичными свойствами линейных алгебраических уравнений: сумма решений однородной задачи есть также ее решение, сумма решений однородной и неоднородной задач есть решение неоднородной и т. д. Менее тривиальное и более важное утверждение содержит следующая

Теорема о разрешимости линейной задачи о периодических решениях. Уравнение (1) при любой T-периодической непрерывной функции f(t) имеет единственное T-периодическое решение в том и только том случае, если единственным T-периодическим решением соответствующей однородной задачи является нулевое решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть Φ(t) — нормальная в нуле фундаментальная матрица однородного уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

x(t) = Φ(t)x0 + Φ(t) ∫ t 0 Φ–1(s)f(s) ds.

(3)

Чтобы это решение было T-периодическим, как легко видеть, необходимо и достаточно, чтобы x(T) = x₀, т. е.

[I – Φ(T)]x0 = Φ(T) ∫ T 0 Φ–1(s)f(s) ds.

(I — единичный оператор на R^m). Если однородное уравнение имеет только нулевое T-периодическое решение, то матрица I – Φ(T) обратима. Тогда решение уравнения (1), начинающееся с

x0 = [I – Φ(T)]–1Φ(T) ∫ T 0 Φ–1(s)f(s) ds,

(4)

является тем самым единственным T-периодическим решением. Обратное утверждение теоремы очевидно.

Задача О26.3. Восстановите детали доказательства, в частности, покажите, что I – Φ(T) обратима, если и только если у однородного уравнения нет ненулевых T-периодических решений.

Утверждение этой теоремы допускает простую и полезную операторную трактовку. Обозначим через CT и CT1 пространства непрерывных и, соответственно, непрерывно дифференцируемых функций x: [0, T] →Rm. Для любой функции x ∈ CT1 положим

(Lx)(t) = x′(t) – A(t)x(t),

Задача О26.4. Проверьте, что L линейно действует из C_T¹ в C_T.

Фундаментальным (как и в общей теории краевых задач) является тот факт, что если оператор L обратим, то L^–1 представим в виде

(L–1f)(t) = ∫ T 0 G(t, s)f(s) ds    (t ∈ [0, T]),

(5)

т. е. решение периодической задачи для уравнения (1) (если оно существует и единственно) на [0, T] имеет вид

x(t) = ∫ T 0 G(t, s)f(s) ds.

Действительно, подставляя (4) в (3) после несложных преобразований получаем

x(t) = ∫ T 0 Φ(t){[I – Φ(T)]–1Φ(T) + α(t, s)T}Φ–1(s)f(s) ds ≝

≝ ∫ T 0 G(t, s)f(s) ds    (t ∈ [0, T]),

где

α(t, s) = { 1 при 0 ≤ s ≤ t, 0 при t < s ≤ T.

Задача О26.5. Докажите, что выписанная выше функция Грина G(t, s) периодической краевой задачи обладает следующими свойствами:

1) ∂G(t, s)/∂t = A(t)G(t, s) + f(t) при всех t ≠ s;

2) G(t, s) непрерывна при t ≠ s;

3) lim_s→t–0G(t, s) – lim_s→t+0G(t, s) = I.

Представление (5) оператора L^–1 оказывается полезным при исследовании нелинейных периодических краевых задач. Например, задача о T-периодических решениях нелинейного уравнения

x′ = A(t)x + f(t, x)

(6)

в случае, когда его линейная часть

x′ = A(t)x

(7)

имеет только нулевое T-периодическое решение сводится к решению нелинейного интегрального уравнения

x(t) = ∫ T 0 G(t, s)f[s, x(s)] ds.

(8)

Задача О26.6. Докажите, что решения уравнения (8), удовлетворяющие условию x(0) = x(T) и только они являются сужениями на отрезок [0, T] T-периодических решений уравнения (6).

Последнее утверждение позволяет сводить задачу о периодических решениях уравнения (6) к задаче о неподвижных точках интегрального оператора, фигурирующего в правой части уравнения (8). А именно, пусть C_T — банахово пространство определенных на [0, T] непрерывных функций со значениями в R^m периодических в том смысле, что x(0) = x(T). Норма в C_T — это обычная норма пространства C. Определим в C_T оператор f формулой

(Fx)(t) = ∫ T 0 G(t, s)f[s, x(s)] ds    (t ∈ [0, T]).

Задача О26.7. Докажите, что f действует из C_T в C_T и его неподвижные точки и только они являются сужениями на [0, T] T-периодических решений уравнения (6).

Таким образом, условия на A и f в уравнении (6), обеспечивающие наличие у F неподвижной точки являются одновременно и условиями существования периодических решений этого уравнения. Простейшее утверждение в этом направлении —

Теорема о разрешимости нелинейной задачи о периодических решениях. Пусть:

1) A(t) и f(t, x) — непрерывные T-периодические по t функции;

2) однородное уравнение (7) имеет только нулевое T-периодическое решение;

3) функция f удовлетворяет при любом t условию Липшица по x с константой L, причем, K = TLsup_{0≤t, s≤T}||G(t, s)|| < 1 (здесь G(t, s) — функция Грина периодической задачи для уравнения (1)).

Тогда уравнение (6) имеет единственное T-периодическое решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Теорема будет доказана, если мы покажем, что в ее условиях f является сжимающим оператором в C_T (тогда в силу принципа сжимающих отображений у него будет существовать единственная неподвижная точка). Последнее гарантирует следующая цепочка равенств и неравенств

||Fx – Fy||CT = max 0 ≤ t ≤ T || ∫ T 0 G(t, s)f[s, x(s)] ds – ∫ T 0 G(t, s)f[s, y(s)] ds || ≤

≤ max 0 ≤ t ≤ T ∫ T 0 ||G(t, s)||·||f[s, x(s)] – f[s, y(s)]|| ds ≤

≤ ∫ T 0 sup 0 ≤ t, s ≤ T ||G(t, s)||·L·||x(s) – y(s)|| ds ≤

≤ ∫ T 0 sup 0 ≤ t, s ≤ T ||G(t, s)||·L·||x – y||СT ds =

= TL· sup 0 ≤ t, s ≤ T ||G(t, s)||·L·||x – y||СT = K||x – y||СT

(по условию 3 теоремы K < 1).

В общем случае выписать функцию Грина, разумеется, невозможно, поэтому в условии 3 теоремы при исследовании конкретных уравнений обычно используют те или иные оценки.

В заключение этого краткого очерка еще раз подчеркнем, что теория периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений чрезвычайно обширна. В той или иной мере к ней можно отнести, в частности, очерки Динамические системы, Динамические системы на плоскости, Бифуркация, Вынужденные колебания линейных систем, Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной, Принцип усреднения, Теория возмущений, Топологические методы в теории дифференциальных уравнений и др. в данной книге.

Литературные указания. Задача о периодических решениях исследуется во многих разделах теории обыкновенных дифференциальных уравнения во многих областях (см., напр., цит. очерки) Поэтому литература весьма обширна. Мы назовем здесь [Андронов — Витт — Хайкин, Зубов, Красносельский, Коддингтон — Левинсон, Немыцкий — Степанов, Хартман, Хейл, Hale, Rouche — Mawhin].

Задачи. О26.8. Покажите, что ни одно одномерное вещественное автономное уравнение не имеет непостоянных периодических решений.

О26.9. Пусть f(t, x) в уравнении (2) удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Коши — Пикара и T-периодична по t. Докажите, что неподвижные точки оператора g0T сдвига за период и только они служат начальными значениями T-периодических решений этого уравнения.

О26.10. Оператор gt0t0+T сдвига за период по траекториям однородной системы (1) называют оператором монодромии данной периодической задачи. Покажите, что операторы монодромии при различных t0 подобны и, следовательно, у них одинаковый спектр. Точки спектра (собственные значения) оператора монодромии называются мультипликаторами периодической краевой задачи.

О26.11. Докажите, что мультипликаторы μi T-периодической краевой задачи для автономной системы x′ = Ax связаны с собственными значениями λi матрицы A равенствами μi = eTλi.

О26.12. Докажите, что периодическое решение уравнения (1) экспоненциально устойчиво в том и только том случае, если все мультипликаторы соответствующей однородной задачи по модулю меньше единицы.

О26.13. Пусть φ — T-периодическое решение автономного уравнения x′ = f(x) с дифференцируемой правой частью. Покажите, что единица всегда является мультипликатором оператора монодромии T-периодической краевой задачи для системы в вариациях x′ = A (t)x(A(t) = f ′[φ(t)]), соответствующий решению φ. Этим, в частности, объясняется тот факт, что непостоянное периодическое решение автономного уравнения не может быть асимптотически устойчивым (см. очерк Динамические системы).

О26.14. Почему в условиях существования L^–1 величина sup_{0≤s, t≤T}||G(t, s)|| конечна?

О26.15. Докажите, что свойства 1) — 3) в задаче О26.5 в тексте очерка однозначно определяют функцию Грина периодической краевой задачи.

О26.16. Сопряженной к периодической краевой задаче для уравнения (1) называется задача о T-периодических решениях уравнения

y′ = A*(t)y + g(t),

где A^*(t) — сопряженная к A(t) матрица. Докажите, что однородные сопряженные друг к другу периодические краевые задачи имеют одинаковое число линейно независимых T-периодических решений.

О26.17. Пусть φ₁, ..., φ_l (и, соответственно, ψ₁, ..., ψ_l) — линейно независимые решения однородной системы (7) (и, соответственно, сопряженной к ней системы). Докажите, что система (1) с данной непрерывной T-периодической функцией f имеет T-периодическое решение φ, если и только если

∫ T 0 f(t)ψi(t) dt = 0

при всех i = 1, ..., l. В этом случае все T-периодические решения уравнения (1) имеют вид

x(t) = φ(t) + l ∑ i = 1 ciφi(t)

(c_i — произвольные постоянные).

О26.18. Пусть система (1) имеет ограниченное на [0, ∞) решение φ. Докажите, что тогда она имеет по крайней мере одно T-периодическое решение. (Один из возможных путей доказательства таков. Покажите, что оператор gT0 сдвига за период по траекториям системы (1) переводит отрезок, соединяющий произвольные точки x0 и y0, в Rm в отрезок, соединяющий точки gT0(x0)и gT0(y0). Вследствие этого, gT0 переводит выпуклое замкнутое ограниченное множество co {φ(0), φ(T), φ(2T),...} (здесь co Ω — выпуклая замкнутая оболочка множества Ω) в себя. Тогда в силу принципа Шаудера оператор gT0 имеет по крайней мере одну неподвижную точку, являющуюся начальным значением T).

В следующих четырех задачах предполагается, что в уравнении (6) A(t) и f(t, x) непрерывны и T-периодичны по t, однородное уравнение (7) не имеет ненулевых T-периодических решений, а ||f(t, x)|| ≤ M при всех t и x.

О26.19. Докажите, что оператор

(Fx)(t) = ∫ T 0 G(t, s)f[s, x(s)] ds

действует в C_T и непрерывен.

О26.20. Докажите, что f вполне непрерывен в C_T.

О26.21. Докажите, что f переводит шар пространства C_T с центром в нуле радиуса r = TM·sup_{0≤t, s≤T}||G(t, s)|| в себя.

О26.22. С помощью принципа Шаудера покажите, что уравнение (6) имеет по крайней мере одно T-периодическое решение.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 20 Mar 2000, 15:52.
Last modified 30 Apr 2002.