§ 3.5. Линейные уравнения порядка n

Линейное скалярное уравнение порядка n сводится стандартной заменой (см. п. 1.4.5) к линейной нормальной системе, поэтому основные факты теории таких уравнений являются простыми следствиями из теории линейных систем. Вместе с тем линейные скалярные уравнения представляют более частный объект по сравнению с общими линейными системами и в ряде случаев допускают более полное исследование. В настоящем параграфе мы кратко опишем лишь основные следствия из теории систем и отметим присущую скалярным уравнениям специфику.

3.5.1. Сведéние линейных уравнений к линейным системам. Линейное уравнение n-го порядка

y(n) + αn(t)y(n–1) + ... + α2(t)y′ + α1(t)y = β(t)

(ЛУ)

заменой переменных

x = ( y y′ : y(n–1) ) = J (n–1)y

(ЗП)

сводится к системе

x′ = A(t)x + b(t),

(ЛС)

где

A(t) = ⌈ | | | | | | ⌊ 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 : : : · · · : 0 0 0 ... 1 –α1(t) –α2(t) –α3(t) ... –αn(t) ⌉ | | | | | | ⌋ ,   b(t) = ⌈ | | | | | | ⌊ 0 0 : 0 β(t) ⌉ | | | | | | ⌋

(1)

Это утверждение является частным случаем утверждения 1.4.5 о сведении к нормальной системе. Будем предполагать, что

αk, β: J → R непрерывны,

а неизвестная функция y принимает значения в K. Тогда все основные факты теории (ЛУ) могут быть получены как следствия соответствующих фактов теории (ЛС). Однако поскольку матрица A(t) и вектор b(t) для (ЛУ) имеют весьма специальный вид (1), многие теоремы допускают конкретизацию и усиление. Приведем несколько утверждений.

3.5.2. Утверждение о структуре множества решений (ЛОУ) и (ЛУ).

1º Множество Y всех решений линейного однородного уравнения

y(n) + αn(t)y(n–1) + ... + α2(t)y′ + α1(t)y = 0

(ЛОУ)

есть n-мерное подпространство пространства Cⁿ = Cⁿ(J, K).

2º Система решений (ЛОУ) φ₁, φ₂, ..., φ_n является базисом Y (фундаментальной системой решений (ЛОУ)), если и только если определитель Вронского (вронскиан) этой системы W(t) ≝ det Φ(t), где

Φ(t) = ⌈ | | | | | | ⌊ φ1 φ2 ... φn φ′1 φ′2 ... φ′n : : · · · : φ1(n–1) φ2(n–1) ... φn(n–1) ⌉ | | | | | | ⌋ ,

отличен от нуля в какой-нибудь точке t₀ ∈ J; в этом случае он не равен нулю в любой точке t ∈ J.

3º Общее решение φ_он неоднородного уравнения выражается через общее решение φ_оо однородного и любое частное решение φ_чн неоднородного:

φон = φоо + φчн.

4º Если β(t) есть линейная комбинация β_i(t), то φ_чн — такая же линейная комбинация решений φ_чнi, соответствующих правым частям β_i(t).

5º Одно из частных решений неоднородного уравнения (ЛУ), соответствующее начальному условию J ^(n–1)y(t₀) = 0, можно выразить через фундаментальную систему решений φ₁, ..., φ_n и β с помощью формулы вариации произвольных постоянных:

φчн(t) = n ∑ k = 1 φk(t) ∫ t t0 Ψnk(s) W(s) β(s) ds,

где Ψ_nk — алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя Вронского.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В силу (ЗП), если y = φ(t) — решение (ЛУ), то x = colon (φ(t), φ′(t), ..., φ^(n–1)(t)) — решение (ЛС). Поэтому утверждение 1º следует из п. 3.2.1, утверждение 2º — из п. 3.2.4, утверждение 3º и 4º — из п. 3.1.7. Наконец, утверждение 5º есть следствие формулы вариации произвольной постоянной (9) из § 3.2. В самом деле, функция

x = ∫ t t0 Φ(t)Φ–1(s)b(s) ds

есть частное решение (ЛС), удовлетворяющее начальному условию x(t₀) = 0. В соответствии с (ЗП) ее первая компонента y = x₁ — частное решение (ЛУ), удовлетворяющее начальному условию J ^(n–1)y(t₀) = 0. Остается заметить, что по известному правилу вычисления обратной матрицы

Φ–1(s)b(s) = 1 det Φ(s) ⌈ | | | | | | ⌊ Ψ11(s) Ψ21(s) ... Ψn1(s) Ψ12(s) Ψ22(s) ... Ψn2(s) : : · · · : Ψ1n(s) Ψ2n(s) ... Ψnn(s) ⌉ | | | | | | ⌋ ⌈ | | | | | | ⌊ 0 0 : β(s) ⌉ | | | | | | ⌋ =

= β(s) W(s) ⌈ | | | | | | ⌊ Ψn1(s) Ψn2(s) : Ψnn(s) ⌉ | | | | | | ⌋ ,

и поэтому

y = x1 = ( Φ(t) ∫ t t0 Φ–1(s)b(s) ds ) 1 = n ∑ k = 1 φk(t) ∫ t t0 Ψnk(s) W(s) β(s) ds.

3.5.3. Утверждение о фундаментальной системе решений (ЛАОУ). Для линейного автономного однородного уравнения

y(n)+ αny(n – 1) + ... + α2y′ + α1y = 0

(ЛАОУ)

следующие функции образуют фундаментальную систему решений:

ykl = eλk t t l–1   (k = 1, ..., p; l = 1, ..., rk),

(2)

где λ_k — корни характеристического уравнения

λn + αnλn – 1 + ... + α2λ + α1 = 0,

(3)

совпадающие с собственными значениями соответствующей матрицы A, r_k — их кратности.

Существенное отличие от аналогичного утверждения для (ЛАОС) заключается в том, что здесь нет неопределенных коэффициентов: если все корни характеристического уравнения и их кратности найдены, то фундаментальная система решений выписывается явно.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем сначала, что характеристический многочлен p(λ) равен det (λI – A), и следовательно, его корни (называемые характеристическими корнями, или характеристическими числами (ЛАОУ)) являются собственными значениями матрицы A той же кратности. Для этого положим

pk(λ) = | | | | | | | | λ –1 0 ... 0 0 λ –1 ... 0 0 0 λ ... 0 : : : · · · : ak ak+1 ak+1 ... λ + an–1 | | | | | | | | .

Очевидно, p₀(λ) = det (λI – A). Далее, если разложить определитель p_k(λ) по элементам первого столбца, то получим

pk(λ) = λ | | | | | | | | λ –1 0 ... 0 0 λ –1 ... 0 0 0 λ ... 0 : : : · · · : ak+1 ak+2 ak+3 ... λ + an–1 | | | | | | | | +

+ (–1)n–k–1ak | | | | | | | | –1 0 0 ... 0 λ –1 0 ... 0 0 λ –1 ... 0 : : : · · · : 0 0 0 ... –1 | | | | | | | | =

= λpk+1(λ) + (–1)n–k–1ak(–1)n–k–1 = λpk+1(λ) + ak.

Учитывая, что p_n–1(λ) = λ + a_m–1, получаем требуемое равенство:

det (λI – A) = p0(λ) = λp1(λ) + a0 = λ(λp2(λ) + a1) + a0 = ...

... = λ(λ ... λ(λ(λ + an–1) + an–2) + ... + a1) + a0 = p(λ).

Теперь докажем, что если λ — характеристическое число (ЛАОУ) кратности r (напомним, что в этом случае p(λ) = p′(λ) = ... = p^(r–1)(λ) = 0), то функции

y = eλtt l–1   (l = 1, 2, ..., r)

являются решениями (ЛАОУ). Это проверяется непосредственным подсчетом. При этом нам будет удобно, учитывая, что y является функцией двух переменных t и λ, писать ∂ⁱy(t)/∂tⁱ вместо y⁽ⁱ⁾(t). Заметим, что

y(t) = eλt tl–1 = ∂ l ∂λl eλt.

Поэтому

y(n)(t) + an–1y(n–1)(t) + ... + a0y(t) =

= ∂n ∂tn ∂l ∂λl eλt + an–1 ∂n–1 ∂tn–1 ∂l ∂λl eλt + ... + a0 ∂l ∂λl eλt =

= ∂l ∂λl ∂n ∂tn eλt + ∂l ∂λl an–1 ∂n–1 ∂tn–1 eλt + ... + a0 ∂l ∂λl eλt =

= ∂l ∂λl ( ∂n ∂tn eλt + an–1 ∂n–1 ∂tn–1 eλt + ... + a0eλt ) =

∂l ∂λl (λneλt + an–1λn–1eλt + ... + a0eλt) =

= ∂l ∂λl (p(λ)eλt) = l ∑ i = 0 Clip(l–i)(λ)tieλt = 0,

что и требовалось доказать.

Линейная независимость набора (2) следует из леммы 3.4.5 о квазимногочлене поскольку линейная комбинация функций (2) очевидно имеет вид

P(t) = p ∑ k = 1 Pk(t)eλk t,

где P_k(t) — многочлены, степени меньшей r_k.

3.5.4. Пример. Найдем общее решение уравнения вертикального гармонического осциллятора при наличии внешней силы с помощью сформулированных здесь утверждений:

x′′ + ω2x = g.

Решая характеристическое уравнение

λ2 + ω2 = 0,

находим корни:

λ1,2 = ± ωi,    r1, 2 = 1.

Поэтому общее решение однородного уравнения есть

x = C1eiωt + C2e–iωt.

Частное решение найдем по формуле вариации произвольных постоянных:

W(t) = | eiωt e–iωt iωeiωt –iωe–iωt | = –2iω;

A21(t) = –e–iωt,    A22(t) = eiωt,

и следовательно,

xчн(t) = eiωt ∫ t 0 A21(s) W(s) g ds + e–iωt ∫ t 0 A22(s) W(s) g ds =

= geiωt ∫ t 0 e–iωs 2iω ds – ge–iωt ∫ t 0 eiωs 2iω  ds.

Нетрудно видеть, что второе слагаемое вместе со знаком "–" есть величина, сопряженная к первому слагаемому. Поэтому

xчн(t) = 2g·Re eiωt ∫ t 0 e–iωs 2iω ds = g ω2 Re eiωt(–1 + e–iωt) =

= g ω2 (–eiωt – 1) =  g ω2 (1 – cos ωt).

Если β(t) есть квазимногочлен, то частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов. В данном случае, очевидно, константа g/ω² также будет частным решением.

Как и в случае систем, найденную комплексную фундаментальную систему решений можно преобразовать в вещественную:

u1(t) = Re eiωtcos ωt,   v1(t) = Im eiωt = sin ωt.

Таким образом, следующая формула дает общее вещественное решение данного уравнения:

y(t) = C1cos ωt + C2sin ωt + g ω2    (C1, C2 ∈ R).

3.5.5. Контрольные вопросы

3.5.5.1. Покажите, что задача Коши

x′′ + x′sin t + tx = 1,

x(0) = 0,    x′(0) = 1

имеет единственное решение на всей оси R.

3.5.5.2. Почему функции фундаментальной системы решений {φ₁(t), φ₂(t)} уравнения y′′ + α₂(t)y′ + α₁(t)y = 0 не могут иметь экстремум в одной и той же точке?

3.5.5.3. Покажите, что если сумма двух решений (ЛУ) является его решением, то это уравнение однородно.

3.5.5.4. Может ли определитель Вронского линейно независимой системы {φ₁(t), ..., φ_n(t)} n раз непрерывно дифференцируемых скалярных функций тождественно равняться нулю?

3.5.5.5. Найдите фундаментальные системы решений уравнений y′′ + y′ – 2y = 0, y^(IV) + 4y = 0, y′′ – 2y′ + y = 0.

3.5.5.6. По заданному характеристическому многочлену p(λ) = (λ + 1)²(λ² + 1)(λ – 1) (ЛАОУ) пятого порядка найдите фундаментальную систему решений. Найдите вещественную фундаментальную систему решений.

3.5.6. Задачи

3.5.6.1. Докажите, что задача Коши

t2x′′ + tx′ + x = 0,

x(t0) = x0,    x′(t0) = x1

имеет единственное решение на любом промежутке, не содержащем точку 0.

3.5.6.2. Определим на C(J, Kⁿ) оператор π со значениями в C(J, K) равенством

πx(t) = π(x1(t), ..., xn(t)) = x1(t).

Пусть e и E — пространства решений (ЛОУ) и соответствующей (ЛОС). Покажите, что π отображает E на e линейно и изоморфно. Найдите π^–1 на e.

3.5.6.3. Покажите, что любое ограниченное на всей оси решение уравнения y′′ + α₂(t)y′ + α₁(t)y = b(t) с ограниченными на всей оси α₁(t), α₂(t) и b(t) имеет ограниченные на всей оси первую и вторую производные.

3.5.6.4. Уравнения

y′′ – 2ty′ + 2λy = 0,

(1 – t2)y′′ – 2ty′ + λ(λ + 1) = 0,

и

(1 – t2)y′′ – ty′ + λ2y = 0

называются соответственно уравнениями Эрмита, Лежандра и Чебышева. Покажите, что при натуральных λ эти уравнения имеют имеют полиномиальные степени λ решения. (После соответствующей нормировки эти функции называются многочленами Эрмита, Лежандра и Чебышева, соответственно.

3.5.6.5. Пусть y = φ(t) и y = ψ(t) — решения уравнений y′′ + p(t)y = 0 и y′′ + q(t)y = 0, соответственно, причем φ(t₀) = ψ(t₀) и φ′(t₀) = ψ′(t₀). Пусть на некотором интервале (t₀, t₁) выполнены неравенства q(t) > p(t), φ(t) > 0 и ψ(t) > 0. Докажите, что на этом интервале отношение ψ(t)/φ(t) убывает.

3.5.6.6. Докажите, что если a > 0 и ∫t0∞|b(s)|ds < ∞, то все решения уравнения y′′ + [a + b(t)]y = 0 ограничены на [t0, ∞).

3.5.6.7. Найти все λ ∈ C, при которых у уравнения y′′ + λy = b(t) существует единственное ограниченное на всей оси решение при любой непрерывной ограниченной на всей оси функции b(t).

3.5.6.8. Пусть ненулевая функция y = φ(t) является решением уравнения

y′′ + α2(t)y′ + α1(t)y = 0.

Найдите фундаментальную систему решений этого уравнения.

3.5.6.9. Докажите, что если W(t) — определитель Вронского произвольной фундаментальной системы решений (ЛОУ), то

W(t) = exp ( – ∫ t 0 αn(s) ds )

(формула Лиувилля — Остроградского ).

3.5.6.10. Докажите, что если в уравнении ay′′ + by′ + c = 0 коэффициенты a, b и c положительны, то все решения этого уравнения стремятся к нулю при t → ∞.

3.5.6.11. Найдите все значения p и q, при которых любое решение уравнения y′′ + py′ + q = 0 стремится к нулю при t → ∞.

3.5.6.12. Найдите все значения p и q, при которых любое решение уравнения y′′ + py′ + q = 0 является периодической функцией.

3.5.6.13. Найдите все значения p и q, при которых любое решение уравнения y′′ + py′ + q = 0 ограниченной на всей оси функцией.

3.5.6.14. Докажите, что если λ не является корнем характеристического полинома линейного автономного уравнения

y(n) + αny(n–1) + ... + α2y′ + α1y = β(t),

(ЛАНУ)

а β(t) = p_k(t)e^λt, где p_k(t) — многочлен степени k, то это уравнение имеет частное решение вида q_k(t)e^λt. (Поэтому в описанной ситуации частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов в виде q_k(t)e^λt.)

3.5.6.15. Докажите, что если в предыдущей задаче λ — корень характеристического многочлена кратности l, то (ЛАНУ) имеет частное решение вида t^lq_k(t)e^λt.

3.5.6.16. Пользуясь результатами двух предыдущих задач укажите способ нахождения частных решений (ЛАНУ) в случаях, когда β(t) = p_k(t)e^ξtcos ηt и β(t) = p_k(t)e^ξtsin ηt.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 18 Jan 2002, 21:49.
Last modified 17 Apr 2002.