§ О28. Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной

Не было гвоздя —
Подкова
Пропала.

Не было подковы —
Лошадь
Захромала.

Лошадь захромала —
Командир
Убит.

Конница разбита —
Армия
Бежит.

Враг вступает в город,
Пленных не щадя,
Оттого, что в кузнице
Не было гвоздя.

Английская песенка

Совершенно иной (по сравнению с описанным в § 4.1) характер приобретает зависимость от параметра решений обыкновенных дифференциальных уравнений в случае, если малый параметр входит в уравнение множителем при старшей производной. Такие уравнения, называемые обычно сингулярно возмущенными уравнениями (объяснение термина см. ниже), возникают во многих разделах естествознания: в электро- и радиотехнике, механике, гидро- и аэродинамике и т. д. Например, колебания маятника малой массы ε описывает дифференциальное уравнение

Мы рассмотрим сначала простейший класс уравнений с малым параметром при старшей производной, а именно, уравнения вида

в котором f: R →R — непрерывно дифференцируемая функция, а ε — малый положительный параметр. Для уравнения (1) рассмотрим задачу Коши, определяемую начальным условием

Нас интересует поведение решений задачи (1) – (2) при ε → 0. Правая часть уравнения (1) в нормальной форме, т. е. уравнения x′ = ε^–1f(x) принципиально не может непрерывно зависеть от параметра ε. Поэтому такие уравнения и называют сингулярно-возмущенными в отличие от регулярно возмущенных уравнений, рассмотренных в § 4.1, правая часть которых непрерывна по параметру.

Уравнение (1) при ε = 0 понижает порядок — становится в нашей ситуации дифференциальным уравнением нулевого порядка (т. е. функциональным):

Поэтому, в частности, решение уравнения (3) (имеется в виду решение обыкновенного дифференциального уравнения нулевого порядка, т. е. функция независимого аргумента t) не может удовлетворять произвольному начальному условию (2). Уравнение (3) (рассматриваемое как алгебраическое) в общем случае имеет конечное (возможно нулевое) число решений. Наша задача — выяснить можно ли, исходя из наличия информации о решениях уравнения (3), получить информацию о поведении решений задачи (1) – (2) при ε → 0.

Рассмотрим для прояснения ситуации случай, когда уравнение (3) имеет, например, три корня (см. рис. 1). Поле направлений уравнения (1), т. е. уравнения x′ = ε^–1f(x), при достаточно малых ε > 0 устроено, как легко видеть, так: вне малых окрестностей нулей функции f оно почти вертикально, причем в полосе {(t, x): x₁ < x < x₃} оно направлено "к прямой x = x₂" (см. рис. 2а). Интегральные кривые уравнения (1) изображены на рис. 2б). На этом рисунке видно, что к решениям x(t) ≡ x₁ и x(t) ≡ x₃ уравнения (3) не стремятся при ε → 0 никакие решения задачи (1) – (2) (за исключением, разумеется, самих этих решений). В то же время, к решению x(t) ≡ x₂ уравнения (3) стремятся при ε → 0 решения задачи (1) – (2), отвечающие начальному значению x₀, лежащему в интервале (x₁, x₂). Решение x(t) ≡ x₂ называется устойчивым решением вырожденного (функционального) уравнения (3) (или говорят об устойчивом корне x₂ алгебраического уравнения (3)). Оно характеризуется условием f′(x₀) < 0. Интервал (x₁, x₃), границами которого являются ближайшие к устойчивому корню x₂ корни уравнения (3), называется областью притяжения (или влияния) устойчивого решения x₂ уравнения (3).

Задача О28.1. Выписав явный вид решения, докажите утверждение теоремы для уравнения εx′ = x² – 1.

Теорема о сингулярно возмущенном уравнении доказывается достаточно просто. Поскольку вне δ-окрестностей нулей функции f (δ — сколь угодно малое положительное число) |f(x)| ≥ M(δ) > 0, вне этих окрестностей фазовая скорость имеет порядок ε^–1. Поэтому за время порядка ε фазовая точка попадает в δ-окрестность V_δ устойчивого решения φ уравнения (3). Легко показывается, что, попав в V_δ, фазовая точка уже ее (окрестность V_δ) не покинет. Утверждение теоремы следует теперь из произвольности δ.

Задача О28.2. Восстановите детали доказательства.

Подчеркнем, что если в регулярном случае решение зависит от параметра равномерно по t на каждом конечном промежутке — в наших обозначениях |x_ε(t) – φ| → 0 равномерно по t ∈ [0, T] (см. п. 4.1.3), то в сингулярном случае это не так. Предельное соотношение (4) принципиально не равномерно по t ∈ [0, T] (разумеется, если x₀ ≠ φ).

Задача О28.3. Докажите последнее утверждение.

В окрестности начального момента времени решение возмущенного уравнения сильно отличается от решения вырожденного (при ε = 0) уравнения. В этой окрестности решение меняется очень быстро (скорость изменения решения имеет порядок ε^–1). Эта окрестность носит название пограничного слоя. Наличие пограничного слоя — характерная особенность сингулярно возмущенных уравнений. Явление пограничного слоя широко распространено в природе. Например, именно пограничный слой виноват в невозможности сдуть мелкую пыль с полированного стола.

Задача О28.4. Докажите, что при любых Т > τ > 0 предельное соотношение (4) является равномерным по t ∈ [τ, T].

Уравнения второго и более высокого порядков с малым параметром при старшей производной, как легко видеть, приводятся к системам вида

предполагая, что f, g: R² → R — непрерывно дифференцируемые функции с равномерно ограниченными частными производными. Это гарантирует однозначную разрешимость задачи Коши для системы (5) – (6), задаваемой начальными условиями

(эту систему в теории сингулярно возмущенных уравнений называют обычно вырожденной). Систему (8) – (9) можно трактовать как одно дифференциальное уравнение на многообразии Γ решений уравнения F(x, y) = 0. Потеря порядка приводит к необходимости отказа от одного из начальных условий. Поэтому для вырожденной системы рассматривается обычно задача Коши, выделяемая условиями

Векторное поле (ε^–1f(x, y), g(x, y)) системы (5) – (6) устроено так (см. рис. 3а). Вне малой окрестности многообразия Γ решений уравнения (8) (изображенного на рис. 3а жирной линией), в которой |f(x, y)| << ε, векторы поля почти горизонтальны. На самóм же Γ векторы поля вертикальны. Анализ поля направлений показывает, что при малых ε в начальный момент времени фазовая точка системы (5) – (6) очень быстро (подчиняясь, по существу, только уравнению быстрых движений (5)) попадает в окрестность той устойчивой кривой многообразия Γ, в области влияния которой находятся начальные данные (x₀, y₀). Здесь пока неясно, что означают выделенные курсивом слова; мы определим их чуть позже. Затем фазовая точка движется вдоль устойчивого участка этой кривой (см. рис. 3б). Устойчивый участок многообразия Γ выделяется условием f ′_x(x, y)< 0 (ср. с условием f ′(x) < 0 в предыдущей теореме). Область же влияния устойчивого участка многообразия Γ — это область влияния корня x₁ (см. рис. 3б) уравнения f(x, y) = 0 в описанном выше смысле.

После попадания фазовой точки системы (5) – (6) в малую окрестность многообразия Γ она движется приблизительно как фазовая точка вырожденной системы (8) – (9). Движение последней описывается следующим образом. Обозначим через h(y) именно то решение уравнения f(x, y) = 0, которое отвечает выбранному выше участку многообразия Γ. Другими словами, выразим из уравнения (8) x через y, причем из возможно нескольких решений этого уравнения выберем одно (именно его мы и обозначили через h(y)) так, чтобы точка (h(y), y) лежала на устойчивом участке многообразия Γ, в области притяжения которого находится точка (x₀, y₀). Подставляя x = h(y) в уравнение (5), получим уравнение

описывающее изменение координаты y решения системы (8) – (9).

Пусть ψ(t) — определенное на [0, T] решение задачи (11), (10), а φ(t) = h[ψ(t)]. Предположим, что точка (φ(t), ψ(t)) лежит на устойчивом участке многообразия Γ, т. е. f_x′[φ(t), ψ(t)] < 0 при всех t ∈ [0, T]. Тогда оказывается (φ(t), ψ(t)) есть как раз то решение задачи Коши (8) – (10), к которому стремятся при ε → 0 решения сингулярно возмущенной задачи Коши (5) – (7). Это фундаментальное утверждение теории сингулярно возмущенных уравнений более точно формулируется так.

Теорема А.Н. Тихонова. Пусть (x_ε(t), y_ε(t)) — определенное на [0, T] решение задачи Коши (5) – (7). Тогда

Она представляет собой обобщение первой теоремы данного очерка, если считать, что уравнение (1) записано в виде сингулярно возмущенной системы εx′ = f(x), t′ = 1.

Задача О28.5. Докажите, что из теоремы Тихонова вытекает теорема о сингулярно возмущенном уравнении.

Этапы доказательства теоремы Тихонова описаны в задачах О28.16 — О28.22 в конце очерка. Подчеркнем, что в окрестности начального момента для x-компоненты решения задачи (5) – (6) имеет место пограничный слой, в то время как y-компонента стремится к y-компоненте решения вырожденной задачи равномерно на [0, T].

Теорема Тихонова перестает работать, в частности, в окрестности границы области определения непрерывной устойчивой ветви h(y) решений уравнения (8) (точка A на рис. 4). Здесь медленное движение фазовой точки опять может смениться быстрым (участок AB) и она (фазовая точка) с почти бесконечной скоростью перемещается в окрестность другой устойчивой ветви решений вырожденного уравнения (8) или уходит в бесконечность, если таковой нет. Точка A называется точкой срыва, а точка B — точкой падения. Участок быстрого изменения решения между точкой срыва и точкой падения обычно называют внутренним слоем. Явление срыва решения, по существу, представляет собой бифуркацию состояния равновесия системы (8) – (9), если считать в ней y медленно меняющимся параметром.

Особенно интересен случай, когда Γ имеет вид кубической параболы (см. рис. 5а). Похожее поле скоростей имеет, например, уравнение Ван дер Поля

Можно доказать, что траектории соответствующей сингулярно возмущенной системы ведут себя так (см. рис. 5б). Начиная с произвольной точки (x₀, y₀), фазовая точка быстро входит в окрестность устойчивой ветви многообразия Γ (скажем, для определенности, CD). Затем, медленно двигаясь вдоль этой ветви, она попадает в окрестность точки срыва D. Далее, подчиняясь уравнению быстрых движений, быстро переходит в окрестность точки падения A, затем — медленно — в окрестность точки срыва B и т. д., "наматываясь" на некоторый предельный цикл (см. рис. 5б).

Доказать это утверждение можно, например так. Определим на некотором отрезке MN трансверсальном к кривой AB (см. рис. 5б) отображение последования. Показать, что при достаточно малых ε оно отображает этот отрезок в себя (последнее доказывается достаточно сложно — нужно провести аккуратные оценки решения). Поскольку отображение последования непрерывно, оно имеет неподвижную точку, которая и порождает данный предельный цикл.

Периодическое решение, отвечающее вышеописанному предельному циклу, характеризуется чередованием участков быстрого и медленного его изменения (см. рис. 6). Автоколебания такого типа называются релаксационными колебаниями. Они широко распространены (особенно в радиотехнике).

В заключение отметим, что при исследовании сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений весьма эффективными оказываются асимптотические методы.

Задачи. О28.6. Пусть непрерывная функция f: R → R не имеет нулей. Докажите, что любое решение задачи Коши (1) – (2) в любой точке t ≠ 0 стремится к бесконечности при ε → 0.

О28.8. Докажите, что заключение теоремы о сингулярно возмущенном уравнении сохраняется, если заменить в ней условие устойчивости f′(φ) < 0 условием f(x)(x – φ) < 0 при всех x достаточно близких к φ.

О28.9. Докажите, что в условиях теоремы о сингулярно возмущенном уравнении решение x_ε стремится к решению φ вырожденного уравнения с экспоненциальной скоростью порядка ε^–1, точнее, найдутся C, γ > 0 такие, что

О28.10. Пусть все собственные значения матрицы A имеют отрицательную вещественную часть. Покажите, что решение задачи Коши

стремится к нулю при ε → 0 для каждого t > 0. Более того, это предельное соотношение равномерно по t ∈ [τ, ∞) (τ > 0).

О28.11. Пусть A такая же, как и в задаче О28.10. Обозначим через x_ε решение задачи Коши

в ней b: R →Rⁿ — непрерывная функция. Пусть φ(t) = A^–1b(t). Докажите, что при любом τ > 0

О28.12. Докажите утверждения задач О28.10 и О28.11 для задачи Коши

в случае, когда n×n-матрица-функция A(t) такова, что нулевое решение системы x′ = A(t)x асимптотически устойчиво.

О28.13. Докажите, что утверждение задачи О28.10 не верно, если хотя бы одно собственное значение матрицы A имеет неотрицательную вещественную часть.

О28.14. Пусть матрица A имеет ровно k собственных значений с отрицательной вещественной частью. Докажите, что в Rⁿ существует k-мерное подпространство L, что утверждение задачи О28.10 имеет место при всех x₀ ∈ L и не имеет места при всех x₀ ∉ L.

а φ — решение вырожденной задачи Коши: φ(t) = x₀e^{– bt/a}. Докажите, что если a > 0, то

|x′_ε(t) – φ′(t)| → 0 при ε → 0 для всех t ∈ (–∞, 0).

В следующих семи задачах излагается план доказательства теоремы Тихонова. В них δ — сколь угодно малое положительное число (не одно и то же в разных задачах).

О28.16. Докажите, что замена переменных x = W(ε)u, y = W(ε)v, где [W(ε)u](t) = u(ε^–1t), переводят задачи Коши (5) – (7) и (8) – (10) в задачи Коши

{

u′ = f(u, v),
v′ = εg(u, v),
u(0) = x₀, v(0) = y₀

{

u′ = f(u, v),
v′ = 0,
v(0) = y₀,

Добавим ко второй системе начальное условие u(0) = x₀ и обозначим решения этих систем через (u_ε, v_ε) и (u₀, v₀).

О28.18. Покажите, что |u_ε(t) – u₀(t)| < δ и |v_ε(t) – v₀(t)| < δ при всех достаточно малых ε > 0 (воспользуйтесь п. 4.1.3).

О28.20. Определим функцию V равенством V(x, y) = [x – h(y)]². Докажите, что при t ∈ [εt₀, T] производная V в силу системы (5) – (6) отрицательна в δ-окрестности кривой {(φ(t), ψ(t)): t > 0}.

О28.21. Докажите, что |x_ε(t₀) – h[y_ε(t₀)]| < δ при всех t ∈ [εt₀, T] и малых ε > 0.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 21 Mar 2000, 22:42.
Last modified 8 Apr 2002.