§ О30. Теория возмущений

Термин "теория возмущений" в теории обыкновенных дифференциальных уравнений используют в двух смыслах: широком — для обозначения теории, занимающейся общими вопросами зависимости решений от параметров, и в узком — для обозначения теории, посвященной исследованию возможностей разложения в ряды по степеням малого параметра. Последнюю обычно называют асимптотической теорией возмущений. Именно ей посвящен данный очерк.

Общая постановка задачи такова. Рассмотрим дифференциальное уравнение

x′ = f(t, x, ε)

(1)

с малым параметром ε. Для простоты мы будем рассматривать только задачу Коши для этого уравнения:

x(0) = x0.

(2)

Пусть задача (1) (1) – (2)#150; (2) имеет при каждом ε решение φ(t, ε). Предположим, что функция φ(t, ε) оказалась аналитической по ε (например, в соответствии с теоремой Пуанкаре о разложении, φ(t, ε) аналитична, если функция f аналитически зависит от своих аргументов). Тогда ее можно представить в виде ряда

φ0(t) + εφ1(t) + ε2φ2(t) + ...,

(3)

а частичные суммы этого ряда аппроксимируют решение φ(t, ε) сколь угодно точно. В общем случае ряд (3) вовсе не обязательно оказывается сходящимся. Его частичную сумму

ψk(t, ε) = φ0(t) + εφ1(t) + ... + εkφk(t)

(4)

называют формальным асимптотическим решением задачи (1) – (2),

ψ′k(t, ε) – f[t, ψk(t, ε), ε] = O(εk+1)

(5)

и ψ_k(0, ε) = x₀. Если же, дополнительно,

φ(t, ε) – ψk(t, ε) ≡ rk+1(t, ε) = O(εk+1),

(6)

то говорят, что функция ψ_k(t, ε) является асимптотическим решением задачи (1) – (2) порядка k. Если ψ_k(t, ε) является асимптотическим решением при любом k, то ряд (3) называют асимптотическим разложением, или асимптотикой решения φ по малому параметру. Подчеркнем, что в общем случае не требуется, чтобы асимптотическое разложение сходилось к решению и поэтому невязка r_k(t, ε) при фиксированном k, вообще говоря, не стремится к нулю при k → ∞. Утверждается только, что при каждом фиксированном k она стремится к нулю при ε → 0 как ε^k+1.

Задача О30.1. Покажите, что решение задачи Коши

x′ = –(ε√ε)x,    x(0) = 1

не может быть представлено в виде сходящегося ряда (3).

Основная задача теории возмущений — это задача о возможности построения асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют члены φ₁, φ₂, ... асимптотик, оказываются, как правило, существенно проще исходных уравнений, а свойство (6) асимптотических разложений позволяет эффективно исследовать поведение решений при малых ε, несмотря на то, что асимптотические ряды часто оказываются не сходящимися. В настоящее время асимптотические методы исследования решений дифференциальных уравнений успешно дополняются численными методами.

Вопрос о существовании асимптотических разложений в случае гладкой зависимости f от ε решается легко. Например, из теоремы о липшицевости оператора сдвига вытекает, что если f удовлетворяет условию Липшица по x и ε, то

φ(t, ε) = φ0(t) + r1(t, ε),

где φ₀ — решение задачи (1) – (2) при ε = 0, а r₁ удовлетворяет условию Липшица по ε и, следовательно, в частности,

||r1(t, ε)|| ≤ Cε.

Таким образом, в этом случае φ₀ является асимптотикой нулевого порядка решения задачи (1) – (2) (или еще говорят о главном члене асимптотики). Теорема 4.1.7 о дифференцировании оператора сдвига позволяет в случае если f имеет удовлетворяющие условию Липшица производные по совокупности переменных x и ε построить асимптотику первого порядка:

ψ1(t, ε) = φ0(t) + εφ1(t).

В ней φ₀ та же самая, что и выше, а φ₁ — решение соответствующего уравнения в вариациях.

Задача О30.2. Докажите, что ||φ(t, ε) – ψ₁(t, ε)|| ≤ Cε².

Точно так же теорема о существовании старших производных решения по параметру позволяет выписать и обосновать асимптотики старших порядков, т. е. выписать конечную сумму (4) ряда Тейлора и оценить остаточный член функции φ_k(t) = ∂^kφ(t, ε)/∂ε^k|_ε=0 определяются из соответствующих уравнений в вариациях. Эти уравнения легко получаются с помощью следующей формальной процедуры. Формальный ряд (3) подставляют в уравнение (1) и начальное условие (2), формально разлагают правую часть уравнения (1) в ряд Тейлора по ε в точке ε = 0 и приравнивают в получившихся формальных рядах коэффициенты при одинаковых степенях ε. Получается набор обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов φ₁, φ₂, ... ряда и набор соответствующих начальных условий.

Задача О30.3. Выпишите эти уравнения и начальные условия в случае задачи Коши x′ = tx/(1+ε), x(0) = 1.

Задача О30.4. Выпишите асимптотику первого порядка для следующей задачи Коши для уравнения Риккати с малым параметром

x′ + a(t) + εb(t)x2 = c(t), x(0) = 0.

Ситуация существенно сложнее в случае так называемых сингулярно возмущенных уравнений (правильнее говорить сингулярно возмущенных задач). Эти термины охватывают различные классы уравнений с параметрами, в которых решения зависят от параметра не регулярным образом (см., напр., очерки Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной и Принцип усреднения). Простейшим примером такого уравнения является уравнение

εx′ = – x

с малым параметром ε. Его общее решение Ce ^{– t/ε} не аналитически (сингулярно) зависит от ε в точке ε = 0.

Ниже мы продемонстрируем лишь некоторые особенности асимптотик сингулярно возмущенных задач на примере задачи Коши

εx′ = –x – et,

(7)

x(0) = 1,

(8)

предполагая параметр ε малым и положительным. Решение задачи (7) – (8) имеет вид

φ(t, ε) = 2 + ε 1 + ε ·e–t/ε –  1 1 + ε ·et.

(9)

Попытаемся представить решение (9) в виде ряда (3). Подставляя (3) в (7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем

φ0(t) = –et,    φ1(t) = et,    φ2(t) = –et,    φ3(t) = et,

Таким образом, ряд (5) сходится к функции –e^t/(1+ε), т. е. ко второму члену в решении (9), представляющему при ε = 0 решение вырожденного уравнения (нулевого порядка). Отметим два тесно связанных между собой обстоятельства. Во-первых, получившаяся сумма не удовлетворяет начальному условию (8) (обратите внимание на то, что при нахождении функции φ_k оно нам не потребовалось) и, во-вторых, в получившемся разложении не аппроксимируется первый член разложения (9), наличие которого вызвано "лишним" для вырожденного уравнения начальным условием (8) (см. очерк Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной). Отметим также, что первый член в решении вне малых окрестностей нуля, т. е. вне пограничного слоя, быстро — с экспоненциальной скоростью — затухает. Таким образом, полученный ряд аппроксимирует решение на отрезках вида [δ, T] (δ > 0).

Задача О30.5. Проверьте последнее утверждение.

Для того, чтобы построить равномерное на [0, T] асимптотическое разложение заметим, что "погранслойная" часть решения φ(t, ε) задачи (7) – (8) регулярным образом зависит от агрегата t/ε, взятого как единое целое. Это наводит на мысль представить решение φ(t, ε) в виде Φ(t, t/ε, ε) и попытаться разложить в ряд по степеням ε функцию Φ(t, τ, ε) (имея в виду в последующем, что τ = t/ε), например, в виде

Φ(t, τ, ε) = φ0(t) + εφ1(t) + ε2φ2(t) + ... + + π0(τ) + επ1(τ) + ε2π2(τ) + ... .

(10)

Подставляя, как и ранее, (10) в уравнение (7) и начальное условие (8) и приравнивая члены при одинаковых степенях ε (разумеется, отдельно рассматривая функции, зависящие от независимого аргумента t и независимого в данном контексте аргумента τ), получим следующее семейство уравнений

φ0(t) = –et, π′0(τ)=  –π0(τ), φ0(0) + π0(0) = 1, φ1(t) = –φ′0(t), π′1(τ)=  –π1(τ), φ1(0) + π1(0) = 0, φ2(t) = –φ′1(t), π′2(τ)=  –π2(τ), φ2(0) + π2(0) = 0, ... ... ...

Задача О30.6. Докажите, что φ_k(t) = (–1)^k+1e^t (k = 0, 1, ...), π₀(τ) = 2e^–τ, π_k(τ) = (–1)^ke^–τ (k = 1, 2, ...).

Поэтому

φ(t, ε) = Φ ( t, t ε , ε )  =

= – et + εet – ε2et + ... + 2et/ε – εe–t/ε + ε2et/ε – ... =

= – et(1 – ε + ε2 – ...) + e – t/ε[2 – ε(1 – ε + ε2 – ...)] =

=  2 + ε 1 + ε ·e – t/ε –  1 1 + ε ·et.

Таким образом, мы построили разложение вида (10) для решения задачи (7) – (9).

Задача О30.7. Докажите, что конечные суммы построенного разложения аппроксимируют решение задачи (7) – (8) с порядком O(ε^k+1) равномерно на любом отрезке вида [0, T].

Члены π₀, π₁, ... построенной асимптотики называются погранслойными членами. Они характеризуются тем, что быстро (в данном случае с экспоненциальной скоростью) убывают вдали от начальной точки и не малы вблизи нее. Члены же φ₀, φ₁, ... называются регулярными членами асимптотики.

У читателя не должно складываться впечатления простоты асимптотической теории сингулярно возмущенных задач. Наоборот, в настоящее время эта теория в большой мере искусство и общие подходы и методы только начинают вырисовываться. Эффективность асимптотических методов в прикладных задачах вызывает большой интерес к ним и обуславливает обилие литературы.

Литературные указания. Несмотря на большую предысторию (асимптотические разложения начали получать во времена Ньютона), асимптотическая теория возмущений в учебниках излагается редко (см., напр., [Тихонов — Васильева — Свешников, Федорюк]). Различные аспекты современной теории описаны в монографиях [Боголюбов — Митропольский, Вазов, Васильева — Бутузов, Волосов — Моргунов, Ломов, Мищенко — Розов].

Задачи. О30.8. Найдите первые три члена асимптотики при ε → 0 решения задачи Коши для уравнения Дуффинга

x′′ + λ2x = εx3,   x(0) = x0, x′(0) = x1,

предполагая, что λ отлично от нуля.

О30.9. Найдите первые два члена асимптотики при ε → 0 решения задачи Коши для уравнения Ван дер Поля

x′′ – ε [ x′ – 1 3 (x′)3 ] + x = 0,   x(0) = x0, x′(0) = x1.

О30.10. Найдите первые три члена асимптотического разложения вида (3) для 2π-периодического решения уравнения

x′′ + 2x = εx2 + sin t.

О30.11. Пусть в уравнении

x′′ + λ2x = εf(t, x, x′) + φ(t)

(11)

функции f и φ являются T-периодическим по t непрерывными функциями и, кроме того, f аналитична по второму и третьему аргументам, а λ ≠ Tk/2π (k = 0,1, ...). Формально подставляя разложение (3) в уравнение (11), выпишите уравнения для нахождения асимптотики T-периодического решения уравнения (11) (метод малого параметра Пуанкаре — Линдштедта).

О30.12. Предполагая возможным разложение в ряды Фурье всех возникающих в предыдущей задаче T-периодических функций, докажите разрешимость задачи о нахождении асимптотики T-периодического решения уравнения (11).

О30.13. Найдите первые члены асимптотики π-периодического решения уравнения

x′′ + sin x = ε·sin 2t.

О30.14. Пусть выполнены условия задач О30.11 и О30.12 и, кроме того, функция f не зависит от t, а φ(t) ≡ 0. Задача нахождения периодических решений уравнения (11) в этом случае существенно осложняется тем, что его период не известен заранее. В соответствии с методом малого параметра Пуанкаре — Линдштедта независимая переменная t заменяется новой независимой переменной τ по формуле t = τ(1 + ελ₁ + ε²λ₂ + ...) и в получившемся уравнении ищется (2π/λ)-периодическое решение в виде ряда φ₀(τ) + εφ₁(τ) + ε²φ₂(τ) + ... (период решения исходного уравнения, очевидно, будет равен T = (2π/λ)(1 + ελ₁ + ε²λ₂ + ...)). Коэффициенты λ_k определяются из условия отсутствия резонансных членов в разложениях в ряд Фурье правых частей уравнений для членов асимптотики φ_j. Выпишите уравнения для λ_k и φ_k.

О30.15. Найдите первое приближение периодического решения уравнения Ван дер Поля.

О30.16. Попытайтесь выписать асимптотику вида (10) для краевой задачи

εx′′ + a0x′ + a1x = 0,   x(0) = x0, x(1) = x1.

Исследуйте ее поведение при ε → 0.

О30.17. Найдите асимптотику вида (10) для задачи Коши

εx′ = a(t)x + b(t),  x(0) = x0.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 24 Mar 2000, 14:37.
Last modified 2 May 2002.