§ 2.1. Постановка задачи

В настоящем параграфе мы дадим общее определение задачи Коши и обсудим постановку вопросов существования и единственности.

2.1.1. Постановка задачи Коши. Общий вид ОДУ без выделения вектора произвольных постоянных C таков (см. п. 1.1.2):

F(t, J(m)x) = 0.

(1)

Если (1) можно разрешить относительно старших производных, т. е. привести к виду

x(m) = f(t, J(m–1)x),

(2)

то путем увеличения числа неизвестных скалярных функций (см. п. 1.4.5) уравнение (2) всегда можно привести к нормальному виду

x′ = f(t, x).

(НС)

Поэтому в дальнейшем основным объектом изучения будет именно нормальная система (НС).

Задача Коши, или начальная задача для уравнения (2) — это система, состоящая из (2) и начального условия

J(m–1)x(t0) = y0 ∈ R|m|,

где t₀ ∈ R — начальный момент, y₀ — начальное значение. Для (НС) начальное условие записывается в виде

x(t0) = x0 ∈ Rn.

(НУ)

Геометрический смысл задачи Коши (НС), (НУ) заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы (НС) найти ту, которая проходит через точку (t₀, x₀) (см. рис. 1).

Рис. 1.

П р и м е р. Решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения

x′ = a(t)x + b(t), x(t0) = x0

дается формулой

x = Φt0(t)x0 + Φt0(t) ∫ t t0 Φ –1 t0 (s)b(s) ds = Φt0(t)x0 + ∫ t t0 Φs(t)b(s) ds,

где

Φt0(t) = exp ∫ t t0 a(s) ds

(см. п. 1.4.3).

2.1.2. Постановка задач о существовании и единственности. В этой главе нас будут интересовать следующие вопросы, относящиеся к задаче Коши.

1) Вопрос о локальной разрешимости: имеет ли задача (НС), (НУ) решение на каком-либо промежутке J?

2) Вопрос о глобальной разрешимости: имеется ли у этой задачи решение, определенное на наперед заданном промежутке J?

3) Вопрос о единственности: можно ли утверждать, что любые два решения задачи (НС), (НУ) совпадают на общей части их области определения?

В § 2.3 мы докажем теорему Коши — Пикара, которая утверждает, что при выполнении определенных условий все эти вопросы имеют утвердительные ответы, однако сначала рассмотрим три примера, в которых дело обстоит иначе.

2.1.3. Пример отсутствия локальной разрешимости. Задача

x′ = – sign x + 1 2 ,

(3)

x(0) = 0

(5)

не имеет решения ни на каком промежутке J.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Предположим противное: пусть x = φ(t) — решение задачи (3) – (4) на некотором промежутке J. Точка t = 0 может быть граничной точкой J, но, по определению, не может быть единственной точкой промежутка. Допустим для определенности, что J содержит некоторую правую полуокрестность нуля. Поскольку φ′(0) > 0, можно выбрать эту полуокрестность так, чтобы на ней при t ≠ 0 было φ(t) > 0. Из (3) получается, что при таких t φ′(t) = –¹/₂, т. е. функция убывает. Мы получили противоречие: положительная функция, имевшая в нуле нулевое значение, при t > 0 строго убывает и в то же время положительная.

Причиной выявленной "неприятности" является разрывность правой части уравнения (3) в точке x = 0.

2.1.4. Пример отсутствия глобальной разрешимости. Уравнение

x′ = x2 + 1

(5)

легко решается:

dx x2 + 1 = dt

arctg x = t + C,

x = tg (t + C)   ( – π 2 < t + C < π 2 ) ,

(6)

Подчеркнем, что (5) ⇔ (6). Это означает, в частности, что вопрос о разрешимости задачи (5), (4), скажем, на промежутке J = R имеет отрицательный ответ, так как область определения любого решения не выходит за рамки интервала (–π/2 – C, π/2 – C).

Этот эффект связан с тем, что правая часть x² + 1 уравнения (5) при x → ∞ растет "слишком быстро" по сравнению с x.

2.1.5. Пример отсутствия единственности. Таким примером может служит, в частности, уравнение (15) из п. 1.2.8

x′ = 2√x,

правая часть которого определена при x ≥ 0. У задачи Коши, соответствующей начальному условию (4), помимо нулевого имеется бесконечно много решений

x = { 0 при t < –C, (t + C)2 при t ≥ –C

(см. рис. 1 в п. 1.2.8).

Причина неединственности — в том, что правая часть этого уравнения в точке x = 0 имеет бесконечную производную по x.

2.1.6. Контрольные вопросы

2.1.6.1. Может ли решение φ: [a, b] → Rⁿ уравнения (НС) с непрерывной правой частью обладать свойствами: предел  lim_t→b+0φ(t) существует и конечен, а lim_t→b+0φ′(t) = ∞?

2.1.6.2. Будем говорить, что уравнение (НС) обладает свойством единственности решения вправо (соответственно, влево), если задача Коши (НС), (НУ) при любых (t₀, x₀) ∈ D(f) в некоторой правой (соответственно, левой) окрестности точки t₀ не может иметь более одного решения. Приведите пример уравнения, обладающего свойством единственности решения вправо, но не обладающего свойством единственности решения влево.

2.1.6.3. Если уравнение (НС) обладает свойствами единственности решения вправо и влево, то любые два решения задачи Коши (НС), (НУ) совпадают на общей области определения?

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 3 Jan 2002, 15:18.
Last modified 8 Apr 2002.