§ 2.3. Теорема Коши — Пикара

В этом параграфе доказывается одна из основных теорем теории обыкновенных дифференциальных уравнений-теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2.3.1. Постановка задачи. Рассматривается задача Коши

x′ = f(t, x),

(НС)

x(t0) = x0,

(НУ)

состоящая из нормальной системы (НС) и начального условия (НУ). Предполагается, что

f: [a, b]×Rn → Rn;

(1)

функция f(t, x) непрерывна по t при любом фиксированном x;

(2)

f(t, x) удовлетворяет по x условию Липшица с некоторой константой L: ||f(t, x) – f(t, y)|| ≤ L||x – y|| (t ∈ [a, b]; x, y ∈ Rn).

(3)

Исследуется вопрос о существовании и единственности решения задачи (НС), (НУ) и изучается метод последовательных приближений для приближенного отыскания решения.

2.3.2. Последовательные приближения. Пусть

φ0: [a, b] → Rn — произвольная непрерывная функция

(4)

Последовательные приближения, соответствующие начальному приближению φ₀, определим с помощью рекуррентной формулы

φk+1(t) = x0 + ∫ t t0 f[s, φk(s)] ds.

(5)

Покажем индукцией по k, что функция φ_k(t) при любом k определена на всем отрезке [a, b] и непрерывна. Для k = 0 это совпадает с (4). Пусть φ_k(t) обладает указанными свойствами. Тогда в правой части (5) под интегралом стоит непрерывная на [a, b] функция — это следует из свойств φ_k и условий (1) – (3). Поэтому φ_k+1 также определена на [a, b] и дифференцируема, а следовательно, и непрерывна.

Итак, все последовательные приближения определены на [a, b] и непрерывны. Отметим еще, что из (5) вытекают два равенства

φ′k+1 = f[t, φk(t)]

(6)

и

φk+1(t0) = x0.

(7)

2.3.3. Формулировка теоремы Коши — Пикара. Пусть выполнены условия (1) – (3). Тогда:

1) задача (НС), (НУ) имеет на [a, b] единственное решение φ;

2) последовательные приближения (4), (5) сходятся на [a, b] к φ, причем справедлива следующая оценка погрешности k-го приближения:

||φk(t) – φ(t)|| ≤ L2 ck k!

(8)

где

L2 = L1ec, L1 = ||φ0 – φ1||, c = L·(b – a),

L — константа из условия Липшица  (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о  будет состоять из четырех лемм.

2.3.4. Замечание о единственности. Из сформулированной теоремы вытекает следующее усиленное утверждение о единственности: еслиφ и ψ — любые два решения задачи (НС), (НУ), определенные не обязательно на всем отрезке [a, b], то они совпадают на D(φ) ∩ D(ψ). Действительно, если это не так, то найдется отрезок [α, β] ⊂ D(φ) ∩ D(ψ), на котором эти решения не тождественны. Но теорема Коши — Пикара, примененная на множестве [α, β] × Rⁿ, утверждает, что это невозможно.

Переходим к доказательству теоремы.

2.3.5. Лемма о сближении. Пусть выполнены условия теоремы Коши — Пикара и φ₀, ψ₀: [a, b] → Rⁿ — произвольные непрерывные начальные приближения. Утверждается, что для соответствующих последовательных приближений φ_k, ψ_k (k = 1, 2, ...) справедливы неравенства:

||φk – k|| ≤ L0 ck k!

(9)

где

L0 = ||φ0 – ψ0||.

(10)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Индукцией по k покажем, что для любого k

||φk(t) – ψk(t)|| ≤L0 Lk|t – t0|k k!  (t ∈ [a, b]);

(11)

отсюда будет следовать (9). При k = 0 правая часть в (11) равна L₀, и неравенство выполнено ввиду (10). Предположив, что (11) справедливо, докажем аналогичное неравенство с заменой k на k + 1 (в переходе от (12) к (13) мы используем условие Липшица, а от (13) к (14) — предположение индукции):

||φk+1(t) – ψk+1(t)|| =

= ||x0 + ∫ t t0 f[s, φk(s)] ds – x0 – ∫ t t0 f[s, ψk(s)] ds||

≤ | ∫ t t0 ||f[s, φk(s)] – f[s, ψk(s)]|| ds | =

= { ∫ t t0 ||f[s, φk(s)] – f[s, ψk(s)]|| ds при t ≥ t0 ∫ t0 t ||f[s, φk(s)] – f[s, ψk(s)]|| ds при t < t0 } ≤

(12)

≤ { L ∫ t t0 ||φk(s) – ψk(s)|| ds при t ≥ t0 L ∫ t0 t ||φk(s) – ψk(s)|| ds при t < t0 } ≤

(13)

≤ { L0Lk+1 k! ∫ t t0 (s – t0)k ds при t ≥ t0 L0Lk+1 k! ∫ t0 t (t0 – s)k ds при t < t0 } =

(14)

= L0 Lk+1|t – t0|k+1 (k + 1)! .

Напомним, что c^k/k! → 0 при k → ∞; поэтому из (9) действительно следует, что φ_k и ψ_k сближаются с ростом k.

2.3.6. Лемма о сходимости. В условиях теоремы Коши — Пикара  последовательные приближения  равномерно на [a, b] сходятся к некоторой функции φ, причем

||φk – φ|| ≤ L2 ck k! .

(15)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем, что последовательность {φ_k} фундаментальна в C. Сначала оценим ||φ_k – φ_k+1||. Для этого применим лемму о сближении к начальным функциям φ₀ и ψ₀ = φ₁. Тогда, очевидно, ψ_k = φ_k+1, L₀ = ||φ₀ – ψ₀|| = ||φ₀ – φ₁|| = L₁ и, следовательно,

||φk – φk+1|| ≤ L1 ck k! .

Отсюда получаем оценку для ||φ_k – φ_p|| (p > k):

||φk – φp|| ≤ ≤ ||φk – φk+1|| + ||φk+1 – φk+2|| + ... + ||φp – 1 – φp|| ≤ ≤ L1 p – 1 ∑ i = k ci i! ≤ L1 ∞ ∑ i = k ci i! ≤ L1 = L1Pk

(16)

где P_k → 0 при k → ∞ как остаток сходящегося ряда.

Итак, последовательность {φ_k} фундаментальна, поэтому в силу полноты пространства C она сходится в норме этого пространства к некоторой функции φ ∈ C. Для получения неравенства (15) оценим P_k:

Pk = ∞ ∑ i = k ci i!   =   ck k! ∞ ∑ i = k ci–kk! i!   ≤   ck k! ∞ ∑ i = k ci–k (i – k)! ,

поскольку при i ≥ k, очевидно, i! ≥ k!(i – k)!. Введем теперь новую переменную суммирования j = i – k:

ck k! ∞ ∑ i = k ci–k (i – k)!   =   ck k! ∞ ∑ i = k cj j!   =   ck k! ec.

Отсюда и из (16) предельным переходом при p → ∞ получаем (15).

2.3.7. Лемма о существовании. В рассматриваемых условиях предел последовательных приближений φ есть решение задачи (НС), (НУ).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Заметим, что φ′k(t) равномерно сходится к f[t, φ(t)], т. к. при k ≥ 1 (см. (6))

||φ′k(t)– f[t, φ(t)]|| = ||f[t, φk–1(t)] – f[t, φ(t)]|| ≤

≤ L||φk–1(t) – φk(t)||.

Итак, φk(t) → φ(t) при k → ∞ и φ′k(t)⇒ φ(t) при k → ∞ (t ∈ [a, b]). По теореме Вейерштрасса о дифференцировании функциональных последовательностей отсюда следует равенство φ′(t) = f[t, φ(t)]. Кроме того, φ(t0) = limk→∞φk(t0) = x0.

2.3.8. Лемма о единственности. В условиях  теоремы Коши — Пикара решение задачи (НС), (НУ) на [a, b] единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Если φ и ψ — решения этой задачи на [a, b], то построим последовательные приближения φ_k, ψ_k, соответствующие начальным приближениям φ₀ = φ, ψ₀ = ψ. Из (6), (7) в этом случае видно, что φ_k = φ, ψ_k = ψ при любом k. Но тогда из леммы о сближении следует, что φ = ψ.

Доказательство теоремы Коши — Пикара завершено.

2.3.9. Контрольные вопросы

2.3.9.1. Найдите последовательные приближения, начинающиеся с функции φ₀(t) ≡ 1 для задачи Коши

x′ = x,    x(0) = 1.

(17)

2.3.9.2. Удовлетворяет ли задача Коши (17) условиям теоремы Коши — Пикара?

2.3.9.3. Покажите, что

∞ ∑ k = 0 tk k! = et.

2.3.9.4. Задача Коши

tx′ = x, x(0) = 0

имеет по крайней мере два решения x = 0 и x = t. Почему этот факт не противоречит теореме Коши — Пикара?

2.3.9.5. Может ли уравнение x′ = f(t, x) с удовлетворяющей условиям теоремы Коши — Пикара правой частью f: R×R → R иметь общее решение вида t(t² + C)?

2.3.9.6. Найдите решение интегрального уравнения

x(t) = 1+ ∫ t 0 x(s) ds.

2.3.10. Задачи

2.3.10.1. Докажите, что в условиях   теоремы Коши — Пикара   последовательные приближения, начатые с произвольной непрерывной функции либо все различны, либо, начиная с некоторого номера, совпадают.

2.3.10.2. Пусть функция f(t, x) непрерывно дифференцируема по совокупности переменных k раз. Докажите, что последовательные приближения, начатые с произвольной непрерывной функции, начиная с (k + 1)-го, непрерывно дифференцируемы k + 1 раз.

2.3.10.3. Для любого натурального K постройте пример задачи Коши, у которой последовательные приближения, начатые с произвольной непрерывной функции, совпадают при k ≥ K, а последовательные приближения, начатые с некоторой непрерывной функции, попарно различны при k < K.

2.3.10.4. Докажите, что задача Коши

x′1 = min{x1, x2},    x′2 = max{x1, x2},

x1(0) = 1,    x2(0) = 1

имеет единственное решение на любом промежутке, содержащем точку 0.

2.3.10.5. Аналогичный вопрос для задачи Коши

x′ = max{t, x},

x(0) = 0.

2.3.10.6. Методом последовательных приближений найдите решение задачи Коши

x′1= x1 + x2,    x′2= x2 + 1,

x1(0) = 0,    x2(0) = 0.

2.3.10.7. Методом последовательных приближений найдите решение задачи Коши

x′1= x2,    x′2= –x1,

x1(0) = 0,    x2(0) = 1.

2.3.10.8. Методом последовательных приближений найдите решение задачи Коши

x′ = x + 1,    x(0) = 0

на отрезке [–1, 1] с точностью 10^–1.

2.3.10.9. Покажите, что задача Коши

x′ = (tg t)·sin (t + x),   x(0) = 0

имеет на интервале (–π/2, π/2) единственное решение.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 4 Jan 2002, 13:43.
Last modified 11 Apr 2002.