§ 1.4. Замены переменных

Уравнения в полных дифференциалах и, в частности, с разделяющимися переменными являются основными интегрируемыми типами ОДУ. Ряд других уравнений сводятся к ним с помощью различных замен переменных.

1.4.1. Линейное неоднородное уравнение. Пусть в уравнении

x′ = a(t)x + b(t)

(1)

функции a, b: I → R непрерывны.

(2)

В § 1.2 для соответствующего однородного уравнения

x′ = a(t)x

(3)

найдено общее решение

x = Φt0(t)C,

(4)

где

Φt0(t) = exp∫ t t0 a(s) ds.

(5)

Теперь мы будем искать решение линейного неоднородного уравнения (1) в том же виде (4), только считая C не константой, а функцией от t. Такой способ решения называется методом вариации произвольной постоянной. Формулу (4) можно рассматривать как замену старой неизвестной функции x на новую C. Подставим (4) в (1):

Φ′t0 + Φt0C′ = a(t)Φt0C + b(t).

(6)

Функция Φt0 есть одно из решений уравнения (3), поэтому

Φ′t0 = a(t)Φt0.

Отсюда и из (6) получаем:

C′ = Φ –1 t0 (t)b(t)

и, следовательно,

C = ∫ t t0 Φ –1 t0 (s)b(s)ds + C1.

Вместе с (4) это дает:

x = Φt0(t)C + Φt0(t)∫ t t0 Φ –1 t0 (s)b(s)ds

(7)

(мы переобозначили произвольную постоянную).

Логическая схема проведенного рассуждения такова: из данного уравнения (1) и уравнения замены переменной (4) мы вывели как следствие уравнение (7): (1) ∧ (4) ⇒ (7). Мы будем говорить в таком случае, что (7) следует из (1) с учетом замены (4), и писать (1) ⇒(4) (7). Далее, нетрудно видеть, что и наоборот, (7) ⇒(4) (1), т. е. (7) ∧ (4) ⇒ (1). Итак, (1) ⇔(4) (7), причем уравнения (1) и (7) не содержат новой неизвестной функции C. Нас интересует вопрос: можно ли в такой ситуации утверждать, что (1) ⇔ (7) в обычном смысле? Оказывается, да, если уравнение замены удовлетворяет дополнительному условию допустимости (которое, как мы увидим ниже, для (4) выполнено).

1.4.2. Утверждение о замене переменных. Рассматриваются уравнения

F(t, J(m)x, C) = 0,

(8)

F(t, J(m)x, C) = 0,

(9)

и уравнение замены переменных

Z(t, J(p)x, J(q)y, C) = 0,

(10)

которое наряду с x содержит новую неизвестную функцию y. Предполагается, что (8) ⇒(10) (9), т. е. (8) ∧ (10) ⇒ (9). Предполагается, далее, что замена переменных допустима для уравнения (1), т. е. любое решение x = φ(t) уравнения (8) можно дополнить некоторой функцией y = ψ(t) до решения (φ, ψ) уравнения (10).

Утверждается, что тогда (8) ⇒ (9) в обычном смысле.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть x = φ(t) — решение уравнения (8). Дополним его до решения x = φ(t), y = ψ(t) уравнения (10). Поскольку (8) ∧ (10) ⇒ (9), полученная пара есть решение уравнения (9). Но поскольку в (9) y не входит, это означает, что φ — решение уравнения (9).

1.4.3. Утверждение о линейном неоднородном уравнении. При выполнении условия (2) общее решение уравнения (1) задается формулой (7), где функция Φt0(t) определена равенством (5).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Основная часть доказательства уже проведена в п. 1.4.2. В соответствии с утверждением о замене переменных нам остается проверить, что замена (4) допустима для (1) и для (7). Но она, очевидно, допустима для любого уравнения с неизвестной x, так как Φt0(t) ≠ 0 и из (4) C легко находится по x: C = Φt0–1(t)x.

Формула (7) играет важную роль в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Константа C в ней имеет простой смысл: C = x₀ = x(t₀) — в этом легко убедиться непосредственной подстановкой t = t₀ в (7). В связи с этим саму формулу часто записывают в виде

x = Φt0(t)x0 + Φt0(t)∫ t t0 Φ –1 t0 (s)b(s)ds.

(11)

Если a(t) ≡ a не зависит от t, то

Φt0(t) = ea(t – t0)

и из (11) мы получаем еще одну часто используемую формулу:

x = ea(t–t0)x0 + ∫ t t0 ea(t–s)b(s) ds.

(12)

Замены переменных, рекомендуемые для решения тех или иных типов уравнений, приводятся в справочниках по обыкновенных дифференциальным уравнениям. Здесь мы рассмотрим два важных примера, а затем приведем без комментариев таблицу, содержащую наиболее часто используемые замены.

1.4.4. Пример на понижение порядка. Уравнение

G(x(k), x(k+1), ..., x(m)) = 0   (k ≥ 0)

(13)

характеризуется тем, что в нем отсутствуют несколько первых переменных из последовательности

t, x, x′, ..., x(k), x(k+1), ..., x(m).

В таком случае часто рекомендуется замена

x(k) = q, x(k+1) = p

(очевидно, допустимая для любого уравнения порядка m ≥ k + 1), которая превращает (13) в уравнение порядка m – k + 1 с двумя неизвестными функциями:

G(q, p, p′, ..., p(m – k + 1)) = 0.

(14)

При его решении можно пользоваться очевидным соотношением

g′ = p.

(15)

Если затем удается преобразовать (14) к виду

g(t, q, p, C) = 0,

то для x получается уравнение порядка k + 1:

g(t, x(k), x(k + 1), C) = 0.

Например, уравнение гармонического осциллятора (см. п. 1.3.10)

x′′ + ω2x = 0

имеет вид (13) с k = 0. Замена

x = q, x′ = p

приводит его к виду

dp dt + ω2q = 0.

(16)

Если учесть (15), то при p ≠ 0 получим dt = dq/p, поэтому (16) перепишется в форме

p·dp + ω2q·dq = 0.

Это уравнение с разделенными переменными легко решается:

p2 + ω2q2 = C.

Вернувшись к старым обозначениям, получим для x уравнение первого порядка:

(x′)2 + ω2x2 = C,

которое можно далее разрешить относительно x′ и затем проинтегрировать как уравнение с разделяющимися переменными. Нетрудно показать, что общее решение уравнения гармонического осциллятора можно записать в виде

x = C1cos(ωt + C2) (C1 ≥ 0, C2 ∈ [0,2π)).

(17)

Уравнение гармонического осциллятора относится к важному классу линейных уравнений с постоянными коэффициентами, для которых позже будет описан (см. § 3.5) универсальный алгебраический алгоритм отыскания общего решения.

1.4.5. Сведение уравнения m-го порядка к системе m уравнений первого порядка. Рассмотрим уравнение m-го порядка

f(t, x, x′, ..., x(m–1), x(m)) = 0.

(18)

Это уравнение может быть сведено к системе m дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены

y1 = x, y2 = x′, ... ym-1 = x(m–2), ym = x(m–1).

(19)

Формально продифференцировав уравнения (19) и воспользовавшись уравнениями (18) и (19), получим следующую систему уравнений

y′1 = y2, y′2 = y3, ... y′m-1 = ym, f(t, y1, y2, ..., ym, y′m)= 0.

(20)

Покажем, что уравнения (18) и (20) эквивалентны с учетом замены (19). Действительно, пусть x = φ(t), y₁ = ψ₁(t), ..., y_m = ψ_m(t) — решение системы (18) ∧ (19). Проделав, уже не формально (дифференцировать теперь можно), описанные при выводе системы (20) действия, получим, что y₁ = ψ₁(t), ..., y_m = ψ_m(t) — решение системы (20). Импликация (20) ∧ (19) ⇒ (18) доказывается аналогично. Остается заметить, что замена (19) очевидно допустима для уравнения (18) и (20).

1.4.6. Некоторые рекомендуемые замены. В таблице описываются некоторые из наиболее распространенных типов замен переменных. Как правило, их применение (т. е. переход от (8) к (9) с учетом (10) и обоснование допустимости замены) не вызывает затруднений.

1.4.7. Контрольные вопросы

1.4.7.1. Приведите пример недопустимой замены переменных.

1.4.7.2. Транзитивно ли отношение следования с учетом замены (относительно одной и той же замены З), т. е. вытекает ли из утверждения (У1 ⇒З У2) ∧ (У2 ⇒З У3) утверждение У3 ⇒З У3?

1.4.7.3. Правильно ли утверждение: если (У1 ⇒З1 У2) ∧ (У2 ⇒З2 У3), то найдется замена  З3 такая, что У3 ⇒З3 У3?

1.4.7.4. Сведите уравнение колебаний математического маятника x′′ + ω²sin x = 0 к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка.

1.4.7.5. Если два решения уравнения (1) совпадают в одной точке, то они совпадают на общей области определения?

1.4.7.6. Докажите (17).

1.4.8. Задачи

1.4.8.1. Докажите, что если в линейном уравнении

x′ = ax + b(t)

a — отрицательная константа, а b : R → R — непрерывная функция, имеющая конечный предел на бесконечности: lim_t→∞b(t) = b₀, то при t → ∞ каждое решение этого уравнения стремится к b₀/a.

1.4.8.2. Докажите, что если в уравнении tx′ = ax + b(t) константа a положительна, а предел b₀ = lim_t→0b(t) существует, то все решения этого уравнения при t → 0 имеют один и тот же конечный предел. Найдите его.

1.4.8.3. Пусть в уравнении (1) a(t) ≤ c < 0, а lim_{t → 0}b(t) = 0. Докажите, что все решения этого уравнения стремятся к нулю при t → + ∞.

1.4.8.4. Докажите, что если в уравнении (1) a(t) ≤ c < 0, то разность любых двух его решения при t → + ∞ (а если a(t) ≥ c > 0, то при t → –∞) стремится к нулю.

1.4.8.5. Покажите, что уравнение x′ + x = b(t), где |b(t)| ≤ M при всех t ∈ R имеет единственное ограниченное на R решение. Докажите, что это решения является периодической функцией, если b периодическая.

1.4.8.6. Докажите, что если два различных решения уравнения (1) являются T-периодическими, то любое решение этого уравнения T-периодично.

1.4.8.7. Докажите, что если два различных решения уравнения (1) ограничены на всей оси, то таковыми являются все его решения.

1.4.8.8. Покажите, что уравнение x′ = x·sin t + 1 не имеет периодических решений.

1.4.8.9. Пусть x = φ_i(t) (i = 1, 2) — решение уравнения (1), в котором b(t) = b_i(t) (b_i: [0, +∞) → R — непрерывные функции). Докажите, что для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что если

|φ1(0) – φ2(0)| < δ  и  |b1(t) – b2(t)| < δ при всех t ≥ 0,

то

|φ1(t) – φ2(t)| < ε при всех t ∈ D(φ1) ∩ D (φ2).

1.4.8.10. Покажите, что уравнение Рикатти

x′ = a(t)x + x2 + c(t)

(21)

с непрерывными периодическими коэффициентами не может иметь более двух периодических решений.

1.4.8.11. Покажите, что любые четыре решения уравнения Рикатти (21) связаны соотношением

φ4(t) – φ2(t) φ4(t) – φ1(t) / φ3(t) – φ2(t) φ3(t) – φ1(t) = const.

1.4.8.12. Покажите, что если все интегральные кривые уравнения x′ = f(t, x) подобны с центром подобия в начале координат (t, x)-плоскости, то это уравнение однородно: f(αt, αx) ≡ f(t, x).

1.4.8.13. Докажите, что если x = φ(t) — ненулевое решение линейного уравнения m-го порядка

x(m) + am–1x(m–1) + ... + a1(t)x′ + a0(t)x = 0,

то после замены x = yφ(t) это уравнение переходит в уравнение, не содержащее первой производной, порядок которого, как известно, может быть понижен на единицу.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 2 Jan 2002, 16:43.
Last modified 8 Apr 2002.