§ О27. Почти периодические и ограниченные решения

Описываемая в этом очерке задача является дальнейшим обобщением задачи о периодических решениях. Грубо говоря, исследуется вопрос: что происходит, когда период устремляется к бесконечности? Для ее описания нам потребуется понятие почти периодической функции. Типичным представителем множества таких функций является, к примеру, функция sin t + sin(t√2) (являющаяся решением, например, уравнения y^IV + 3x′′ + 2x = 0). Почти периодические функции обнаруживают многие свойства периодических функций, а задача о почти периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений во многом сходна с задачей о периодических решениях (хотя и существенно отлична от нее).

Перейдем к точным определениям. Пусть x: R → Rⁿ — непрерывная функция, а ε > 0. Число τ называется ε-почти периодом функции x, если ||x(t + τ) – x(t)|| ≤ ε при всех t ∈ R. Функция x называется почти периодической, если для любого ε > 0 найдется такое L > 0, что на каждом отрезке длины L функция x имеет ε-почти период.

Задача О27.1. Покажите, что функция x(t) = sin t + sin(t√2) является почти периодической, но не является периодической. (Очевидно, любая периодическая функция почти периодична.)

Задача О27.2. Докажите, что любая почти периодическая функция ограничена и равномерно непрерывна на R.

Следующие два определения почти периодической функции, эквивалентные приведенному выше, помогают освоиться с новым понятием. Будем называть τ-сдвигом функции x функцию x_τ(t) = x(t + τ). Функция x называется почти периодической, если множество всех ее τ-сдвигов (τ ∈ R) относительно компактно в топологии равномерной сходимости на всей оси, т. е. если из любой последовательности {x_τk} ({τ_k} — произвольная числовая последовательность) можно извлечь равномерно сходящуюся на всей оси подпоследовательность. Третье определение связано с понятием тригонометрических полиномов, т. е. функций вида

k ∑ i = 0 (αicos λit + βisin λit),

где α_i, β_i, λ_i — произвольные числа. Функция x называется почти периодической, если она является пределом (опять же в топологии равномерной сходимости на всей оси) некоторой последовательности тригонометрических полиномов, т. е. если она с любой точностью равномерно аппроксимируется тригонометрическими полиномами. Утверждение об эквивалентности этих трех определений — достаточно сложно доказываемая теорема. Отметим, в частности, что в свете этой эквивалентности утверждение задачи О27.1 тривиально.

Множество почти периодических функций x: R → Rn является линейным пространством относительно обычных операций сложения и умножения на скаляры. Более того, оно является банаховым пространством относительно нормы ||x|| = sup{||x(t)||: t ∈ R}; именно эта норма задает понадобившуюся выше топологию равномерной сходимости на всей оси. Это пространство обычно обозначают (от английского almost periodic — почти периодический) через AP(Rn) (или AP(Cn), если рассматривается пространство почти периодических функций со значениями в Cn). Можно показать, что произведение двух почти периодических функций является функцией почти периодической. Еще одно важное свойство: интеграл y(t) = ∫ t0x(s)ds от почти периодической функции x является почти периодической функцией в том и только том случае, если он ограничен на R.

Задача о почти периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений тесно связана с задачей об ограниченных на всей оси решениях. Например, любое ограниченное решение автономной системы

x′ = Ax,

является почти периодическим.

Задача О27.3. Докажите это утверждение (воспользуйтесь теоремой 3.4.3).

Этот факт допускает обобщение на системы вида

x′ = Ax + f(t)

(1)

(и даже на более общие (см. ниже) системы). Именно, любое ограниченное решение системы (1) с почти периодической функцией f почти периодично. В одномерном случае это утверждение можно доказать, например, так. Общее решение уравнения

x′ = λx + f(t)

(нам удобнее рассматривать комплексные уравнения и решения; перенос на вещественный случай стандартен) имеет вид

x(t) = eλt [ c + ∫ t 0 e–λsf(s) ds ] .

(2)

Пусть пока Re λ > 0. Тогда, поскольку |e^λt| → ∞ при t → ∞, чтобы решение (2) было ограниченным необходимо, чтобы

lim t→∞ [ c + ∫ t 0 e–λsf(s) ds ] = c + ∫ ∞ 0 e–λsf(s) ds = 0

и, следовательно, ограниченное решение имеет вид

x(t) = eλt [ – ∫ ∞ 0 e–λsf(s) ds + ∫ t 0 e–λsf(s) ds + ] = – ∫ ∞ t e–λ(t–s)f(s) ds.

(проверьте, что это решение действительно ограничено). Поэтому

|x(t + τ) – x(t)| = | ∫ ∞ t e–λ(t–s)[f(s + τ) – f(s)] ds | ≤

≤ sup s∈R |f(s + τ) – f(s)|· | ∫ ∞ t e–λ(t–s) ds | =

= 1 Re λ · sup s∈R |f(s + τ) – f(s)|.

Таким образом, если τ является ε-почти периодом функции f, то оно является (ε/Re λ)-почти периодом решения x, что в силу произвольности ε гарантирует почти периодичность функции x.

Задача О27.4. Восстановите детали доказательства и рассмотрите случаи Re λ < 0 и Re λ = 0.

Общий случай многомерного уравнения сводится к одномерному приведением уравнения (1) заменой x = Ty с неособенной матрицей T к уравнению с треугольной матрицей и последовательному применению доказанного одномерного утверждения.

Задача О27.5. Проведите полное доказательство.

Для уравнения

x′ = A(t)x + f(t)

(3)

с почти периодической матрицей A(t) аналог этого утверждения (о почти периодичности ограниченного решения) без дополнительных условий не имеет места (см. задачу О27.13 ниже). Для формулировки дополнительного условия, обеспечивающего почти периодичность ограниченного решения, необходимо важное в теории почти периодических функций понятие H-класса. А именно, H-классом H(f) почти периодической функции f называется замыкание множества всех τ-сдвигов {f_τ: τ ∈ R} в топологии равномерной сходимости на оси, т. е. замыкание этого множества в банаховом пространстве AP(Rⁿ).

Теорема Фавара. Пусть в уравнении (3) функции A(t) и f(t) почти периодичны и при любой матрице B(t) из H-класса матрицы A(t) уравнение

x′ = B(t)x

не имеет ненулевых ограниченных решений. Тогда ограниченные решения уравнения (3) (если они существуют) почти периодичны.

Более того, оговорка "если они существуют" на самом деле лишняя: в условиях теоремы Фавара уравнение (3) при любой ограниченной функции f имеет единственное ограниченное на всей оси (почти периодическое, если такова же f). Другими словами, дифференциальный оператор L = (d/dt) – A(t) обратим, как оператор из C1 в C и, кроме того, L–1[AP(Rn)] = AP(Rn). Обратимость оператора L гарантирует, в частности, наличие экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения. Кроме того, поскольку L есть непрерывная биекция C1 на C, в силу теоремы об открытом отображении (см. любой курс функционального анализа) оператор L–1 ограничен, т. е. ||L–1f||C1 ≤ ||f||C.

Доказательство теоремы Фавара, а также следующего за ним утверждения выходят за рамки книги. Отметим еще, что последнее утверждение можно рассматривать как некоторый аналог теоремы о разрешимости линейной задачи о периодических решениях.

Нелинейную задачу о почти периодических решениях мы продемонстрируем на примере уравнения

x′ = A(t)x + εf(t, x)

(4)

с малым параметром ε. Говорят, что функция f: R×Rⁿ → Rⁿ почти периодична по первому аргументу равномерно относительно второго, если для любого ε > 0 найдется такое L > 0, что на любом отрезке длины L у всех функций t → f(t, x) (x ∈ Rⁿ) найдется общий (не зависящий от x) ε-почти период.

Задача О27.6. Докажите, что если f(t, x) почти периодична по t равномерно относительно x, то при любой почти периодической функции φ: R → Rⁿ функция t → f[t, φ(t)] почти периодична.

Теорема об однозначной разрешимости нелинейной задачи о почти периодических решениях. Пусть A(t) удовлетворяет условиям теоремы Фавара, а функция f: R×Rⁿ →Rⁿ почти периодична по первому аргументу равномерно относительно второго и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу с некоторой константой l. Тогда при достаточно малых ε уравнение (4) имеет единственное почти периодическое решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Определим в пространстве AP(Rⁿ) оператор T_ε следующим образом. Пусть x ∈ AP(Rⁿ), а φ(t) = εf[t, x(t)]. Функция T_ε(x), по определению, есть единственное почти периодическое решение задачи

x′ = A(t)x + φ(t),

т. е. T_ε(x) = L^–1φ.

Задача О27.7. Докажите, что T_ε: AP(Rⁿ) → AP(Rⁿ).

Задача О27.8. Докажите, что неподвижные точки оператора T_ε в пространстве AP(Rⁿ) и только они являются почти периодическими решениями уравнения (4).

Нам, очевидно, достаточно доказать, что при малых ε оператор T_ε является сжимающим (на банаховом пространстве AP(Rⁿ)). Тогда в силу принципа сжимающих отображений он будет иметь единственную неподвижную точку, которая и будет искомым почти периодическим решением. Итак, пусть x, y ∈ AP(Rⁿ), а φ(t) = f[t, x(t)], ψ(t) = f[t, y(t)]. Тогда

||Tε(x) – Tε(y)||AP(Rn) = ||Tε(x) – Tε(y)||C = ||L–1φ – L–1ψ||C ≤

≤ K|| φ – ψ||C = K·  sup t∈R ||εf[t, x(t)] – εf[t, y(t)]||  ≤

≤ εK·  sup t∈R l||x(t) – y(t)|| ≤ εKl||x – y||C = εKl||x – y||AP(Rn).

Поэтому при ε < (Kl)^–1 оператор T_ε будет сжимающим, что и требовалось.

Задача О27.9. Пусть xε — почти периодическое решение уравнения (4), о котором идет речь в доказанной теореме. Докажите, что ||xε||C1 → 0 при ε → 0.

В заключение ответим, что в данном очерке мы не смогли затронуть большой и очень важный раздел теории почти периодических решений — спектральную теорию.

Литературные указания. В качестве начального учебника можно рекомендовать книгу [Демидович]. Продвинутое изложение см. в [Красносельский — Бурд — Колесов, Левитан, Левитан — Жиков, Corduneanu, Fink].

Задачи. О27.10. Докажите, что функция x: R →Rⁿ почти периодична в том и только том случае, если для любых последовательностей {h_k}, {τ_k} ⊂ R существует подпоследовательность k_i такая, что при каждом t ∈ R

lim i→∞ x(t + hki + τki) = lim i→∞ lim l→∞ x(t + hki + τkl) =

О27.11. Докажите, что производная почти периодической функции почти периодична в том и только том случае, если она равномерно непрерывна.

О27.12. Пусть φ(t) — почти периодическое решение уравнения x′ = A(t)x с почти периодической матрицей A(t). Докажите, что либо φ(t) ≡ 0, либо inf{||φ(t)||: t ∈ R} > 0.

О27.13. Пусть ak — для любого k ≥ 2 кусочно линейная нечетная периодическая периода 2k функция, равная нулю в точках t = 0 и t = 2k–1 и равная –k/(2k–1 – 1) при t ∈ [1, 2k–1 – 1]. Пусть a(t) = ∑∞k=2ak(t) (очевидно, a почти периодична как предел последовательности почти периодических функций). Докажите, что ненулевые решения уравнения x′ = a(t)x ограничены, но не являются почти периодическими.

О27.14. Пусть в скалярном уравнении

y′ = a(t)y + f(t)

a — почти периодическая функция такая, что a(t) ≥ a₀ > 0 при всех t. Докажите, что при любой f ∈ AP(Rⁿ) оно имеет единственное почти периодическое решение.

О27.15. Пусть f ∈ AP(Rⁿ). Докажите, что H(f) ⊂ AP(Rⁿ).

О27.16. Пусть f ∈ AP(Rⁿ) и g ∈ H(f). Докажите, что H(f) = H(g).

О27.17. Пусть K — компакт в Rⁿ, а f: R×K →Rⁿ — непрерывная функция такая, что при любом φ ∈ K функция t → f[t, φ(t)] почти почти периодична. Покажите, что f почти периодична по t равномерно относительно x ∈ K в том и только том случае, если f непрерывна по x равномерно относительно t.

О27.18. Покажите, что функция f(t, x) = sin tx не является почти периодической по t равномерно относительно x.

О27.19. Пусть f: R×K →Rⁿ (K — компакт в Rⁿ) почти периодична по первому аргументу равномерно относительно второго. По определению H-класс H(f) функции f состоит из функций g: R×K →Rⁿ таких, что для некоторой последовательности {h_k} ⊂ R

||f(t + hk, x) – g(t, x)|| → 0 при k → ∞

равномерно по t, x. Пусть для любой g ∈ H(f) уравнение x′ = g(t, x) имеет определенное на R решение со значениями в K. Тогда все эти решения почти периодичны.

О27.20. Сформулируйте и докажите аналог последней теоремы очерка для уравнения x′ = A(t)x + εf(t, x) + φ(t) (φ ∈ AP(Rⁿ)).

О27.21. Докажите последнюю теорему очерка для случая ограниченных решений, заменив в формулировке слова "почти периодическое" на "ограниченное" и потребовав дополнительно, что уравнение x′ = A(t)x допускает экспоненциальную дихотомию.

О27.22. Пусть в уравнении

x′ = A(t)x + f(x) + εφ(t)

(5)

матрица A удовлетворяет условиям теоремы Фавара, f: Rⁿ →Rⁿ — непрерывно дифференцируемая функция, причем, f ′(0) = 0, φ ∈ AP(Rⁿ), ε — малый параметр. Докажите, что уравнение (5) при достаточно малых ε имеет почти периодическое решение. Докажите, что в достаточно малом (не зависящем от ε) шаре пространства C с центром в нуле это решение единственно.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 20 Mar 2000, 21:00.
Last modified 30 Apr 2002.