§ О32. Топологические методы в теории дифференциальных уравнений

Соединя наши познания и капиталы, мы можем действовать несравненно успешней чем порознь.

Н.В. Гоголь. Игроки

Одним из наиболее эффективных приложений топологии в теории обыкновенных дифференциальных уравнений является применение теории индекса неподвижных точек непрерывных отображений. Здесь мы опишем простейшие результаты, иллюстрирующие лишь некоторые возможности теории индекса. Начнем с основных понятий теории индекса.

Индекс неподвижных точек — это целочисленная характеристика произвольного заданного заданного на замыкании Ω ограниченной области Ω ⊂ Rⁿ непрерывного отображения F со значениями в Rⁿ, не имеющего на границе ∂Ω области Ω неподвижных точек, т. е. таких точек x ∈ ∂Ω, что F(x) = x. Конструктивное определение индекса требует довольно развитой техники и для наших целей это знание просто не нужно. Нам важно знать какими свойствами обладает эта характеристика (тем более, что первыми тремя из перечисляемых ниже свойств она определяется однозначно и поэтому можно считать, что она задается аксиоматически этими свойствами ).

Два отображения F₀, F₁: Ω → Rⁿ называются гомотопными, если существует такое непрерывное отображение (гомотопия) Φ: [0,1]×Ω → Rⁿ, что, во-первых, Φ(λ, ·) не имеет неподвижных точек на ∂Ω при всех λ ∈ [0, 1], т. е. Φ(λ, x) ≠ x при всех λ ∈ [0, 1] и x ∈ ∂Ω, и, во-вторых, Φ(0, x) ≡ F₀(x), а Φ(1, x) ≡ F₁(x). Другими словами, гомотопность F₀ и F₁ означает, что их можно непрерывным образом деформировать друг в друга, причем при деформации неподвижные точки на границе не появляются. Отображение F называется невырожденным на Ω₁, если оно не имеет на Ω₁ неподвижных точек.

Индексом неподвижных точек (в дальнейшем — просто индекс) непрерывного невырожденного на ∂Ω отображения F: Ω → Rⁿ называется целое число ind (F, Ω), обладающее следующими тремя свойствами:

2º. Если Ω_i (i = 1,2, ...) — попарно не пересекающиеся открытые подмножества Ω, а F — невырождено на Ω \ ∪^∞_i=1Ω_i, то лишь конечное число индексов ind (F, Ω_i) отлично от нуля и ind (F, Ω) = ∑^∞_i=1ind (F, Ω_i).

Один из фундаментальных результатов топологии — это факт существования индекса неподвижных точек для любого непрерывного невырожденного на ∂Ω отображения F: Ω → Rⁿ.

В приложениях важнейшую роль играет следующее свойство индекса.

4º. Если ind (F, Ω) ≠ 0, то отображение F имеет в Ω по крайней мере одну неподвижную точку.

Индекс легко вычисляется в случае, когда F — линейный оператор, а Ω — открытая ограниченная окрестность нуля:

5º. Если F — линейный оператор в Rⁿ, не имеющий единичного собственного значения (это равносильно невырожденности F на ∂Ω), то ind (F, Ω) = (–1)^β, где β — сумма кратностей вещественных бóльших единицы собственных значений оператора F.

Полезным в приложениях оказывается следующий признак гомотопности двух отображений.

6º. Пусть невырожденные на ∂Ω отображения F₀ и F₁ таковы, что векторы x – F₀(x) и x – F₁(x) направлены не противоположно при любых x ∈ ∂Ω, т. е. x – F₀(x) ≠ λ[x – F₁(x)] при всех λ < 0. Тогда F₀ и F₁ гомотопны.

Задача О32.1. Докажите, что в последнем случае гомотопию осуществляет отображение Φ(λ, x) = (1 – λ)F₀(x) + λF₁(x).

В случае, когда Rⁿ = R² индекс неподвижной точки можно определить наглядно. Допустим ∂Ω представляет собой замкнутую жорданову кривую. Тогда ind (F, Ω) — это "число оборотов" вектора x – F(x), когда точка x пробегает ∂Ω в положительном направлении. Это определение формализуется так. Пусть φ: [0, 1] → R² — параметризация ∂Ω, причем, при возрастании t граница обходится в положительном направлении. Обозначим через Ξ(t) угол между полуосью Ox и вектором φ(t) – F[φ(t)] (см. рис. 1); здесь имеется в виду многозначная функция, значения которой в каждой точке отличаются на 2πk (k ∈ R). Пусть, наконец, ξ — одна из непрерывных однозначных ветвей функции Ξ. Тогда ind (F, Ω) = [ξ(1) – ξ(0)]/2π (см. рис. 2).

Задача О32.2. Пусть граница ∂Ω области Ω ⊂ R² является гладкой замкнутой жордановой кривой, а отображение F: Ω → R² таково, что вектор x – F(x) при каждом x ∈ ∂Ω касателен к ∂Ω в точке x. Докажите, что ind (F, Ω) = 1.

Обозначим через Ω внутренность цикла (таким образом, ∂Ω = Γ). Положим F(x) = x – f(x). Тогда, очевидно, вектор x – F(x) = f(x) касателен к Γ. Поэтому в силу задачи О32.2 ind (F, Ω) = 1, а в силу свойства 4º индекса отображение F имеет в Ω по крайней мере одну неподвижную точку x₀: x₀ = x₀ – f(x₀), и следовательно f(x₀) = 0, что и требовалось.

Основная область приложений теории индекса в теории обыкновенных дифференциальных уравнений — это теория периодических решений. Стандартная схема такова. Рассмотрим задачу о T-периодических решениях уравнения

Всюду ниже предполагается, что f: R×Rⁿ → Rⁿ — непрерывное T-периодическое по t (т. е. f(t + T, x) ≡ f(t, x)) отображение и, кроме того, F таково, что определен оператор сдвига по траекториям этого уравнения (например, F удовлетворяет условиям теоремы Коши — Пикара). Задача о T-периодических решениях уравнения (1) эквивалентна задаче о неподвижных точках оператора F = g^T₀ сдвига за период по траекториям уравнения (1). Точнее, если x = φ(t) — T-периодическое решение уравнения (1), то x₀ = φ(0) — неподвижная точка оператора F и, наоборот, если x₀ — неподвижная точка оператора F, то x(t) = g^t₀(x₀)— T-периодическое решение уравнения (1).

Таким образом, в силу свойства 4º индекса любой признак отличия ind (F, Ω) от нуля является признаком существования периодического решения уравнения (1) с начальным значением, лежащим в Ω. Основная трудность здесь — это необходимость описывать такие признаки в терминах правой части F уравнения.

Один из эффективных приемов получения таких признаков — так называемый метод направляющих потенциалов. Для его описания напомним некоторые понятия. Пусть V: Rⁿ → R — непрерывно дифференцируемая функция. Градиентом функции V называется отображение grad V: Rⁿ → R, задаваемое формулой

grad V(x) =

(

∂V(x₁, ..., x_n)

∂x₁

, ...,

∂V(x₁, ..., x_n)

∂x_n

)

;

функцию V при этом называют потенциалом отображения grad V. Потенциал V называется невырожденным, если вне некоторого шара (скажем радиуса ρ) с центром в нуле отображение I – grad V (здесь I — тождественное отображение) невырождено. Индексом ind V невырожденного потенциала называется индекс ind (I – grad V, Ω) отображения I – grad V на открытом шаре Ω с центром в нуле, вне которого отображение I – grad V невырождено. Очевидно, ind V не зависит от радиуса r шара Ω, если r ≥ ρ (докажите!). Потенциал V называется направляющим для уравнения (1), если

при всех t и при всех x вне некоторого шара с центром в нуле радиуса r₀; здесь (·, ·) — скалярное произведение в Rⁿ. Другими словами, векторы grad V(x) и f(t, x) образуют острый угол.

Метод направляющих потенциалов основывается на следующем утверждении, доказательство которого мы отпускаем, отсылая читателя к специальной литературе (см., напр., [Красносельский, Красносельский — Забрейко]). Пусть V — направляющий потенциал для уравнения (1), r ≥ r₀, а Ω — открытый шар радиуса r с центром в нуле. Тогда ind (F, Ω) = ind V, где F = g^T₀— оператор сдвига за период по траекториям уравнения (1). Это утверждение позволяет сводить вычисление ind (F, Ω) к вычислению ind V, что в ряде случаев оказывается значительно проще, поскольку направляющий потенциал в некоторых случаях удается выписать в явном виде.

В качестве примера рассмотрим задачу о T-периодических решениях уравнения

Уравнения такого вида встречаются в теории автоматического регулирования. Предположим, что φ и ψ — непрерывные удовлетворяющие условию Липшица по y и y′ функции, причем ψ является T-периодической по t. Пусть

Покажем, что если κ₁ < 0, то уравнение (2) имеет по крайней мере одно T-периодическое решение. Уравнение (2) эквивалентно системе

x′₁= x₂

x′₂= –ax₂ – φ(x₁) + ψ(t, x₁, x₂)

}

= f(t, x₁, x₂).

(3)

Задача О32.4. Докажите, что потенциал V невырожден и ind V = 1.

Последнее гарантирует существование хотя бы одного T-периодического решения системы (3) и, следовательно, уравнения (2).

Задача О32.5. Докажите, что если a ≠ 0 и κ₂ = lim_|y|→∞φ(y)/y > 0, то направляющим потенциалом системы (3) индекса 1 является функция

V(x₁, x₂) = –a³x²₁– 2a²x₁x₂ – 2ax²₂– 4a

∫

x₁

0

φ(ξ) dξ.

Во многих случаях использование оператора сдвига затруднено именно тем, что его нельзя выписать в явном виде. Иногда проще сводить задачу о T-периодических решениях уравнения (1) к интегральным операторам. Например, указанная задача эквивалентна задаче о неподвижных точках действующего в C([0, T], Rⁿ) оператора

Задача О32.6. Докажите, что оператор F действует в банаховом пространстве C([0, T], Rⁿ), непрерывен и его неподвижные точки и только они являются сужениями T-периодических решений уравнения (1) на отрезок [0, T].

За простоту вида оператора приходится платить: мы вынуждены перенести действие из конечномерного пространства Rⁿ в бесконечномерное банахово пространство C([0, T], Rⁿ). Эта плата оказывается не столь высокой, поскольку получающиеся операторы оказываются в большинстве случаев вполне непрерывными, а на вполне непрерывные операторы распространяется теория индекса неподвижных точек. Поясним последнюю фразу и приведем один пример. Для этого нам потребуются некоторые понятия и факты функционального анализа.

Множество A в банаховом пространстве E называется относительно компактным, если из любой последовательности {x_k} ⊂ A можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Теорема Арцела — Асколи утверждает, что множество в C([0, T], Rⁿ) относительно компактно в том и только том случае, если оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Непрерывный оператор F: E → E называется вполне непрерывным, если он переводит любое ограниченное множество в относительно компактное.

Задача О32.7. Покажите, что определяемый формулой (4) оператор F вполне непрерывен как оператор в C([0, T], Rⁿ).

Вышеприведенная фраза о том, что на вполне непрерывные операторы переносится теория индекса неподвижных точек означает, что для вполне непрерывных операторов F, определенных на замыкании Ω ограниченной области Ω в банаховом пространстве E и не имеющих на ∂Ω неподвижных точек, можно определить целое число ind (F, Ω) (индекс), обладающее свойствами 1º – 6º.

в котором F такая же, как и выше, а непрерывная T-периодическая n×n-матрица-функция A(t) такова, что линейное уравнение

не имеет нетривиальных T-периодических решений. Покажем, что при достаточно малых ε уравнение (5) имеет T-периодическое решение.

Пусть Ω — произвольный открытый шар в C([0, T], Rⁿ) с центром в нуле (скажем радиуса r). Отсутствие нетривиальных T-периодических решений уравнения (6) означает, что единица не является собственным числом линейного оператора F₀, т. е. оператора F_ε при ε = 0. Поэтому в силу свойства 5º индекса ind (F₀, Ω) определен и отличен от нуля. Если мы теперь докажем, что векторы x – F₀(x) и x – F_ε(x) при малых ε направлены непротивоположно на ∂Ω, то тем самым покажем отличие от нуля индекса ind (F₀, Ω) (см. свойство 6º) и, следовательно, существование в Ω неподвижных точек операторов F_ε. Для этого предположим противное: существуют ε_k → 0, x_k ∈ ∂Ω (т. е. ||x_k|| = r) и λ_k < 0 такие, что x_k – F₀(x_k) = λ_k[x_k – F_{ε_k}(x_k)] или

Заметим, во-первых, что поскольку оператор F₀ вполне непрерывен, а последовательность {x_k} ограничена, последовательность {F₀(x_k)} относительно компактна и поэтому, не ограничивая общности, ее можно считать сходящейся в C([0, T], Rⁿ). Во-вторых, как легко видеть, ||F_εk(x_k) – F₀(x_k)|| → 0. Наконец, также не ограничивая общности, можно считать, что последовательность {λ_k} сходится к некоторому (конечному или бесконечному) числу λ₀. Из сказанного вытекает, что последовательность, стоящая в правой части тождества (7), сходится в C([0, T], Rⁿ), т. е. сходящейся к некоторому x₀ ∈ C([0, T], Rⁿ) является последовательность {x_k}, причем очевидно x₀ ≠ 0 так как ||x_k|| = r. Переходя в (7) к пределу при k → ∞ и используя непрерывность F₀, получаем

что противоречит условиям. Таким образом, оператор F_ε при малых ε имеет в Ω по крайней мере одну неподвижную точку, а вместе с этим и уравнение (5) при малых ε имеет по крайней мере одно T-периодическое решение.

Задача О32.8. Восстановите детали доказательства.

Задача О32.9. Покажите, что при малых ε уравнение (5) имеет T-периодическое решение x_ε такое, что ||x_ε||_C → 0.

Литературные указания. В этом очерке термин "топологические методы" использован в узком смысле: имеется в виду применение теории индекса неподвижных точек. В более широком смысле связи теории обыкновенных дифференциальных уравнений и топологии описаны, напр., в учебниках [Арнольд, Арнольд]. В указанном узком смысле описанные методы восходят к классической статье Ж. Лере и Ю. Шаудера (рус. пер. см. в Усп. матем. н., 1946, 1, NN 3 – 4). Современное изложение можно найти в монографиях [Красносельский, Красносельский, Красносельский — Забрейко].

Задачи. О32.10. Докажите, что если в автономном уравнении

линейный оператор A невырожден, а непрерывный оператор F ограничен на всем Rⁿ (||f(x)|| ≤ M при всех x ∈ Rⁿ), то уравнение имеет по крайней мере одно стационарное решение.

О32.11. Точка x₀ ∈ Rⁿ называется точкой T-невозвращаемости траектории уравнения (1), если g^t₀(x₀)≠ x₀ при всех t ∈ (0, T]. Пусть все точки границы ∂Ω ограниченной области Ω ⊂ Rⁿ представляют собой точки T-невозвращаемости траекторий уравнения (1) и f(0, x) ≠ 0 при x ∈ ∂Ω. Покажите, что ind (g^T₀, Ω) = ind (I + f(0,·), Ω) (здесь через I + f(0,·) обозначается отображение x → x + f(0, x)). Поэтому любой признак отличия ind (I + f(0, x), Ω) от нуля в этих условиях является признаком наличия T-периодического решения уравнения (1).

О32.12. Пусть выполнены условия предыдущей задачи, ind (I + f(0, x), Ω) ≠ 0, а требование существования и непрерывности оператора сдвига ослаблено до требования продолжимости любого решения уравнения (1) на отрезок [0, T] (под T-невозвращаемостью точки x₀ понимается теперь выполнение неравенства x(t) ≠ x₀ при всех t ∈ (0, T]). Покажите, что уравнение (1) имеет по крайней мере одно T-периодическое решение. (Указание: аппроксимируйте f последовательностью удовлетворяющих условию Липшица отображений).

О32.13. Индексом (изолированной) неподвижной точки вполне непрерывного оператора F, действующего в банаховом пространстве E, называется число ind (F, B(x₀, r)), где B(x₀, r) — шар в E радиуса r с центром в x₀, не содержащий внутри себя и на границе других неподвижных точек оператора F. Обозначение ind (F, x₀). Докажите, что определение ind (F, x₀) корректно, т. е. не зависит от выбора шара B(x₀, r).

где f: R×Rⁿ×[0, 1] → Rⁿ — T-периодическая по первому аргументу непрерывная функция. Пусть при ε = 0 уравнение (8) имеет T-периодическое решение x₀ ненулевого индекса (под индексом периодического решения x₀ здесь понимается ind (F, x₀), где F — заданный формулой (4) оператор). Покажите, что при достаточно малых ε уравнение (8) имеет T-периодическое решение.

О32.15. Докажите, что в условиях предыдущей задачи при достаточно малых ε уравнение (8) имеет T-периодическое решение x_ε такое, что ||x_ε – x₀||_C → 0 при ε → 0.

Предполагается, что функции a₀, a₁ и F непрерывны. Пусть линейная задача

имеет только нулевое решение и пусть G(t, s) — ее функция Грина. Пусть для любой непрерывно дифференцируемой на [0, T] функции φ функция F(φ) определяется формулой

Докажите, что F действует в C¹[0, T] и вполне непрерывен. Покажите, что решение задачи (9) – (10) и только они являются неподвижными точками оператора F.

О32.17. Покажите, что если F равномерно ограничена, т. е. |f(t, a, b)| ≤ M при всех t, a, b, то задача (9) – (10) имеет по крайней мере одно решение.

О32.18. Пусть задача (9) – (10) имеет изолированное решение x₀ ненулевого индекса (индекс неподвижной точки x₀ действующего в C¹[0, T] оператора F (см. (11)) отличен от нуля). Покажите, что краевая задача

при всех достаточно близких к единице ε имеет по крайней мере одно решение.

О32.19. Обобщите утверждение предыдущей задачи на случай нелинейности вида f(t, x, x′, ε).

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 24 Mar 2000, 20:22.
Last modified 2 May 2002.