§ 3.2. Фундаментальные матрицы

В этом параграфе мы введем и изучим понятия фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы (ЛОС) и покажем, что операторы gt0t, Kt0 и gt0t выражаются через фундаментальную матрицу. Общего способа для отыскания фундаментальной матрицы системы с переменными коэффициентами нет, однако сам факт ее существования играет в теории дифференциальных уравнений важную роль.

3.2.1. Утверждение о структуре множества решений ЛОС. Рассматривается линейная однородная система

x′ = A(t)x.

(ЛОС)

Пусть E — множество всех ее решений на промежутке J, а φ = {φ₁, ..., φ_n} ⊂ E. Утверждается, что:

1) E — n-мерное подпространство пространства C¹ непрерывно дифференцируемых на J функций со значениями в Kⁿ;

2) следующие утверждения эквивалентны

φ — базис в E,

(1)

∃(t0 ∈ J)[φ(t0) = {φ1(t0), φ2(t0), ..., φn(t0)} — базис в Kn],

(2)

∀(t0 ∈ J)[φ(t0) = {φ1(t0), φ2(t0), ..., φn(t0)} — базис в Kn].

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Утверждение 1) вытекает из свойств мономорфизма (см. п. 3.1.4), поскольку E = Gt0(Kn) ⊂ C1. Далее, импликация (2) ⇒ (1) следует из того, что мономорфизм Gt0 переводит базис в базис. Поскольку импликация (3) ⇒ (2) очевидна, остается доказать, что (1) ⇒ (3). Но это следует из того же утверждения о свойствах мономорфизмов, примененного к обратному оператору Gt0–1.

Заметим, что для произвольного набора функций φ_k, не связанных с (ЛОС), импликация (1) ⇒ (3) может быть ложной. Например, скалярные функции φ₁(t) ≡ 1, φ₂(t) ≡ t на [0, 1] линейно независимы, а их значения в любой точке t₀ линейно зависимы.

3.2.2. Определение фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы. Фундаментальной системой решений (ЛОС) называется любой базис в пространстве решений E. Фундаментальная матрица Φ(t) — матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений. Фундаментальная матрица Φt0(t), нормальная в точке  t0, выделяется из множества всех фундаментальных матриц условием Φt0(t) = I (I — единичная матрица).

П р и м е р ы.

1) Скалярная функция

Φt0(t) ( ∫ t t0 a(s) ds )

образует фундаментальную матрицу (и фундаментальную систему решений) линейного скалярного уравнения

x′ = a(t)x;

она нормальна в точке t₀.

2) Пара вектор-функций

φ1(t) = ( sin ωt cos ωt ) ,   φ2(t) = ( cos ωt –sin ωt )

образуют фундаментальную систему решений для системы уравнений гармонического осциллятора

x′1= ωx2,   x′2= –ωx1,

так как, во-первых, это решения, и во-вторых,

φ1(0) = ( 0 1 ) ,   φ2(0) = ( 1 0 ) —

базис в R². Поэтому матрица

Φ(t) = ( sin ωt cos ωt cos ωt   –sin ωt )

является фундаментальной. Она не нормальна ни в одной точке t₀, так как на главной диагонали не могут одновременно стоять единицы.

Матрица с переставленными столбцами

Φ(t) = ( cosωt –sin ωt   sin ωt cos ωt )

очевидно, фундаментальна и нормальна в точке t₀ = 0.

3.2.3. Утверждение о комплексном линейном однородном уравнении. Рассмотрим систему

x′1= α(t)x1 – β(t)x2, x′2= β(t)x1 + α(t)x2.

(4)

Предположим, что

α, β: J → R непрерывны.

Утверждается, что система (4) имеет фундаментальную матрицу

Φ(t) = eA(t) ( cos B(t) sin B(t)   –sin B(t) cos B(t) )

(5)

где

A(t) = ∫ t t0 α(s) ds, B(t) = ∫ t t0 β(s) ds.

Если систему (4) записать в виде комплексного линейного уравнения

z′ = λ(t)z,

(6)

то фундаментальную матрицу можно представить в виде

Ψt0(t) = eA(t)(cos B(t) + isin B(t)) = exp ( ∫ t t0 λ(s) ds ) .

В частности, для уравнения

z′ = λz

с постоянным комплексным коэффициентом λ = α + iβ

Ψ0(t) = eλt;

здесь использовано известное обозначение

ea + ib = ea(cos b + isin b).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем, что столбцы матрицы (6)

φ1(t) = eA(t) ( cos B(t) sin B(t) ) ,   φ2(t) = eA(t) ( –sin B(t) cos B(t) )

являются решениями (4):

φ′1(t)= α(t)eA(t) ( cos B(t) sin B(t) ) + β(t)eA(t) ( –sin B(t) cos B(t) )   =   ( α(t) β(t)   –β(t) α(t) ) φ1(t),

φ′2(t)= α(t)eA(t) ( –sin B(t) cos B(t) ) + β(t)eA(t) ( –cos B(t) –sin B(t) )   =   ( α(t) β(t)   –β(t) α(t) ) φ2(t),

Далее, найдем их значение в точке t₀:

φ1(t0) = ( 1 0 ) ,   φ2(t0) = ( 0 1 ) .

Итак, (6) есть Φt0(t) — фундаментальная матрица системы (4), нормальная в точке t0.

Напомним, что решения системы (4), (6) связаны соотношениями x = rz, z = cx, где r и c — отображения овеществления и комплексификации. Поэтому из решений φ₁, φ₂ системы (4) получаем следующие решения уравнения (6):

ψ1(t) = eA(t)(cos B(t) + isin B(t)),    ψ2(t) = eA(t)(–sin B(t) + icos B(t)).

Они линейно зависимы, поскольку, очевидно, ψ2 = iψ1. Решение ψ1 составляет фундаментальную матрицу, нормальную в точке t0, так как ψ1(t0) = 1. Его мы и обозначим через Ψt0(t).

3.2.4. Критерий фундаментальности. Наряду с (ЛОС) рассмотрим соответствующее матричное уравнение

X′ = A(t)X,

(МУ)

в котором неизвестная функция X = X(t) принимает значения в пространстве Mⁿ всех квадратных (n×n)-матриц с элементами из K.

Утверждается: для того чтобы заданная матрица-функция Φ: J → Mⁿ была фундаментальной матрицей (ЛОС) необходимо и достаточно, чтобы она была решением (МУ) и имела в некоторой точке t₀ ненулевой определитель. В этом случае он будет отличен от нуля в любой точке t ∈ J. Фундаментальная матрица является нормальной в точке t₀, если и только если она удовлетворяет матричному начальному условию

X(t0) = I.

(МНУ)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Заметим, что матричная функция X = Φ(t) будет решением (МУ) в том и только том случае, когда любой ее столбец φ_k является решением (ЛОС). Действительно, равенство k-ых столбцов в (МУ) имеет вид

φ′k(t)= A(t)φk(t),

что совпадает с (ЛОС). Теперь сформулированный критерий вытекает непосредственно из определений и теоремы о структуре множества решений (ЛОС), поскольку линейная независимость столбцов определителя эквивалентна, как устанавливалось в курсе алгебры, отличию этого определителя от нуля.

3.2.5. Общее решение (ЛОС) и оператор сдвига. Общее решение (ЛОС) задается формулой

x = Φ(t)C    (C ∈ Kn),

(7)

где Φ(t) — любая фундаментальная матрица (ЛОС). Оператор сдвига имеет вид

gt0t(x0)= Φt0(t)x0,

(8)

где Φt0(t) — фундаментальная матрица, нормальная в точке t0.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Поскольку столбцы φ₁(t), ..., φ_n(t) фундаментальной матрицы Φ(t) образуют, по определению, базис в пространстве E всех решений (ЛОС), все множество E есть линейная оболочка этих столбцов, т. е. описывается в точности формулой (7):

Φ(t)C = C1φ1(t) + C2φ2(t) + ... + Cnφn(t).

По этой причине (8) есть решение (ЛОС), которое в силу равенства Φt0(t0) = I принимает в t0 значение x0.

Формула (8) означает, что Φt0(t) есть матрица линейного оператора gt0t в естественном базисе e1 = (1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 1) пространства Kn.

3.2.6. Выражение Kt0 через Φ и формулы вариации произвольной постоянной. Частное решение неоднородной линейной системы, удовлетворяющее нулевому начальному условию, может быть выражено через b(t) и любую фундаментальную матрицу (ЛОС) Φ:

(Kt0b)(t) =  Φ(t) ∫ t t0 Φ–1(s)b(s) ds =  ∫ t t0 Φs(t)b(s) ds.

(9)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Очевидно, при t = t₀ правая часть в (9) обращается в 0. Непосредственной подстановкой в (ЛС) убеждаемся, что эта функция является решением неоднородной системы

d dt ( ∫ t t0 Φ–1(s)b(s) ds ) =  Φ′(t) ∫ t t0 Φ–1(s)b(s) ds + Φ(t)Φ–1(t)b(t) =

=  A(t) ( Φ(t)  ∫ t t0 Φ–1(s)b(s) ds ) + b(t)

(в последнем переходе мы воспользовались тем, что Φ(t) есть решение (МУ)).

Из формулы

gt0t(x0)= gt0t(x0)+ (Kt0b)(t)

(см. (7) в п. 3.1.6) и полученных в настоящем параграфе выражений gt0t, Kt0 через Φ получаются формулы для оператора сдвига

gt0t(x0)= Φt0(t)x0 + ∫ t t0 Φs(t)b(s) ds

(10)

и общего решения (ЛС)

φон(t) = Φt0(t)C + ∫ t t0 Φs(t)b(s) ds

(в первом слагаемом Φt0(t) можно заменить на любую фундаментальную матрицу Φ(t)).

Их часто называют формулами вариации произвольной постоянной, поскольку они могут быть получены, как и соответствующие формулы для скалярного уравнения, методом вариации произвольной постоянной (см. п. 1.4.1).

3.2.7. Пример: вертикальный осциллятор. Если рассмотренный в п. 1.5.2 гармонический осциллятор расположить вертикально, то к силе пружин добавится сила тяжести P = mg и уравнение примет вид

x′′ + ω2x = g.

Запишем его в виде системы (x₁ = x, x₂ = x′/ω):

d dt ( x1 x2 )   =   ( 0 –ω   ω 0 ) ( x1 x2 )   +   ( 0 –g/ω ) .

(11)

Фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в точке s, имеет вид:

Φs(t) = ( cos ω(t – s) –sin ω(t – s)     sin ω(t – s) cos ω(t – s) ) .

Учитывая, что

b(t) = ( 0 –g/ω ) ,

получаем

(K0b)(t) = ∫ t 0 ( cos ω(s – t) sin ω(s – t)    –sin ω(s – t) cos ω(s – t) ) ( 0 –g/ω ) ds = g ω2 ( 1 – cos ωt sin ωt ) .

В силу (9)

x = x1 = g ω2 + ( x01 – g ω2 ) cos ωt + x02sin ωt,

где x₀₁ = x(0), x₀₂ = x′(0).

Проведенные вычисления можно было упростить, заметив, предварительно, что (11) есть вещественная запись комплексного уравнения

z′ = –iωz + i g ω .

(12)

Действительно, тогда

ψs(t) = e – iω(t – s);

положив b₁ = ig/ω, получим

(K0b1)(t) = ∫ t 0 eiω(s–t) g ω i ds = g ω2 eiω(s–t)| t s=0 = g ω (1 – e–iωt);

z = e–iωtz0 + g ω2 (1 – e–iωt),

где z₀ = x₀₁ + ix₀₂. Поэтому

x = Re z = x01cos ωt + x02sin ωt + g ω2  –  g ω2 cos ωt.

Еще одно возможное упрощение состоит в том, что для выписывания общего решения неоднородной системы (см. п. 3.1.7) можно использовать не обязательно (K₀b)(t), а любое частное ее решение, которое проще находится. Например, поскольку в уравнении (12) b₁ = ig/ω есть константа, естественно попытаться найти частное решение z₁ в виде константы: z₁ = C ∈ C. Очевидно, z₁′ = 0 и

–iωC + i g ω = 0,   C = g ω2 .

Тогда общее решение уравнения (12) запишется в виде

z = e–iωt(C1 + iC2) + g ω2    (C1, C2 ∈ R),

т. е.

x = Re z = C1cos ωt + C2sin ωt + g ω2 .

3.2.8. Лемма о дифференцировании произведения матриц. В п. 3.2.6 мы уже воспользовались тем фактом, что произведение прямоугольных матриц (в частности, матрицы на вектор-столбец) можно дифференцировать по обычному правилу:

d dt [A(t)B(t)] = A′(t)B(t) + A(t)B′(t).

(13)

Здесь мы это докажем и установим также полезное правило дифференцирования обратной матрицы (если она существует):

d dt A–1(t) = –A–1(t)A′(t)A–1(t).

(14)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Производная матрицы, как и вектора, вычисляется поэлементно:

d dt M(t) = (m′ij(t)).

Элемент c_ij произведения A(t)B(t) имеет вид

cij(t) = ∑ k aik(t)bkj(t).

Отсюда следует (13). Для проверки (14) продифференцируем почленно тождество A(t)A^–1(t) ≡ I:

A′(t)A–1(t) + A(t) d dt A–1(t) ≡ 0.

Это приводит к (14).

3.2.9. Теорема о множестве всех фундаментальных матриц. Пусть Φ(t) — какая-нибудь фундаментальная матрица (ЛОС). Тогда множество всех фундаментальных матриц описывается формулой

Φ(t)P,

(15)

где P пробегает множество всех невырожденных квадратных постоянных (не зависящих от t) матриц.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем, что любая матрица вида (15) является фундаментальной. Во-первых, она удовлетворяет (МУ):

d dt [Φ(t)P] = Φ′(t)P + Φ(t)P′ = Φ′(t)P = A(t)Φ(t)P.

Во-вторых, det Φ(t)P = det Φ(t)·detP ≠ 0. Наоборот, возьмем любую фундаментальную матрицу Ψ(t) и покажем, что она представляется в виде (15). Действительно, матрица Φ ^{– 1}(t)Ψ(t), очевидно, имеет при любом t ненулевой определитель и не зависит от t:

d dt [Φ–1(t)Ψ(t)] = –Φ–1(t)Φ′(t)Φ(t)Ψ(t) + Φ–1(t)Ψ′(t) =

= –Φ–1(t)A(t)Φ(t)Φ–1(t)Ψ(t) + Φ–1(t)A(t)Ψ(t) = 0.

3.2.10. Контрольные вопросы

3.2.10.1. Является ли матрица

Φ(t) = ( cos t –sin t sin t    cos t )

фундаментальной для системы

x′1= x2,   x′2= –x1?

3.2.10.2. Может ли матрица

Φ(t) = ( cos t sin t sin t    cos t )

быть фундаментальной для какой-нибудь линейной однородной системы?

3.2.10.3. Найдите решение матричного уравнения

X′ = ( 1 t 0    2 ) X,

удовлетворяющее начальному условию X(0) = I.

3.2.10.4. Могут ли матрицы-функции

Φ(t) = ( et 2et 2e2t    e2t ) ,   Ψ(t) = ( cos t –sin t sin t    cos t )

быть фундаментальными для одной и той же (ЛОС)?

3.2.10.5. С помощью формулы вариации произвольной постоянной найдите решение системы

x′1= x2 + 2et,   x′2= x1 + t2,

если известно, что решениями соответствующей однородной системы являются функции

x1(t) = ( et + e–t et – e–t ) ,   x2(t) = ( et et )

3.2.10.6. Могут ли все вектор-функции вида (at + b, 0) быть решениями одной и той же двумерной системы?

3.2.11. Задачи

3.2.11.1. Докажите, что две различные линейные однородные системы x′ = A(t)x и x′ = B(t)x (A(t) B(t)) с непрерывными коэффициентами не могут иметь одну и ту же фундаментальную матрицу.

3.2.11.2. Пусть Φ и Ψ — фундаментальные матрицы линейных систем x′ = A(t)x и x′ = B(t)x с непрерывными коэффициентами, соответственно. Покажите, что при любой постоянной невырожденной матрице C матрица-функция ΦCΨ является решением матричного уравнения

X′ = A(t)X + XB(t).

3.2.11.3. Пусть (Φ, Ψ) — решение матричной системы уравнений

X′ = A(t)X + B(t)Y,

Y′ = C(t)X + D(t)Y

(A, B, C, D — непрерывные n×n-матрицы-функции). Докажите, что если Ψ обратима, то матрица ΦΨ^–1 является решением матричного уравнения Рикатти

Z′ = B(t) + A(t)Z – ZD(t) – ZC(t)Z.

3.2.11.4. Если A(t) — матрица-функция с дифференцируемыми компонентами, а w(t) = det A(t). Докажите, что w′(t) = ∑ni=1det Ai′(t), где матрицы Ai′(t) получаются из матрицы A(t) дифференцированием компонентов i-го столбца.

3.2.11.5. Докажите, что если Φ(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), а w(t) = det Φ(t), то при всех t, t₀ ∈ R

w(t) = w(t0)exp ( ∫ t t0 Tr A(s) ds ) ,

где Tr A(s) — след матрицы A(s) (т. е. сумма ее диагональных элементов: Tr A(s) = ∑ni=1aii(s)).

3.2.11.6. Докажите, что любые n линейно независимых непрерывно дифференцируемых функций φ_i: R → Kⁿ одновременно являются решениями некоторой (ЛОС) с непрерывной n×n-матрицей- функцией A(t).

3.2.11.7. По заданному общему решению (ЛНС) x = Φ(t)C + φ(t) (C ∈ Rⁿ, Φ(t) — фундаментальная матрица) найдите оператор сдвига.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 6 Jan 2002, 22:10.
Last modified 14 Apr 2002.