|
§ 4.1. Зависимость решений от начальных значений и параметров |
|
Колеблет небо жизнь мою,
Но небом я не сокрушен!
Шицзин
При исследовании дифференциальных уравнений нередко
встречается следующая ситуация: известно решение, отвечающее
некоторому "особому" начальному значению x0,
а требуется приблизительно описать поведение
решений с близкими к x0 начальными
значениями x0. Для решения этой задачи полезны теоремы о непрерывности и
дифференцируемости оператора сдвига, которые изучаются в данном параграфе.
4.1.1. Постановка задач. В этом параграфе изучаются
следующие три задачи.
(а) Задача о зависимости решения от начального
значения x0. Рассматривается начальная задача
|
и исследуется зависимость ее решения φ(t) =
gt0t(x0)от
x0 т. е. доказываются теоремы о липшицевости и
дифференцируемости оператора сдвига.
|
(б) Задача о зависимости решения от параметра v.
Рассматривается начальная задача
|
x′ = f(t, x, v),
x(t0) = x0
| (1) |
(t0, x0 фиксированы). Если ввести дополнительную
неизвестную функцию w с помощью уравнений
то (1) примет вид
Нетрудно видеть, что (2) – (4) есть задача о зависимости решения
(x, w) от начального значения
(x0, v).
Это есть задача о зависимости решения от параметра
t0, которая, как мы видели выше, сводится к задаче
о зависимости от x0.
Итак, из указанных трех задач основной мы можем считать первую,
так как две другие сводятся к ней заменой переменных.
4.1.2. Лемма Гронуолла — Беллмана.
Пусть на некотором промежутке J ′ t0
непрерывная функция y(t) ≥ 0
удовлетворяет неравенству
| y(t) ≤ y0 + |
| | ∫ |
t
t0 |
M(s)y(s) ds |
| | , |
|
где y0 ≥ 0, а
M: J → R —
непрерывная неотрицательная функция. Тогда
| y(t) ≤ y0·exp |
| | ∫ |
t
t0 |
M(s) ds | | |
(t ∈ J). |
|
Эта лемма часто применяется при исследовании дифференциальных уравнений, в частности,
при изучении вопросов о зависимости решений от начальных значений.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем обозначение
| z(t) = y0 + |
| | ∫ |
t
t0 |
M(s)y(s) ds |
| | , |
|
тогда, очевидно, y(t) ≤ z(t)
(t ∈ J). Поэтому достаточно доказать, что
| z(t) ≤ y0·exp |
| | ∫ |
t
t0 |
M(s) ds | | |
. |
|
Очевидно, при t ≥ t0
| z(t) = y0 + | ∫ |
t
t0 |
M(s)y(s) ds |
|
и
|
z′(t) = M(t)y(t)
≤ M(t)z(t), |
а при t < t0
| z(t) = y0 – | ∫ |
t
t0 |
M(s)y(s) ds |
|
и
|
z′(t) = –M(t)y(t)
≥ –M(t)z(t). |
Поэтому для некоторых неотрицательных непрерывных функций
b1(t), b2(t)
|
z′(t) = M(t)z(t) –
b1(t) (t ≥
t0), |
|
z′(t) = –M(t)z(t) +
b2(t) (t < t0).
|
| z(t) = Φt0(t) |
( |
z(0) – |
∫ |
t
t0 |
Φ |
–1
t0 |
(s)b1(s) ds |
) |
≤ |
|
| ≤
Φt0(t)z(0) =
y0·exp | | |
∫ |
t
t0 |
M(s) ds | | |
(t ≥ t0) |
|
и
| z(t) = | Φ |
–1
t0 |
(t) | ( | z(0) + |
∫ |
t
t0 |
Φt0(s)b2(s) ds |
) | ≤ |
|
| ≤
Φt(t0)z(0) =
y0·exp | | |
∫ |
t
t0 |
M(s) ds | | |
(t < t0) |
|
4.1.3. Теорема о липшицевости оператора сдвига.
Пусть для уравнения (НС) выполнены условия
обобщенной теоремы
Коши — Пикара, т. е.
|
f(t, x) непрерывно по t при фиксированных x,
|
|
|f(t, x) – f(t, y)| ≤
M(t)|x – y|, M:
J → R непрерывна.
|
Тогда оператор сдвига по траекториям уравнения
(НС) удовлетворяет обобщенному условию Липшица:
|gt0t(x0)–
gt0t(x0)|≤
|x0 –
x0|·exp
|
| | ∫ |
t
t0 |
M(s) ds | | |
| (5) |
| и, в частности,
gt0t
непрерывен. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
φ(t) =
gt0t(x0),
ψ(t) =
gt0t(x0),
тогда |
| φ′(t) = f[t,
φ(t)], φ(t) =
x0 + | ∫ |
t
t0 |
f[s, φ(s)] ds |
|
и
ψ′(t) =
f[t, ψ(t)],
ψ(t) = x0 +
|
∫ |
t
t0 |
f[s, ψ(s)] ds. |
|
Поэтому
|φ(t) –
ψ(t)| ≤ |x0 –
x0| +
|
| | ∫ |
t
t0 |
|f[s,
φ(s)] ds –
f[s, ψ(s)| ds |
| | ≤ |
|
| ≤ |x0 – x0| + |
| | ∫ |
t
t0 |
M(s)|φ(s) –
ψ(s)| ds |
| | . |
|
Воспользовавшись леммой Гронуолла — Беллмана,
получим (5).
4.1.4. Линеаризованная система. По определению
оператора сдвига
∂
∂t
|
gt0t(x0)=
f[t, gt0t(x0)]. |
|
|
Предположим, что f(t, x) и
gt0t(x0)
являются достаточно гладкими по совокупности переменных t, t0,
x0. Тогда |
∂
∂x0
|
∂
∂t
|
gt0t(x0)= |
∂f(t, x)
∂x
|
| |
x =
gt0t(x0) |
∂
∂x0
|
gt0t(x0). |
| (6) |
Введем обозначения
| A(t) = |
∂f(t, x)
∂x
|
| |
x =
gt0t(x0) |
, Y(t) = |
∂
∂x0
|
gt0t(x0)= |
~
g
|
t0t(x0). |
|
Далее, поменяем порядок дифференцирования в левой части (6);
получится матричное уравнение
Заметим, что
так как
∂
∂x0
|
gt0t(x0) |
| |
t = t0 | = |
∂
∂x0
|
gt0t0(x0)= |
∂x0
∂x0
|
= I. |
|
|
Итак, если оператор сдвига
дифференцируем и правая часть f
уравнения (НС) является достаточно гладкой, то производная
∂gt0t(x0)/∂x0
как матрица-функция от t является решением задачи Коши
(МУ), (МНУ), т. е.
оператором сдвига вдоль траекторий
линейной системы |
4.1.5. Пример. Уравнение маятника с трением
имеет вид
|
φ′′ + rφ′ +
ω2sin φ = 0
(r > 0). | (7) |
У него есть стационарные решения: φв(t)
≡ 0 и φн(t)
≡ π — нижнее
и верхнее положения равновесия.
В виде системы уравнение (7) записывается так:
φ′ = x,
x′ = –ω2sin
φ – rx. |
| (8) |
Стационарные решения принимают вид:
| yн = | ( |
φн(t)
xн(t) |
) | = |
( | 0
0 |
) |
, yв = |
( |
φв(t)
xв(t) |
) | = |
( |
π
0 |
) | . |
|
Произведем линеаризацию системы (8)
вдоль этих решений. Имеем
| y = | ( |
φ
x |
) |
, f(t, y) = f(y) = |
( |
x
–ω2sin φ – rx |
) | , |
|
Поэтому
| A(t) = |
∂f(t, y)
∂y
|
| |
y = yн |
= | ( |
| ) | , |
|
а
| A(t) = |
∂f(t, y)
∂y
|
| |
y = yв |
= | ( |
| ) | . |
|
Итак, линеаризация в
нижнем положении равновесия имеет вид
| ( |
y′1
y′2 |
) | = |
( |
| ) |
( |
y1
y2 |
) | . |
|
или, в "старых переменных"
а в верхнем —
| ( |
y′1
y′2 |
) | = |
( |
| ) |
( |
y1
y2 |
) | . |
|
или
Если решение задачи (МУ), (МНУ) для
A(t) = Aн(t) обозначить через
Yн, а для A(t) =
Aв(t) — через
Yв, то получим следующие приближенные
формулы, описывающие поведение маятника вблизи нижнего и
верхнего положений равновесия:
и
Погрешность этих формул имеет порядок
o(|y(0) –
yн|) и
o(|y(0) –
yв|).
4.1.6. Пример линеаризации по параметру. Метод линеаризации, описанный в
предыдущем пункте, можно применять и непосредственно
к уравнению (7), причем для дифференцирования по
любому параметру, а не только по x0. Следует помнить
только, что возможность дифференцирования и перестановки
производных нуждается в обосновании. Для примера произведем
линеаризацию уравнения (7) по параметру
λ =
ω2
в точке λ = 0. Напомним, что
ω2 =
g/l, где g — ускорение свободного
падения, l — длина нити маятника. Поэтому значение
λ = 0 соответствует нулевой силе земного
притяжения или бесконечной длине маятника. Для простоты
выкладок будем также здесь считать, что r = 0. Итак
φ =
φ(t, λ) и
Пусть φ(0, λ) =
φ0, φ′(0,
λ) = 0. Тогда, очевидно,
φ(t, 0) ≡
φ0.
Далее, продифференцируем уравнение и начальные условия
по λ в точке λ = 0:
| [ |
∂
∂λ
|
∂2φ
∂t2
|
] |
λ=0 |
+ 1·sin φ0 + |
[ |
λ·cos φ0 |
∂φ
∂λ
|
] |
λ=0 |
= 0, |
|
| [ |
∂φ
∂λ
|
] |
λ=0, t=0 |
= | [ |
∂φ(0, λ)
∂λ
| ] |
λ=0 |
= 0, |
|
| [ |
∂φ′
∂λ
|
] |
λ=0, t=0 |
= | [ |
∂φ′(0, λ)
∂λ
| ] |
λ=0 |
= 0, |
|
Вводя обозначение
и предполагая допустимой перестановку производных, получаем
Эта задача легко решается:
Этим результатом можно воспользоваться для приближенного решения
исходной задачи Коши при малых λ:
| φ(t, λ)
≈ φ(t, 0) + λ |
[ |
∂φ
∂λ
|
] |
λ=0 |
= φ0 – λ |
t2
2
|
sin φ0. |
|
Такой способ исследования называют методом малого параметра.
В данном случае в качестве малого параметра выступает λ =
ω2.
4.1.7. Теорема о дифференцировании оператора сдвига.
Пусть f: J ×
Rn →
Rn непрерывна по первому аргументу при любом фиксированном
значении второго и дифференцируема по второму аргументу, причем матрица-функция
непрерывна по t и удовлетворяет обобщенному условию Липшица
по x. Тогда оператор сдвига дифференцируем, его производная
удовлетворяет условию Липшица
по x0 и при любых фиксированных значениях
t, t0
и x0 является матрицей оператора сдвига
по траекториям
линеаризованной системы:
Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы опускается.
4.1.8. Контрольные вопросы
|
4.1.8.1. Покажите, что если функция f:
J×Rn
→ Rn
непрерывно дифференцируема по совокупности переменных k раз, то
gt0t(x0)
непрерывно дифференцируем по t k+1 раз.
|
4.1.8.2. Заменой переменных переведите параметр a
из правой части уравнение в начальное значение:
x′ = ax + 1,
x(0) = 0.
4.1.8.3. Заменой переменных переведите параметр a
из начального момента в правую часть уравнения:
x′ = x + t,
x(a + 1) = 0.
4.1.9. Задачи
|
4.1.9.1. Оцените разность
|g01(0)–
g01(0.001)|, где
gt0t —
оператор сдвига по траекториям уравнения
x′ = t +
sin x. |
4.1.9.2. Оцените разность ||φ –
ψ||C[0,1],
где φ и ψ — решения уравнения
x′ =
t2 + e–x,
отвечающие начальным условиям x(0) = 0 и x(0) = 0.001,
соответственно.
4.1.9.3. Пусть φ и ψ —
решения уравнений x′′ + sin x = 0
и x′′ + x = 0
соответственно, удовлетворяющие начальным условиям
x(0) = 0, x′(0) = 0.1.
Оцените ||φ – ψ||C[0,2].
4.1.9.4. Пусть φ(t, v) —
решение задачи Коши
|
x′ = x + v(t +
x2), x(0) = 1. |
Найдите (∂/∂v)φ(t, v)|t=1, v=0.
4.1.9.5. Пусть φ(t, v) —
решение задачи Коши
|
x′ = t + vx2,
x(0) = v – 1. |
Найдите (∂/∂v)φ(t, v)|t=2, v=1.
4.1.9.6. Пусть (φ(t, v),
ψ(t, v)) — решение задачи Коши
|
x′1 = vx22,
x′2 = 1 + vx1,
x1(0) = 0, x2(0) = 0. |
Найдите (∂/∂v)φ(t, v)|t=2, v=1
и (∂/∂v)ψ(t, v)|t=2, v=1.
4.1.9.7. Пусть функция f: J×Rn
→ Rn
удовлетворяет условиям теоремы Коши —
Пикара, а уравнение x′ =
f(t, x) имеет решения
φ1
и φ2, удовлетворяющие неравенствам
φ1(1) ≥
φ1(0) ≥
φ2(0) ≥
φ2(1).
Докажите, что это уравнение имеет решение φ
такое, что φ(0) = φ(1).
4.1.9.8. Пусть правая часть скалярного уравнения
x′′ =
f(t, x, x′)
непрерывна на R3 и удовлетворяет
условию Липшица по x
и x′. Докажите, что при достаточно малых
T > 0 это уравнение имеет решение, удовлетворяющее условиям
x(0) = x(T) = 0.
|
4.1.9.9. Вычислите
(∂/∂x0)g0t(x0)|x0=0
для системы |
|
x′1= x1(1 +
x2),
x′2=
x2(1 + x1). |
| x′′ +
μx′(x2 –
1) + x = 0. |
Найдите (∂/∂μ)g0t(x0,
μ)|μ=0, x0=0.
|