Часть I. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Назад § 4.1. Зависимость решений от начальных значений и параметров Вперед

Колеблет небо жизнь мою,
Но небом я не сокрушен!

Шицзин

При исследовании дифференциальных уравнений нередко встречается следующая ситуация: известно решение, отвечающее некоторому "особому" начальному значению x0, а требуется приблизительно описать поведение решений с близкими к x0 начальными значениями x0. Для решения этой задачи полезны теоремы о непрерывности и дифференцируемости оператора сдвига, которые изучаются в данном параграфе.

4.1.1. Постановка задач. В этом параграфе изучаются следующие три задачи.

(а) Задача о зависимости решения от начального значения x0. Рассматривается начальная задача

x′ = f(t,x), (НС)

x(t0) = x0 (НУ)

и исследуется зависимость ее решения φ(t) = gt0t(x0)от x0 т. е. доказываются теоремы о липшицевости и дифференцируемости оператора сдвига.

(б) Задача о зависимости решения от параметра v. Рассматривается начальная задача

x′ = f(t, x, v),    x(t0) = x0 (1)

(t0, x0 фиксированы). Если ввести дополнительную неизвестную функцию w с помощью уравнений

w′ = 0, (2)

w(t0) = v, (3)

то (1) примет вид

x′ = f(t, x, w), (4)

Нетрудно видеть, что (2)(4) есть задача о зависимости решения (x, w) от начального значения (x0, v).

(в) Задача о зависимости решения от начального момента t0, т. е. о зависимости выражения gt0t(x0) от t0 при фиксированных x0 и t0. Если ввести новое время τ = tt0 и новую неизвестную функцию y(τ) = x(τ + t0), то получим:

dy
dτ
= f(τ + t0, y),

y(0) = x0.

Это есть задача о зависимости решения от параметра t0, которая, как мы видели выше, сводится к задаче о зависимости от x0.

Итак, из указанных трех задач основной мы можем считать первую, так как две другие сводятся к ней заменой переменных.

4.1.2. Лемма Гронуолла — Беллмана. Пусть на некотором промежутке Jt0 непрерывная функция y(t) ≥ 0 удовлетворяет неравенству

y(t) ≤ y0 + | t

t0
M(s)y(s) ds |,
где y0 ≥ 0, а M: JRнепрерывная неотрицательная функция. Тогда

y(t) ≤ y0·exp | t

t0
M(s) ds|    (tJ).

Эта лемма часто применяется при исследовании дифференциальных уравнений, в частности, при изучении вопросов о зависимости решений от начальных значений.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Введем обозначение

z(t) = y0 + | t

t0
M(s)y(s) ds |,

тогда, очевидно, y(t) ≤ z(t) (tJ). Поэтому достаточно доказать, что

z(t) ≤ y0·exp | t

t0
M(s) ds| .

Очевидно, при tt0

z(t) = y0 + t

t0
M(s)y(s) ds

и

z′(t) = M(t)y(t) ≤ M(t)z(t),

а при t < t0

z(t) = y0 t

t0
M(s)y(s) ds

и

z′(t) = –M(t)y(t) ≥ –M(t)z(t).

Поэтому для некоторых неотрицательных непрерывных функций b1(t), b2(t)

z′(t) = M(t)z(t) – b1(t)   (tt0),

z′(t) = –M(t)z(t) + b2(t)   (t < t0).

Следовательно, положив Φt0(t) = exp ∫t0tM(s) ds и воспользовавшись формулой оператора сдвига для линейного неоднородного уравнения (2), получаем:

z(t) = Φt0(t) ( z(0)  t

t0
Φ –1
t0
(s)b1(s) ds )

≤ Φt0(t)z(0) = y0·exp| t

t0
M(s) ds|    (tt0)

и

z(t) = Φ –1
t0
(t)(z(0) + t

t0
Φt0(s)b2(s) ds )

≤ Φt(t0)z(0) = y0·exp| t

t0
M(s) ds|    (t < t0)

4.1.3. Теорема о липшицевости оператора сдвига. Пусть для уравнения (НС) выполнены условия обобщенной теоремы Коши — Пикара, т. е.

f: J×RnRn,

f(t, x) непрерывно по t при фиксированных x,

|f(t, x) – f(t, y)| ≤ M(t)|xy|, M: JR непрерывна.

Тогда оператор сдвига по траекториям уравнения (НС) удовлетворяет обобщенному условию Липшица:


|gt0t(x0)gt0t(x0)|≤ |x0x0|·exp

| t

t0
M(s) ds|
(5)

и, в частности, gt0t непрерывен.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Положим φ(t) = gt0t(x0), ψ(t) = gt0t(x0), тогда

φ′(t) = f[t, φ(t)],   φ(t) = x0 + t

t0
f[s, φ(s)] ds

и


ψ′(t) = f[t, ψ(t)],   ψ(t) = x0 +

t

t0
f[s, ψ(s)] ds.

Поэтому


|φ(t) – ψ(t)| ≤ |x0x0| +

| t

t0
|f[s, φ(s)] dsf[s, ψ(s)| ds |

≤ |x0x0| + | t

t0
M(s)|φ(s) – ψ(s)| ds |.

Воспользовавшись леммой Гронуолла — Беллмана, получим (5).

4.1.4. Линеаризованная система. По определению оператора сдвига


t
gt0t(x0)= f[t, gt0t(x0)].

Предположим, что f(t, x) и gt0t(x0) являются достаточно гладкими по совокупности переменных t, t0, x0. Тогда


x0

t
gt0t(x0)= f(t, x)
x
|

x = gt0t(x0)

x0
gt0t(x0).
(6)

Введем обозначения

A(t) = f(t, x)
x
|

x = gt0t(x0)
,   Y(t) =
x0
gt0t(x0)= ~
g

t0t(x0).

Далее, поменяем порядок дифференцирования в левой части (6); получится матричное уравнение

Y′ = A(t)Y. (МУ)

Заметим, что

Y(t0) = I, (МНУ)

так как


x0
gt0t(x0) |


t = t0
=
x0
gt0t0(x0) x0
x0
 = I.

Итак, если оператор сдвига дифференцируем и правая часть f уравнения (НС) является достаточно гладкой, то производная gt0t(x0)/∂x0 как матрица-функция от t является решением задачи Коши (МУ), (МНУ), т. е. оператором сдвига вдоль траекторий линейной системы

y′ = A(t)y. (ЛОС)

Последняя система по отношению к уравнению (НС) и фиксированному его решению φ(t) = gt0t(x0) называется линеаризованной, или системой уравнений в вариациях.

4.1.5. Пример. Уравнение маятника с трением имеет вид

φ′′ + rφ′ + ω2sin φ = 0   (r > 0).(7)

У него есть стационарные решения: φв(t) ≡ 0 и φн(t) ≡ π — нижнее и верхнее положения равновесия. В виде системы уравнение (7) записывается так:

φ′ = x,

x′ = –ω2sin φ – rx.
(8)

Стационарные решения принимают вид:

yн = ( φн(t)

xн(t)
) =  (0

0
) ,   yв = ( φв(t)

xв(t)
) =  ( π

0
).

Произведем линеаризацию системы (8) вдоль этих решений. Имеем

y = ( φ

x
) ,   f(t, y) = f(y) = ( x

–ω2sin φ – rx
),

f(t, y)
y
= (
01
–ω2cos φ  r
).

Поэтому

A(t) = f(t, y)
y
|


y = yн
= (
0 1
–ω2  r
),

а

A(t) = f(t, y)
y
|


y = yв
= (
0 1
ω2  r
).

Итак, линеаризация в нижнем положении равновесия имеет вид

( y1

y2
) = (
01
–ω2  r
) ( y1

y2
).

или, в "старых переменных"

ψ′′ + rψ′ + ω2ψ = 0,

а в верхнем

( y1

y2
) = (
01
ω2  r
) ( y1

y2
).

или

ψ′′ + rψ′ – ω2ψ = 0.

Если решение задачи (МУ), (МНУ) для A(t) = Aн(t) обозначить через Yн, а для A(t) = Aв(t) — через Yв, то получим следующие приближенные формулы, описывающие поведение маятника вблизи нижнего и верхнего положений равновесия:

yyн + Yн (y(0) – yн)

и

yyв + Yв (y(0) – yв).

Погрешность этих формул имеет порядок o(|y(0) – yн|) и o(|y(0) – yв|).

4.1.6. Пример линеаризации по параметру. Метод линеаризации, описанный в предыдущем пункте, можно применять и непосредственно к уравнению (7), причем для дифференцирования по любому параметру, а не только по x0. Следует помнить только, что возможность дифференцирования и перестановки производных нуждается в обосновании. Для примера произведем линеаризацию уравнения (7) по параметру λ = ω2 в точке λ = 0. Напомним, что ω2 = g/l, где g ускорение свободного падения, l длина нити маятника. Поэтому значение λ = 0 соответствует нулевой силе земного притяжения или бесконечной длине маятника. Для простоты выкладок будем также здесь считать, что r = 0. Итак φ = φ(t, λ) и

2φ
t2
 + λ·sin φ = 0.

Пусть φ(0, λ) = φ0, φ′(0, λ) = 0. Тогда, очевидно, φ(t, 0) ≡ φ0. Далее, продифференцируем уравнение и начальные условия по λ в точке λ = 0:

[  
∂λ 
2φ
t2
]


λ=0
+ 1·sin φ0 + [ λ·cos φ0 ∂φ
∂λ
]


λ=0
= 0,

[ ∂φ
∂λ
]


λ=0, t=0
= [ ∂φ(0, λ)
∂λ
]


λ=0
= 0,

[ ∂φ′
∂λ
]


λ=0, t=0
= [ ∂φ′(0, λ)
∂λ
]


λ=0
= 0,

Вводя обозначение

ψ = [ ∂φ
∂λ
]


λ=0

и предполагая допустимой перестановку производных, получаем

ψ′′ = – sin φ0,

ψ(0) = ψ′(0) = 0.

Эта задача легко решается:

ψ = – t2
2
sin φ0.

Этим результатом можно воспользоваться для приближенного решения исходной задачи Коши при малых λ:

φ(t, λ) ≈ φ(t, 0) + λ [ ∂φ
∂λ
]


λ=0
= φ0 – λ t2
2
sin φ0.

Такой способ исследования называют методом малого параметра. В данном случае в качестве малого параметра выступает λ = ω2.

4.1.7. Теорема о дифференцировании оператора сдвига. Пусть f: J × Rn Rn непрерывна по первому аргументу при любом фиксированном значении второго и дифференцируема по второму аргументу, причем матрица-функция

B(t, x) = f(t, x)
x
непрерывна по t и удовлетворяет обобщенному условию Липшица по x. Тогда оператор сдвига дифференцируем, его производная

gt0t(x0)
x0
удовлетворяет условию Липшица по x0 и при любых фиксированных значениях t, t0 и x0 является матрицей оператора сдвига по траекториям линеаризованной системы:

y′ = A(t)y

(A(t) = B(t, gt0t(x0)).

Д о к а з а т е л ь с т в о  этой теоремы опускается.

4.1.8. Контрольные вопросы

4.1.8.1. Покажите, что если функция f: J×Rn Rn непрерывно дифференцируема по совокупности переменных k раз, то gt0t(x0) непрерывно дифференцируем по t  k+1 раз.

4.1.8.2. Заменой переменных переведите параметр a из правой части уравнение в начальное значение: x′ = ax + 1, x(0) = 0.

4.1.8.3. Заменой переменных переведите параметр a из начального момента в правую часть уравнения: x′ = x + t, x(a + 1) = 0.

4.1.9. Задачи

4.1.9.1. Оцените разность |g01(0)g01(0.001)|, где gt0t оператор сдвига по траекториям уравнения x′ = t + sin x.

4.1.9.2. Оцените разность ||φ – ψ||C[0,1], где φ и ψ — решения уравнения x′ = t2 + ex, отвечающие начальным условиям x(0) = 0 и x(0) = 0.001, соответственно.

4.1.9.3. Пусть φ и ψ — решения уравнений x′′ + sin x = 0 и x′′ + x = 0 соответственно, удовлетворяющие начальным условиям x(0) = 0, x′(0) = 0.1. Оцените ||φ – ψ||C[0,2].

4.1.9.4. Пусть φ(t, v) — решение задачи Коши

x′ = x + v(t + x2),   x(0) = 1.

Найдите (∂/∂v)φ(t, v)|t=1, v=0.

4.1.9.5. Пусть φ(t, v) — решение задачи Коши

x′ = t + vx2,    x(0) = v – 1.

Найдите (∂/∂v)φ(t, v)|t=2, v=1.

4.1.9.6. Пусть (φ(t, v), ψ(t, v)) — решение задачи Коши

x1 = vx22,    x2 = 1 + vx1,    x1(0) = 0,   x2(0) = 0.

Найдите (∂/∂v)φ(t, v)|t=2, v=1 и (∂/∂v)ψ(t, v)|t=2, v=1.

4.1.9.7. Пусть функция f: J×RnRn удовлетворяет условиям теоремы Коши — Пикара, а уравнение x′ = f(t, x) имеет решения φ1 и φ2, удовлетворяющие неравенствам φ1(1) ≥ φ1(0) ≥ φ2(0) ≥ φ2(1). Докажите, что это уравнение имеет решение φ такое, что φ(0) = φ(1).

4.1.9.8. Пусть правая часть скалярного уравнения x′′ = f(t, x, x′) непрерывна на R3 и удовлетворяет условию Липшица по x и x′. Докажите, что при достаточно малых T > 0 это уравнение имеет решение, удовлетворяющее условиям x(0) = x(T) = 0.

4.1.9.9. Вычислите (∂/∂x0)g0t(x0)|x0=0 для системы

x1= x1(1 + x2),    x2= x2(1 + x1).

4.1.9.10. Пусть g0t(x0, μ) — оператор сдвига за время от нуля до t по траекториям уравнения Ван дер Поля

x′′ + μx′(x2 – 1) + x = 0.

Найдите (∂/∂μ)g0t(x0, μ)|μ=0, x0=0.


File based on translation from TEX by TTH, version 2.32.
Created 19 Jan 2002, 14:53.
Last modified 18 Apr 2002.