§ 3.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами

Как отмечалось в предыдущем параграфе, общего способа отыскания фундаментальной матрицы для (ЛОС) нет. Для линейной автономной однородной системы

x′ = Ax,

(ЛАОС)

в которой матрица A не зависит от t, такой способ существует. Он будет изучен в этом и следующем параграфах.

3.3.1. Метод последовательных приближений. Рассмотрим матричную задачу Коши

X′ = AX,

(МУ)

X(0) = I,

(МНУ)

которая определяет фундаментальную матрицу (ЛАОС), нормальную в точке t₀ = 0. (МУ) есть линейное однородное уравнение с неизвестной функцией, принимающей значения в n²-мерном пространстве Mⁿ квадратных n×n-матриц.

По теореме Коши — Пикара решение этой задачи можно получить методом последовательных приближений. Положим

φ0(t) ≡ I.

Тогда

φ1(t) = I + ∫ t 0 AI ds = I + At,

φ2(t) = I + ∫ t 0 A(I + As) ds = I + At +  A2t2 2 ,

φ3(t) = I + ∫ t 0 A ( I + As +  A2s2 2 ) ds = I + At +  A2t2 2 +  A3t3 3! , ... .

Очевидно,

φN(t) = N ∑ k = 0 Aktk k!

Таким образом, функции φ_N(t) являются частичными суммами ряда

∞ ∑ k = 0 Aktk k!

(1)

и известно, что они сходятся (равномерно на любом отрезке [a, b] ∈ R) к решению Φ₀(t) задачи (МУ), (МНУ). Следовательно,

Φ0(t) = ∞ ∑ k = 0 Aktk k! .

(2)

По аналогии со случаем, когда A есть не матрица, а число, сумму матричного ряда (1) обозначают через e^At и называют экспонентой матрицы At (или матричной экспонентой):

eAt = ∞ ∑ k = 0 Aktk k! ;

из теоремы Коши — Пикара нам известно, что этот ряд сходится равномерно на любом отрезке.

Итак, формула (2), или, что то же,

Φ0(t) = eAt,

определяет фундаментальную матрицу (ЛАОС), нормальную в точке t₀ = 0. Это представление не всегда удобно, так как оно требует вычисления суммы бесконечного матричного ряда. Наши дальнейшие усилия будут направлены на то, чтобы разработать "конечный" алгоритм вычисления фундаментальной матрицы вида e^AtP, где P — некоторая постоянная невырожденная матрица.

Отметим еще, что e^At есть матрица оператора сдвига g^t (= g₀^t) в естественном базисе, поскольку

gt(x0) = eAtx0 —

решение (ЛАОС) с начальным условием

x(0) = x0.

(НУ)

3.3.2. Пример: разложение e^λt с комплексным λ в ряд. Применим формулу (2) к скалярной комплексной задаче Коши:

z′ = λz    (λ = α + iβ),

(3)

z(0) = 1

(4)

и обозначим

ψ0(t) = ∞ ∑ k = 0 λktk k! .

(5)

Решение задачи (3), (4) для произвольной функции λ = λ(t) было найдено в п. 3.2.3:

z = ψ0(t) = exp ( ∫ t 0 λ(s) ds ) =

= exp ( ∫ t 0 α(s) ds ) [ cos ( ∫ t 0 β(s) ds )   +  isin ( ∫ t 0 β(s) ds ) ] .

В случае постоянного λ

z = eλt = eαt(cos βt + isin βt).

Отсюда для решения ψ₀(t) задачи (3), (4) получаем представление в виде экспоненты:

ψ0(t) = eλt = eαt(cos βt + isin βt).

Таким образом, формула (5) означает, что экспонента с комплексным показателем раскладывается в степенной ряд точно так же, как с вещественным:

eλt = ∞ ∑ k = 0 λktk k! .

В следующем пункте в очередной раз напоминаются сведения из курса линейной алгебры.

3.3.3. О жордановой нормальной форме матриц. Пусть A — квадратная n×n-матрица с вещественными или комплексными элементами. Утверждается, что ее можно представить в виде

A = PJP–1,

(6)

где

P — некоторая невырожденная матрица (приводящая A к жордановой форме),

J = J1 ⊕ J2 ⊕ ... ⊕ Jp — жорданова нормальная форма матрицы A,

Jk = Jk1 ⊕ Jk2 ⊕ ... ⊕ Jkqk — жорданов блок (k = 1, 2, ..., p),

Jks = λkIr + Ir(1) — жорданова клетка (s = 1, 2, ..., qk),

λ_k — собственное значение матрицы A, т. е. такое комплексное число, при котором уравнение

Ax = λkx

(7)

имеет ненулевые решения (собственные векторы) относительно x,

p — число различных собственных значений, равное числу жордановых блоков,

qk — геометрическая кратность собственного значения λk, равная размерности собственного подпространства, т. е. пространства решений уравнения (7),

Ir — единичная матрица размерности r = r(k, s),

I_r⁽¹⁾ — матрица, полученная из I_r сдвигом единичной диагонали на одну позицию вправо,

rk = ∑qks=1r(k, s)— алгебраическая кратность собственного значения λk, равная размерности блока Jk.

3.3.4. Выражение e^At через экспоненты жордановых клеток. Пусть A представлена в виде (6). Утверждается, что

eAt = PeJtP–1,

(8)

eJt = ⊕ p ∑ k = 1  ⊕ qk ∑ s = 1 eJkst,

(9)

где ⊕∑ обозначает прямую сумму матриц.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  По определению,

eAt = ∞ ∑ m = 0 Amtm m! ,

(10)

Из (6) следует, что

Am = PJ P–1P I JP–1 ... PJP–1 = PJmP1.

Поэтому

N ∑ m = 0 Amtm m! = P ( N ∑ m = 0 Jmtm m! ) P–1.

Предельным переходом при N → ∞ получаем (9). Равенство (8) вытекает из (9) и того известного в алгебре факта, что умножение, сложение и умножение на скаляры матриц одинаковой блочно-диагональной структуры можно производить поблочно:

eJt = ∞ ∑ m = 0 Jmtm m! = ∞ ∑ m = 0 ( ⊕ p ∑ k = 1 ⊕ qk ∑ s = 1 Jks ) m tm m! =

= ⊕ p ∑ k = 1 ⊕ qk ∑ s = 1 ( ∞ ∑ m = 0 (Jks)mtm m! ) .

3.3.5. Вычисление экспоненты жордановой клетки. Экспонента жордановой клетки J_k^s = λ_kI_r + I_r⁽¹⁾ вычисляется по следующей формуле:

eJkst = eλk t ⌈ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ⌊   1     t   t2 2! ... tr–3 (r – 3)! tr–2 (r – 2)! tr–1 (r – 1)! 0 1   t   ... tr–4 (r – 4)! tr–3 (r – 3)! tr–2 (r – 2)! 0 0 1 ... tr–5 (r – 5)! tr–4 (r – 4)! tr–3 (r – 3)! : : : · · · : : : 0 0 0 ... 1 t t2 2! 0 0 0 ... 0 1 t 0 0 0 ... 0 0 1 ⌉ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ⌋

(11)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В следующем пункте мы покажем, что если AB = BA, то e^A+B = e^Ae^B. Поэтому

eJkst = eλk Ir t · eIr(1)t

(12)

так как единичная матрица I_r коммутирует с любой матрицей. Далее,

eλk Ir t = ∞ ∑ m = 0 (Ir)mλkmtm m! = ( ∞ ∑ m = 0 λkmtm m! ) Ir = eλk tIr.

(13)

Напомним известный из алгебры факт: (I_r⁽¹⁾)^m = I_r^(m) — это матрица, полученная из I_r сдвигом единичной диагонали на m позиций вправо, в частности, если m > r – 1, то (I_r⁽¹⁾)^m = 0. Следовательно,

eIr(1)t = r – 1 ∑ m = 0 Ir(m)tm m! .

(14)

Из (12), (13) и (14) следует (11).

3.3.6. Утверждение об экспоненте суммы. Если матрицы A и B коммутируют, то

eA+B = eAeB.

(15)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Мы докажем тождество

e(A+B)t = eAteBt,

(16)

которое при t = 1 превращается в (15). Левая часть в (16) есть решение матричной задачи

X′ = (A + B)X,    X(0) = I,

(17)

а сомножители в правой части — соответственно решения матричных задач

X′ = AX,   X(0) = I,

X′ = BX,   X(0) = I.

Вся правая часть (16) при t = 0, очевидно, равна I. Покажем, что она удовлетворяет матричному уравнению (17):

d dt (eAteBt) = deAt dt eBt + eAt deBt dt = AeAteBt + eAtBeBt.

Поскольку A и B коммутируют и e^At есть сумма ряда из степеней A со скалярными коэффициентами, e^At также коммутирует с B. Поэтому

AeAteBt + eAtBeBt = AeAteBt + BeAteBt = (A + B)eAteBt.

Итак, правая часть в (16), как и левая, есть решение задачи (17), поэтому они тождественны.

3.3.7. Контрольные вопросы

3.3.7.1. Методом последовательных приближений найдите фундаментальную матрицу системы

x′1= x2,    x′2= 0.

3.3.7.2. Методом последовательных приближений найдите фундаментальную матрицу системы

x′1 = x2,    x′2 = x1,    x′3 = 0.

3.3.7.3. Как по e^At определить нормальную в точке t₀ фундаментальную матрицу (ЛАОС)?

3.3.7.4. Непосредственной постановкой убедитесь, что функция ψ₀(t) = e^αt(cos βt + i·sin βt) является решением уравнения z′ = λz.

3.3.7.5. Покажите, что замена переменных x = Py приводит (ЛАОС) к системе y′ = P ^{– 1}APy.

3.3.8. Задачи

3.3.8.1. Покажите, что если e^At ≡ e^Bt, то A = B.

3.3.8.2. Докажите, что P–1eAtP = eP–1APt для любой невырожденной матрицы P.

3.3.8.3. Докажите, что при всех x₀ ∈ Kⁿ

lim t → +0 (eAt – I)x0 t = Ax0

3.3.8.4. Пусть g^t: Kⁿ → Kⁿ — семейство линейных операторов и g^t+s ≡ g^tg^s при всех t, s ∈ R. Докажите, что если предел

A = lim t → +0 gt – I t

существует, то g^t = e^At.

3.3.8.5. Покажите, что ||e^At|| ≤ e^||A||·|t|.

3.3.8.6. Зная фундаментальную матрицу Φ(t) (ЛАОС) и Φ^–1(0), найдите Φ^–1(t).

3.3.8.7. Покажите, что если матрица A блочно-диагональна, т. е.

A = ⌈ | | | | | | | | | ⌊ A1 0 A2 A3   · · ·   0 Ak ⌉ | | | | | | | | | ⌋ ,

то

eA = ⌈ | | | | | | | | | ⌊ eA1 0 eA2 eA3   · · ·   0 eAk ⌉ | | | | | | | | | ⌋ .

3.3.8.8. Докажите, что det eAt = et·Tr A, где Tr A = ∑ni=1aii— след матрицы A.

3.3.8.9. Докажите, что

eAt = lim k → ∞ ( I + At k ) k .

Покажите, основываясь на полученном равенстве, сходимость метода ломаных Эйлера для (ЛАОС).

3.3.8.10. Приведите пример матриц A и B таких, что e^(A+B) ≠ e^Ae^B.

3.3.8.11. Коммутантом двух матриц A и B называется матрица [A, B] = AB – BA. Покажите, что если

[A, [A, B]] = [B, [A, B]],

то

eA+B = eA eB e[A, B]/2 = eB eA e[B, A]/2.

3.3.8.12. Докажите формулу Хаусдорфа

eBAe – B = A + [B, A] 1! + [B, [B, A]] 2! + [B, [B, [B, A]]] 3! + ... .

3.3.8.13. Пусть матрица линейной системы

x′ = A(t)x

коммутирует со своим интегралом, т. е.

A(t) ∫ t t0 A(s) ds = ( ∫ t t0 A(s) ds ) A(t)

(18)

при всех t0, t ∈ R. Покажите, что Φ(t) = exp(∫ tt0A(s) ds) является нормальной в t0 фундаментальной матрицей этой системы. (Случай, выделяемый условием (18), называется случаем Лаппо — Данилевского.)

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 10 Jan 2002, 14:28.
Last modified 16 Apr 2002.