§ О35. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Многочисленные процессы, основанные на передаче массы, энергии, информации (например, наследственной) и т. п., сопровождаются наличием запаздывания. Это запаздывание может быть обусловлено самыми различными причинами — ограниченностью скорости распространения взаимодействия (например, электрического сигнала), "немгновенностью" нервной и мышечной реакции в системах "человек — машина", наличием инерционности некоторых элементов (например, индуктивности в электрических цепях), ограниченностью скорости протекания технологических процессов (например, горения в камере двигателя) и т. д.

Во многих случаях исключение запаздывания из рассмотрения, тем не менее, позволяет адекватно описывать реальные процессы. Но иногда неучитывание запаздывания приводит к абсурдным (или, по крайней мере, не эквивалентным реальности) выводам. Рассмотрим в качестве примера систему автоматического регулирования ("идеальный предсказатель"), схема которого изображена на рис. 1. В ней ЭЗ — это элемент запаздывания, вход v(t) и выход y(t) которого связаны соотношением

y(t) = v(t – 1).

(1)

Рис. 1.

Работа этой системы описывается, очевидно, уравнениями

v(t) = u(t) + x(t),

(2)

x(t) = v(t) + y(t).

(3)

Подставляя (1) в (3), а затем получившееся выражение для x(t) — в (2), получим, как легко видеть, уравнение

u(t) = –v(t – 1),

(4)

или, заменяя t – 1 на t, а t на t + 1, уравнение

u(t + 1) = –v(t).

Таким образом, значение u(t + 1) входного сигнала в "будущий" момент времени t + 1 полностью определяется значением выходного сигнала v(t) в "настоящий" момент времени t, что противоречит как здравому смыслу, так и принципу причинности.

Абсурдность полученного вывода обусловлена наличием неучтенного реально существующего малого запаздывания при передаче сигналов по линиям системы (например, от точки 1 до точки 2 схемы). Если считать это запаздывание одинаковым для всех линий (равным, например , ε), то уравнения (2) и (3) примут вид

v(t) = u(t – ε) + x(t – ε),

x(t) = v(t – ε) + y(t – ε),

а уравнение (4) — вид

v(t) = u(t – ε) + v(t – 2ε) + v(t – 1 – 2ε),

уже не противоречащий принципу причинности.

Таким образом, некоторые процессы не могут быть адекватно описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями (т. е. уравнениями, в которые значения неизвестной функции и ее производных входит при одном и том же значении независимой переменной ("времени")). В связи с этим возникает необходимость рассматривать уравнения, в которых неизвестная функция входит при различных значениях аргумента. Одним из представителей таких уравнений является простейшее дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностное уравнение вида

x′(t) = f[t, x(t), x(t – h)],

(5)

в котором x — неизвестная функция независимого аргумента t, f: R³ → R, а h — положительное число (запаздывание). Таким образом, в уравнении (5) значение производной неизвестной функции в момент времени t определяется не только тем как ведет себя сама функция в это время (как это было в обыкновенных дифференциальных уравнениях), но и тем как она вела себя в предыдущий момент времени t – h ("h секунд назад").

Простейшим примером процесса, описываемого дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом, может служить уравнение развития биологической популяции. Если считать, что скорость прироста популяции пропорциональна ее численности x(t) в настоящий момент, то мы получим известное уравнение Мальтуса или уравнение мальтузианского роста

x′(t) = Cx(t).

Если же исходить из (более реального) предположения о том, что скорость прироста пропорциональна численности лишь половозрелых особей (скажем, имеющих не меньший, чем h возраст), то мы придем к дифференциально-разностному уравнению

x′(t) = Cx(t – h),

поскольку величина x(t – h), равная численности популяции в момент t – h, как раз и описывает численность взрослых особей родившихся "h лет назад".

Решением дифференциально-разностного уравнения (5) на отрезке [t₀, t₀ + T] называется функция x, определенная на более широком отрезке [t₀ – h, t₀ + T], обращающая уравнение (5) в тождество относительно t ∈ [t₀, t₀ + T]. Необходимость рассматривать более широкий отрезок связана с тем, что если считать функцию x определенной лишь на отрезке [t₀, t₀ + T], то, вообще говоря, невозможно проверить выполнение уравнения (5) при t равном t₀, а также близких к t₀ значениях; например, при t = t₀ уравнение (5) записывается в виде

x′(t0) = f[t0, x(t0), x(t0 – h)].

В правую часть входит в этом случае неопределенная величина x(t₀ – h).

При таком определении понятия решения наблюдается аналогия с обыкновенными дифференциальными уравнениями; а именно, решение уравнения (5) на отрезке [t₀, t₀ + T] при естественных ограничениях однозначно определяется своими значениями на отрезке [t₀ – h, t₀]. Сформулируем более точно данное утверждение.

Начальной задачей (или задачей Коши) для дифференциально-разностного уравнения (5) называется задача о нахождении решения x уравнения (5), совпадающего на отрезке [t₀ – h, t₀] с заранее заданной функцией φ, т. е. задача о нахождении определенной на [t₀ – h, t₀ + T] функции x, удовлетворяющей условиям

x′(t) = f[t, x(t), x(t – h)],    t ∈ [t0, t0 + T],

(6)

x(t) = φ(t),    t ∈ [t0 – h, t0].

(7)

Оказывается, если функция  f непрерывна и удовлетворяет по второму аргументу условию Липшица:

|f(t, x1, y) – f(t, x2y)| ≤ L|x1 – x2|,

а функция φ непрерывна на отрезке [t₀ – h, t₀], то решение задачи (6) – (7) существует и единственно на любом промежутке вида [t₀, t₀ + T] (ср. с теоремой Коши — Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений).

Доказательство этой теоремы существования и единственности основывается на так называемом методе шагов. Суть его заключается в следующем. Будем сначала искать решение задачи (6) – (7) на отрезке [t₀, t₀ + h]. Если t ∈ [t₀, t₀ + h], то t – h ∈ [t₀ – h, t₀] и в силу условия (7), x(t – h) = φ(t – h). Поэтому уравнение (6) при t ∈ [t₀, t₀ + h] эквивалентно (обыкновенному дифференциальному) уравнению

x′(t) = f[t, x(t), φ(t – h)] ≝ f1[t, x(t)].

(8)

Очевидно, функция f₁(t, x) удовлетворяет условиям теоремы Коши — Пикара и поэтому уравнение (8) имеет на отрезке [t₀, t₀ + h] единственное решение φ₁, удовлетворяющее начальному условию

x(t0) = φ(t0).

Тогда, как легко видеть, функция x₁, равная φ на отрезке [t₀ – h, t₀] и φ₁ на отрезке [t₀, t₀+h], является решением задачи Коши (6) – (7) на отрезке [t₀, t₀ + h]. Теперь мы можем точно так же продолжить решение задачи (6) – (7) на отрезок [t₀, t₀ + 2h]. Для этого достаточно заметить, что ее решение на отрезке [t₀, t₀ + 2h] совпадает на отрезке [t₀ + h, t₀ + 2h] с решением задачи

x′(t) = f[t, x(t), x(t – h)],   t ∈ [t0 + h, t0 + 2h],

x(t) = φ1(t),    t ∈ [t0, t0 + h].

Таким способом решение задачи (6) – (7) можно продолжить вправо сколь угодно далеко.

Задача О35.1. Докажите единственность полученного решения.

Задача О35.2. Постройте решение задачи Коши

x′(t) = x(t) + x(t – 1),    t ∈ [0, 3],

x(t) ≡ 1,    t ∈ [–1, 0].

Одним из главных отличий дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом от обыкновенных дифференциальных уравнений является тот факт, что решения первых, вообще говоря, не допускают продолжения влево от начального отрезка, тогда как для вторых положительное и отрицательное направления времени полностью равноправны. Действительно, рассмотрим, например, уравнение

x′(t) = x(t – 1)

и попытаемся найти его решение на отрезке [–2, 0], удовлетворяющее на отрезке [–1, 0] начальному условию

x(t) ≡ 1.

Заменив t – 1 на s и считая, что s ∈ [–2, –1], получим

x(s) = x′(s + 1) = (1)′ = 0,

так как s + 1 ∈ [–1,0] при s ∈ [–2, –1]. Таким образом, "решение" терпит разрыв в точке t = –1 и следовательно решением не является.

Тот факт, что решение уравнения (5) вправо однозначно определяется его поведением на отрезке длины h наводит на мысль, что фазовым пространством уравнения (5) естественно считать не пространство R, а пространство C[–h, 0] непрерывных на отрезке [–h, 0] функций. Тогда, в частности, можно при всех t ≥ t0 определить действующий в C[–h, 0] оператор сдвига gtt0 по траекториям уравнения (5). Он задается формулой

[gt0t(φ)](s)= ψ(t + s)     (s ∈ [–h, 0]),

где ψ — решение уравнения (5), удовлетворяющее условию

x(τ) = φ(τ – t0) при τ ∈ [t0 – h, t0].

Подчеркнем, что в силу указанной выше невозможности в общем случае продолжать решение уравнения (5) влево, оператор gt0tпри t < t0 не определен.

Задача О35.3. Докажите, что оператор сдвига по траекториям уравнения (5) при t ∈ [t₀, t₀ + h] не может быть сжимающим.

Все проведенные выше рассмотрения легко переносятся на случай систем дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями вида

x′(t) = f[t, x(t), x(t – h1), ..., x(t – hk)],

(9)

где f: R×R^n(k+1) → Rⁿ; h₁, ..., h_k — положительные числа. Нужно только положить h = max{h_i} и задавать начальные значения на отрезке длины h.

Задача О35.4. Найдите решение задачи Коши

x′(t) = tx(t) + x(t – 1) + x(t – √2),    t ∈ [0, 2],

x(t) = –t,    t∈ [–√2, 0].

Задача О35.5. Сформулируйте и докажите теорему существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (9).

Перейдем теперь к описанию линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Начнем с автономных уравнений. Простейшим их представителем является уравнение

x′(t) = ax(t) + bx(t – h),

(10)

в котором h > 0, а a и b — произвольные вещественные числа. Попытаемся строить теорию линейных уравнений по аналогии с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений. Напомним, что любое решение линейного автономного обыкновенного дифференциального уравнения является линейной комбинацией решений вида t^le^λt (λ ∈ C). Выясним, верно ли аналогичное утверждение для уравнения (10). Для этого подставим сначала функцию e^λt в уравнение (10):

λeλt = aeλt + beλ(t–h).

Обозначив через q комплексную функцию комплексного аргумента, задаваемую формулой

q(λ) = λ – a – be–λh,

получим

q(λ)eλt = 0.

Очевидно теперь, что функция e^λt является решением уравнения (10) в том и только том случае, если λ является нулем функции q. Функцию q называют характеристическим квазиполиномом или характеристической функцией уравнения (10), уравнение

q(λ) = 0

(11)

— характеристическим уравнением, а его решения — характеристическими значениями (или числами, или корнями) уравнения (10).

Если же подставить в уравнение (10) функцию t^le^λt, то после несложных преобразований получим

( l ∑ j = 0 Cljq(j)(λ)tl–j ) eλt = 0

(здесь q^(j) — j-ая производная функции q). Для выполнения последнего равенства, очевидно, необходимо и достаточно выполнения равенств

q(λ) = q′(λ) = ... = q(l)(λ) = 0.

Таким образом, чтобы функция t^le^λt была решением уравнения (10) необходимо и достаточно, чтобы λ было корнем характеристического уравнения не меньшей чем l кратности.

До настоящего момента аналогия с обыкновенными дифференциальными уравнениями была полной. Однако, характеристическое уравнение (11) имеет в общем случае бесконечное множество корней (нетривиальное утверждение!) Поэтому множество решений уравнения (10) (в отличие от множества решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения) бесконечномерно, т. к. функции вида t^le^λt при разных l и λ линейно независимы. Бесконечномерность пространства решений также является одним из главных отличий уравнений с запаздывающим аргументом от обыкновенных дифференциальных.

Таким образом, любое решение уравнения (11), вообще говоря, нельзя представить в виде линейной комбинации конечного числа решений вида t^le^λt.

Задача О35.6. Пусть q — характеристический квазиполином уравнения

x′(t) = bx(t – 1).

(12)

Докажите, что: а) если b ≠ e, то q не имеет кратных корней; б) в любой полуплоскости вида Re λ ≥ c имеется только конечное число корней квазиполинома q; в) если λi — характеристические корни данного уравнения и ряд ∑∞i=1cieλit (ci ∈ C) сходится равномерно на каждом конечном промежутке, то его сумма является решением уравнения (12) на всей оси.

Некоторые факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений, конечно же, переносятся на линейные уравнения с запаздывающим аргументом почти без изменений. Например, легко доказывается, что общее решение линейного неоднородного уравнения

x′(t) = a(t)x(t) + b(t)x(t – h) + f(t)

является суммой частного его решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (ср.). Но многие утверждения, верные для обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с запаздывающим аргументом просто не верны. Один пример такого утверждения мы уже привели выше (бесконечномерность множества решений). Еще один пример связан со следующим очевидным утверждением теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Линейное автономное уравнение первого порядка

x′ = ax

(13)

(a ∈ R) не может иметь ненулевых периодических решений. Для уравнения с запаздыванием

x′(t) = –x ( t –  π 2 )

(14)

это уже не так. Уравнение (14), очевидно, имеет семейство 2π-периодических решений вида x(t) = c₁sin t + c₂cos t. Этот факт связан с тем, что (трансцендентный) характеристический квазиполином уравнения (14) имеет чисто мнимые корни, в то время как характеристический полином (первого порядка с вещественными коэффициентами) уравнения (13) таковых иметь не может.

Подчеркнем, еще раз что дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом обыкновенными дифференциальными уравнениями не являются. По своим свойствам они ближе к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Литературные указания. Литература по теории дифференциальных уравнений с запаздыванием велика. Основные ссылки здесь таковы: [Беллман — Кук, Мышкис, Норкин, Пинни, Эльсгольц — Норкин, Driver, Halanay, Хейл].

Задачи. О35.7. Докажите, что если a < 0 и |b| ≤ |a|, то любое решение задачи Коши

x′(t) = ax(t) + bx′(t – 1),    t ≥ 0,

x(t) = φ(t),   t ∈ [–1, 0].

(φ ∈ C[–1, 0]) ограничено.

О35.8. Докажите, что любое решение уравнения x′(t) = ax(t – h) стремятся к нулю при t → ∞, если a < 0, h > 0, π/2 ≤ ah ≤ 0.

О35.9. Приведите пример уравнения вида x′(t) = f[t, x(t – h)] с непрерывной функцией f, два различных решения которого: а) пересекаются в некоторой точке под ненулевым углом; б) совпадают на некотором промежутке меньшей чем h длины. Докажите, что если два решения этого уравнения совпадают на промежутке, длина которого не меньше, чем h, то всюду правее этого промежутка они совпадают.

О35.10. Для обыкновенного дифференциального уравнения x′ = f(t, x) с T-периодической по t удовлетворяющей условиям теоремы Коши — Пикара правой частью имеет место следующий факт: если его некоторое решение φ таково, что φ(t₁) = φ(t₁ + T) при некотором t₁, то решение φ продолжимо до T-периодического решения (докажите!) Приведите пример уравнения вида x′(t) = f[t, x(t), x(t – h)], показывающего, что для дифференциально-разностных уравнений этот факт, вообще говоря, не имеет места. Докажите, что этот факт верен, если заменить условие φ(t₁) = φ(t₁ + T) на условие φ(t₁ + s) = φ(t₁ + T + s) при всех s ∈ [–h, 0].

О35.11. Пусть φ ∈ C[–1, 0]. Единственно ли решение задачи Коши

x′(t) = 2√|x(t – 1)|,    t ∈ [0, 2],

x(t) = φ(t),   t ∈ [–1, 0]?

При каких φ решение задачи Коши

x′(t) = 2√|x(t)| + 2√|x(t – 1)|,    t ∈ [0, 2],

x(t) = φ(t),    t ∈ [–1, 0]

неединственно?

О35.12. Пусть f: R³ → R непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, h: R → [h₁, h₂] — непрерывная функция, h₂ ≥ h₁ > 0, а φ ∈ C[–h₂, 0]. Методом шагов докажите, что задача Коши

x′(t) = f(t, x(t), x[t – h(t)]),    t ≥ 0,

x(t) = φ(t),    t ∈ [–h2, 0]

однозначно разрешима.

О35.13. Пусть в условиях предыдущей задачи h₁ = 0, а функция f удовлетворяет дополнительно условию Липшица по третьему аргументу. Методом последовательных приближений докажите, что заключение этой задачи остается в силе.

О35.14. Рассмотрим задачу Коши

x′(t) = f[t, x(t – h)],    t ∈ [0, T],

(15)

x(t) = φ(t),    t ∈ [ – h2, 0]

(16)

(f: R×R → R). Для любой x ∈ C[0, T] такой, что x(0) = φ(0) через x_φ обозначим продолжение функции x на [–h, T] функцией φ. Определим последовательные приближения (ср.) x_k задачи (15) – (16) рекуррентной формулой

xk+1(t) = φ(0) + ∫ t 0 f[s, (xφ)k(s – h)] ds,   t ∈ [0, T],

Докажите, что, начиная с номера N = [T/h] + 1 (здесь [a] — целая часть числа a), все последовательные приближения совпадают с решением задачи (15) – (16).

О35.15. Докажите, что задача Коши

x′(t) = x(t)x(t – 1),    t ≥ 0,

x(t) = φ(t),    t ∈ [ – 1, 0]

при любой φ ∈ C[–1, 0] однозначно разрешима. Найдите при всех h > 0 максимальный отрезок существования решений задачи Коши

x′(t) = x2(t) + x(t – h),    t ≥ 0,

x(t) = 1,    t ∈ [–h, 0].

О35.16. При каких a оператор сдвига g20:C[–1, 0] → C[–1, 0] по траекториям уравнения

x′(t) = ax(t – 1) + 1

является сжимающим?

О35.17. Рассмотрим задачу Коши

x′(t) = f(t, x(t), x[t + h(t)]),    t ∈ [0, T],

(17)

x(t) = φ(t),    t ∈ [–h, 0]

(18)

где f: R³ → R — непрерывная удовлетворяющая условию Липшица по второму и третьему аргументам функция, а h: R → [–h, 0] и φ: [–h, 0] → R — непрерывные функции. Пусть C_φ[0, T] = {x ∈ C[0, T]: x(0) = φ(0)} и x_φ для любой x из C_φ[0, T] — функция из C[–h, T], определяемая равенством

xφ(t) = { x(t), если t ∈ [0, T], φ(t), если t ∈ [–h, 0].

Для любой x ∈ C_φ[0,T] определим функцию J(x) формулой

[J(x)](t) = φ(0) + ∫ t 0 f(s, x(s), xφ[s + h(s)]) ds,    t ∈ [0, T].

Докажите, что: а) J: C_φ[0, T] → C_φ[0, T]; б) пространство C_φ[0, T] относительно метрики, индуцированной из C[0, T], полно; в) при достаточно малых T оператор J, как оператор, действующий в C_φ[0, T], является сжимающим. Постройте шар в C_φ[0, T], который оператор J переводит в себя. Докажите, что единственная неподвижная точка оператора J (существование которой следует из принципа сжимающих отображений) является единственным решением задачи (17) – (18).

О35.18. Уравнением нейтрального типа называется уравнение вида

x′(t) = f[t, x(t – h), x′(t – h)].

(19)

Задачей Коши на отрезке [0, T] для этого уравнения называется задача о нахождении непрерывно дифференцируемой на отрезке [–h, T] функции x, обращающей уравнение (19) в тождество относительно t ∈ [0, T] и удовлетворяющей начальному условию

x(t) = φ(t),    t ∈ [–h, 0]

(φ ∈ C¹[0, T]). Покажите, что для разрешимости этой задачи необходимо выполнение так называемого условия "склейки"

φ′(t) = f[t, φ( – h), φ′(–h)].

Докажите, что если f непрерывна и выполнено условие склейки, то задача Коши для уравнения (19) однозначно разрешима при любой φ ∈ C¹[–h, 0]. Укажите возможные направления обобщения этого результата.

О35.19. Пусть φ ∈ C[–h, 0]. Докажите, что решение задачи Коши

x′(t) = ax(t) + bx(t – h),    t ≥ 0,

x(t) = φ(t),    t ∈ [–h, 0]

k раз непрерывно дифференцируемо на отрезке [(k – 1)h, kh]. Приведите пример задачи Коши для уравнения нейтрального типа, для которой аналогичный факт "сглаживания" решения по времени не имеет места.

О35.20. Выпишите характеристический квазиполином для уравнения

x′(t) = k ∑ i = 1 aix(t – hi)

(a_i, b_i ∈ R, h_i ≥ 0). Докажите, что найдется M такое, что все его корни лежат в полуплоскости Re λ ≤ M.

О35.21. Докажите, что если {λ_i} — произвольная последовательность различных характеристических корней уравнения

x′(t) = ax(t) + bx(t – h),

то Re λ_i → –∞. Покажите, что каждый корень этого уравнения конечнократен.

О35.22. Пусть ψ — решение задачи Коши

x′(t) = ax(t) + bx(t – h) + f(t),   t ≥ 0,

x(t) = φ(t),    t ∈ [–h, 0]

(φ ∈ C[–h, 0]). Докажите существование таких M и α, что при всех t ≥ 0

ψ(t)| ≤ Meαt ( ||φ||C[–h, 0] +   ∫ t 0 |f(s)| ds ) .

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 26 Mar 2000, 15:58.
Last modified 4 May 2002.