§ О31. Аналитическая теория дифференциальных уравнений

Аналитическая теория дифференциальных уравнений — это теория, рассматривающая дифференциальные уравнения с точки зрения теории аналитических функций. Поэтому в этом очерке от читателя требуется владение понятиями и методами теории функции комплексных переменных, в частности, владение понятиями аналитической функции, особой точки, аналитического продолжения, римановой поверхности и т. п.

В аналитической теории обычно рассматривают систему n обыкновенных дифференциальных уравнений вида

x′ = f(z, x),

(1)

в котором f — определенная в области D пространства C×Cⁿ аналитическая функция со значениями в Cⁿ. Подчеркнем, что (1) — это уравнение с комплексным "временем", т. е. независимая переменная в уравнении (1) изменяется на комплексной плоскости C. Этим объясняется традиционная смена обозначения "t" на "z" для независимой переменной. Решением уравнения (1) в комплексной области D(φ) ⊆ C называется локально однозначная аналитическая функция φ: D(φ) →Cⁿ, обращающая уравнение (1) в тождество относительно z ∈ D(φ).

Для дифференциальных уравнений в комплексной плоскости задача Коши определяется, так же как и для дифференциальных уравнений с вещественным временем, начальным условием

x(z0) = x0,

(2)

где z₀ ∈ C и x₀ ∈ Cⁿ — параметры задачи.

Однозначную разрешимость задачи (1) – (2) гарантирует

Теорема Коши. При некотором α > 0 в круге B_α = {z ∈ C: |z – z₀| < α} существует единственное решение задачи (1) – (2).

Доказывать эту теоремы можно так же, как теорему Коши — Пикара, определив при |z – z₀| < α (с надлежащим образом подобранным α) последовательные приближения формулой

y0(z) ≡ x0,

yk+1(z) = x0 + ∫ z z0 f[ζ, yk(ζ)] dζ;

здесь под интегралом ∫ zz0 ... можно понимать, например, интеграл по отрезку, соединяющему точки z0 и z.

Задача О31.1. Покажите, что все последовательные приближения y_k являются аналитическими на B_α функциями.

Задача О31.2. Докажите теорему Коши.

Другой (восходящий к Коши) способ доказательства этой теоремы описывается в задачах О31.7 — О31.10 в конце очерка.

Аналитическое продолжение решения уравнения (1) также является его решением (разумеется, если оно остается в области определения правой части уравнения). Действительно, пусть определенная в области D(φ) функция φ есть решение уравнения (1), а φ₁ — ее аналитическое продолжение на область D(φ₁) ⊇ D(φ). Тогда аналитическая в области D(φ₁) функция ψ₁(z) ≡ φ′₁(z) – f[z, φ₁(z)], как легко видеть, является аналитическим продолжением аналитической в D(φ) функции ψ(z) ≡ φ′(z) – f[z, φ(z)]. Очевидно, ψ(z) ≡ 0 в D(φ), а поэтому и ψ₁(z) ≡ 0 в D(φ₁), что и требовалось.

Доказанное утверждение вовсе не гарантирует возможности аналитического продолжения решения на все C, если f определена на всем C×Cⁿ. Примером может служить уравнение

x′ = x3.

(3)

Решение соответствующей уравнению (3) задачи Коши задается формулой φ(z) = (z0 + x0–1 – z)–1 (проверьте!). Таким образом, решение задачи (3), (2) имеет особую точку z0 + x0–1. Эта особая точка очевидно зависит от начальных данных. Таким особые точки решений называются подвижными, в отличие от неподвижных особых точек, не зависящих от начальных данных.

В то же время, любое решение линейного уравнения

x′ = A(z)x + b(z)

с аналитическими на C коэффициентами A и b может быть аналитически продолжено на всю комплексную плоскость.

Задача О31.3. Докажите.

Таким образом, в отличие от нелинейного случая, решения линейных уравнений могут иметь особые точки только в особых точках коэффициентов уравнения, в частности, линейные уравнения не могут иметь подвижных особых точек.

Задача О31.4. Докажите существование однозначной аналитической на C фундаментальной матрицы уравнения

x′ = A(z)x

(4)

с аналитической на C матрицей A(z).

Задача О31.5. Пусть в уравнении (4) матрица A(z) аналитична в односвязной области D ⊆ C. Докажите, что в D уравнение (4) имеет однозначную аналитическую фундаментальную матрицу.

Большое внимание в аналитической теории дифференциальных уравнений уделяется исследованию решений в окрестности особых точек коэффициентов уравнения. Мы рассмотрим только линейный случай и будем предполагать, что в уравнении (4) z = 0 является изолированной особой точкой аналитической однозначной в выколотой окрестности S = {z ∈ C: 0 < |z| < ε} матрицы A(z). Напомним, что точка z = 0 называется полюсом матрицы-функции A(z) порядка k, если в S эта матрица представима в виде

A(z) = ∞ ∑ j = –k ajzj

(a_j — постоянные n×n-матрицы, a_–k ≠ 0).

Неодносвязность области S приводит в общем случае к неоднозначности решения в S.

Задача О31.6. Подтвердите последнее утверждение на примере уравнения x′ = (2z)^–1x.

В соответствии с этим фундаментальная матрица Φ(z) системы (4) в кольце S в общем случае также неоднозначна. Пусть Φ₁(z) — аналитическое продолжение Φ(z) вдоль положительно ориентированных окружностей с центром в нуле. Поскольку A(z) однозначна в S, матрица Φ₁(z) также является фундаментальной матрицей системы (4). Поэтому найдется невырожденная постоянная матрица C такая, что

Φ1(z) = Φ(z)C

(это следствие теоремы о множестве всех фундаментальных матриц, доказываемой в случае комплексного времени точно так же, как и в случае вещественного времени). Матрица C, определяющая как изменяется фундаментальная матрица при однократном обходе вокруг особой точки, называется матрицей монодромии системы (4). Так как матрица C невырождена, у нее есть логарифм (здесь мы ссылаемся, напр., на книгу [Беллман]). Обозначим через D какую-либо ветвь логарифма матрицы C и положим

B = (2πi)–1D = (2πi)–1Ln C,    X(z) = Φ(z)e–B·Ln z.

Тогда, очевидно,

Φ(z) = X(z)zB

(5)

(мы полагаем, по определению, z^B = e^B·Ln z). Оказывается, X(z) — однозначная аналитическая функция. Для этого достаточно доказать, что X(z) не меняется при обходе вокруг нуля, что действительно так:

X(e2πiz) = Φ(e2πiz)(e2πiz)–B = Φ1(z)e–B(2πi + Ln z) = = Φ(z)Ce–B·2πie–B·Ln z = Φ(z)CC–1e–B·Ln z = X(z).

Таким образом, мы доказали, что в выколотой окрестности S нулевой особой точки матрицы A(z) фундаментальная матрица системы (4) представима в виде (5), где B — постоянная матрица, а X(z) — аналитическая однозначная в S матрица-функция.

Более того, если нуль является полюсом матрицы A(z) первого порядка (в этом случае говорят, что уравнение (4) имеет в нуле особенность первого рода), то особенность матрицы X(z) в нуле является не более, чем полюсом (или, по определению, регулярной особой точкой) — см. задачи О31.19 – О31.20. И далее, в этом случае фундаментальная матрица системы (4) может быть представлена в виде (5) с аналитической в нуле матрицей X(z). В самом деле, пусть Φ(z) = X(z)z^B и у X(z) в нуле полюс порядка k. Тогда матрица X₁(z) = X(z)z^k аналитична в S вплоть до нуля. Положим B₁ = B – kI. Тогда представление

Φ(z) = X(z)zkzB – kI = X1(z)zB1

является искомым.

Если порядок полюса матрицы A(z) больше единицы, то в представлении (5) может быть гарантирована аналитичность X(z) только в выколотой окрестности S нуля и, более того, нулевая особая точка матрицы-функции X(z) не является даже полюсом (такая особая точка называется иррегулярной).

Доказанные утверждения подсказывают нам, в частности, в каком виде можно искать решения уравнения (4).

Литературные указания. Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений изложена, напр., в [Бибиков, Вазов, Голубев, Коддингтон — Левинсон, Лаппо-Данилевский, Немыцкий — Степанов, Хартман].

Задачи. В задачах О31.7 – О31.10 излагается метод Коши доказательства теоремы Коши. Для простоты предполагается, что n = 1, z₀ = x₀ = 0. Аналитичность f в окрестности точки (0, 0) означает ее представимость в некоторой окрестности этой точки в виде (абсолютно) сходящегося ряда

f(z, x) = ∞ ∑ i, l = 1 aklzkxl.

Представим решение φ задачи (1) – (2) в виде формального ряда ∑∞k=0ckzk.

О31.7. Подставляя выражения для f и φ в (1), покажите, что коэффициенты c_k выражается рекуррентными формулами вида

ck+1 = Pk+1(c0, ..., ck, a00, ..., akk).

где Pk — полиномы с положительными коэффициентами. Формальный ряд ∑∞k=0ckzk (о его сходимости пока ничего не известно) называется формальным решением задачи (1) – (2).

О31.8. Положим f(z, x) = ∑∞k, l = 1|akl| zkxl (по теореме Абеля этот ряд сходится в некоторой окрестности точки (0, 0) вместе с рядом для f) и G(z, x) = x – zF(z, x). Покажите, что в окрестности точки (0, 0) выполнены условия теоремы о неявной функции и поэтому уравнение G(z, x) = 0 имеет в окрестности нуля единственное решение x = ψ(z) аналитическое в некоторой окрестности нуля: ψ(z) = ∑∞k=0bkzk.

О31.9. Индукцией по k докажите, что |c_k| ≤ b_k при всех натуральных k.

О31.10. Докажите, что ряд, соответствующий формальному решению φ, сходится и тем самым докажите теорему Коши в части существования. Докажите единственность полученного решения.

О31.11. Докажите, что формальное решение вида ∑∞k=0akzk задачи Коши

x′ = (x – z)/z2, x(0) = 0

не сходится ни в одной точке.

О31.12. Докажите, что задача Коши

x′ = (x – z)/z, x(0) = 0

не имеет формального решения вида ∑∞k=0akzk.

О31.13. Приведите пример линейного уравнения в кольце 1 < |z| < 2, решения которого не однозначны.

О31.14. Докажите, что все матрицы монодромии системы (4) в S подобны.

О31.15. Покажите, что фундаментальная матрица уравнения x′ = x/z аналитична в C (хотя коэффициент z^–1 уравнения имеет особенность в нуле).

О31.16. Пусть Φ — фундаментальная матрица системы (4) в окрестности нуля, матрица A(z) однозначна и аналитична в S и имеет в нуле особенность. Докажите, что или Φ имеет особенность в нуле, или det Φ(0) = 0.

О31.17. Покажите, что общее решение уравнения x′ = 1/2xz имеет две неподвижные и одну подвижную особые точки.

О31.18. Докажите, что если Φ — представимая в виде (5) фундаментальная матрица системы (4), то X′ = A(z)X – XB/z.

О31.19. Пусть в уравнении (4) n = 1 и нуль является полюсом первого порядка функции A(z). Пусть φ — решение уравнения (4) в S и Φ ∈ [0, 2π]. Положим ψ(z) = |φ(re^iΦ)| (r ∈ (0, ε)). Покажите, что найдется не зависящая от решения φ и числа Φ константа M такая, что ψ′(r) ≤ Mψ(r)/r при r ∈ (0, ε].

О31.20. В условиях предыдущей задачи докажите, что нуль является полюсом решения φ конечного порядка.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 24 Mar 2000, 16:54.
Last modified 2 May 2002.