§ О10. Метод функций Ляпунова

Метод исследования устойчивости по первому приближению является мощным, но не универсальным. В некоторых случаях он не может дать ответ на вопрос об устойчивости решения. Например, это так для уравнения маятника без трения

x′1= x2,    x′2= –sin x1,

(1)

поскольку собственные значения линеаризованной в нижнем положении равновесия системы

x′1= x2,    x′2= –x1

лежат на мнимой оси.

Здесь мы описываем один метод исследования устойчивости, восходящий к выдающемуся русскому математику А.М. Ляпунову — так называемый метод функций Ляпунова (или второй метод Ляпунова).

Мы будем рассматривать уравнение

x′ = f(t, x)

(2)

(f: R×Rⁿ → Rⁿ).

Непрерывно дифференцируемая на открытом подмножестве D ⊂ R×Rⁿ скалярная функция V называется функцией Ляпунова системы (2), если при всех (t, x) ∈ D

∂V(t, x) ∂t + ( ∂V(t, x) ∂x , f(t, x) ) ≤ 0

(3)

(здесь и ниже (·,·) — скалярное произведение в Rⁿ). Левая часть неравенства (3) иногда называют производной функции V в силу уравнения (1)

Задача О10.1. Докажите, что если в последнем соотношении заменить знак неравенства на равенство, то функция V будет первым интегралом.

Функции Ляпунова, в отличие от первых интегралов, обладают тем свойством, что вдоль любого решения φ уравнения (2) они не возрастают. Действительно,

dV[t, φ(t)] dt = ∂V(t, x) ∂t | x= φ(t) + ( ∂V(t, x) ∂x | x= φ(t) , φ′(t) ) =

= ∂V(t, x) ∂t | x= φ(t) + ( ∂V(t, x) ∂x | x= φ(t) , f[t, φ(t)] ) ≤ 0.

Грубо говоря, это свойство означает, что решения (2) "протыкают" поверхности уровня "в одном направлении" — со стороны бóльших значений в сторону меньших. Геометрически, этот факт легче представить в случае автономной (т. е. не зависящей от t) функции Ляпунова, рассматривая траектории в фазовом пространстве, а не интегральные кривые в расширенном фазовом пространстве. На рис. 1 изображены линии уровня некоторой автономной функции Ляпунова (внутренние линии отвечают меньшим значениям). Траектория, попав на какую-либо линию уровня, уже не может покинуть область, ограничиваемую этой линией.

Рис. 1.

Подчеркнем, что для построения функций Ляпунова (т. е. нахождения функций, удовлетворяющих (3)) не требуется знать решения уравнения.

В дальнейшем мы, для простоты, будем рассматривать только автономные уравнения

x′ = f(x)

(4)

(f: Rⁿ →Rⁿ) и автономные функции Ляпунова. Соотношение (3) для них, очевидно, выглядит так

( ∂V(x) ∂x , f(x) ) ≤ 0.

Всюду ниже предполагается, что нуль является положением равновесия системы (4) (т. е. f(0) = 0); его устойчивостью мы и интересуемся.

Предположим, что нам удалось подобрать такую функцию Ляпунова V, что V(0) = 0, а множества U_ε = {x ∈ Rⁿ: V(x) ≤ ε} при малых положительных ε "подобны" малым окрестностям нуля в Rⁿ (составляют базу окрестностей нуля). Тогда, поскольку функция Ляпунова вдоль решения не возрастает, любое решение, начальное значение которого лежит в U_ε, остается в нем при t > 0 (см. рис. 2); по существу, это означает устойчивость нулевого решения. Множества U_ε обладают нужным свойством, например, если 0 — точка строгого локального минимума функции V (см. рис. 3).

Рис. 2.

Рис. 3.

Если же дополнительно

( ∂V(x) ∂x , f(x) ) < 0.

при всех x ≠ 0, то функция V(x) вдоль решений, как нетрудно видеть, строго убывает и, следовательно, при возрастании t точка φ(t) попадает во множества U_ε со все меньшими ε. А так как U_ε "стягиваются" к нулю, то вместе с ними стремится к нулю и решение φ(см. рис. 1). Последнее означает асимптотическую устойчивость системы (4).

Эти простые геометрические соображения формализуются в следующих двух теоремах.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть в окрестности D нуля в Rⁿ существует автономная функция Ляпунова системы (4) такая, что V(0) = 0 и V(x) > 0 при x ∈D \{0}. Тогда нулевое положение равновесия этой системы устойчиво по Ляпунову.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Зафиксируем произвольное положительное ε (при этом будем считать, что шар B(0,ε) целиком лежит в D) и положим

a = {V(x): ||x|| = ε}.

Число a положительно.

Задача О10.2. Почему?

Из непрерывности V вытекает наличие δ1 > 0 такого, что V(x) < a при ||x|| < δ1. Покажем, что произвольное положительное δ, меньшее min{ε, δ1}, является искомым, т. е. покажем, что из неравенства ||u|| < δ следует неравенство ||gt0t(u)||< ε при всех t ≥ t0. В предположении противного найдутся u0, ||u0|| < δ и t1 > t0 такие, что ||φ(t1)|| ≥ ε (здесь φ(t) = gt0t(u0)). В силу непрерывности ||φ(t)|| можно указать t2 ∈ (t0, t1] такое, что

||φ(t)|| < ε при t ∈ [t0, t2] и ||φ(t2)|| = ε.

Поскольку V не возрастает вдоль решений

V[φ(t2)] ≤ V[φ(t0)] = V(u0),

а так как ||u₀|| < δ и, следовательно, V(u₀) < a,

V[φ(t2)] < a.

С другой стороны, так как||φ(t₂)|| = ε, по определению a

V[φ(t2)] ≥ a.

Противоречие.

Задача О10.3. Докажите, что нижнее положение равновесия маятника без трения (система (1)) устойчиво (для этого покажите, что его полная энергия является функцией Ляпунова).

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть в дополнение к условиям предыдущей теоремы

W(x)  ≝  ( ∂V(x) ∂x , f(x) ) < 0

(5)

при x ∈ D \{0}. Тогда нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Нам нужно показать только, что

φ(t) → 0 при t → +∞,

(6)

если φ(t₀) достаточно малó. Зафиксируем положительное ε такое, чтобы B(0, ε) ⊂ D и построим по нему δ как в доказательстве предыдущей теоремы. Покажем, что при ||φ(t₀)|| < δ выполнено (6), для чего покажем сначала, что

V[φ(t)] → 0 при t → +∞.

(7)

Функция V[φ(t)] не возрастает и, более того,

dV[φ(t)] dt = W[φ(t)] < 0,

если φ(t) ≠ 0. Поэтому либо, начиная с некоторого t₁ > t₀, функция V[φ(t)] тождественно нулевая (и тогда (7) доказано), либо она строго убывает. Таким образом, предел α = lim_t→+∞V[φ(t)] существует. Допустим, что (7) не выполнено, т. е. α > 0. Тогда

(ε ≥) ||φ(t)|| ≥ β > 0.

Действительно, в противном случае нашлась бы такая последовательность t_k → ∞ такая, что φ(t_k) → 0 при k → ∞. Вместе с ней, силу непрерывности функции V, к нулю стремилась бы и последовательность V[φ(t_k)], что противоречит неравенству α > 0.

Положим теперь

a1 = sup{W(x): β ≤ ||x|| ≤ ε}.

Число a₁ отрицательно, так как иначе функция W обращалась в нуль при некотором x ≠ 0. Но тогда

V[φ(t)] = V[φ(t0)] + ∫ t t0 dV[φ(s)] ds ds =

= V[φ(t0)] + ∫ t t0 ( ∂V[φ(s)] ∂x ,  dφ(s) ds ) ds = V[φ(t0)] + ∫ t t0 W[φ(s)] ds ≤

≤ V[φ(t0)] + ∫ t t0 a1 ds = V[φ(t0)] + a1t → –∞ при t → +∞.

Последнее противоречит неотрицательности функции V.

Осталось показать, что из (7) следует (6). Если это не так, то найдутся t_k → +∞ и γ > 0 такие, что

(ε ≥) ||φ(tk)|| ≥ γ.

Но тогда выполнено неравенство

V[φ(tk)] ≥ a2  ≝  inf{V(x): γ ≤ ||x|| ≤ ε} > 0,

которое в силу (7) невозможно. Теорема доказана.

С помощью функций Ляпунова можно также исследовать неустойчивость решений. Мы ограничимся формулировкой одной простейшей теоремы и ее геометрической иллюстрацией.

Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть функция Ляпунова V системы (4) удовлетворяет (5) и такова, что в любой окрестности нулевого положения равновесия есть точки, в которых она отрицательна. Тогда нулевое решение этой системы неустойчиво.

Геометрическая суть этой теоремы изображена на рис. 4.

Рис. 4.

В некотором смысле описанные теоремы Ляпунова допускают обращение. Грубо говоря, условия этих теорем являются необходимыми: если положение равновесия обладает теми или иными свойствами устойчивости, то у системы существует удовлетворяющая соответствующим требованиям функция Ляпунова. В качестве простейшего примера покажем, что если линейная автономная система

x′ = Ax

(8)

асимптотически устойчива, то у нее существует положительная в Rⁿ\{0} функция Ляпунова, удовлетворяющая (5). В самом деле, асимптотическая устойчивость гарантирует, что все собственные значения матрицы A имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, система экспоненциально устойчива. Пусть Φ(t) — нормальная в нуле фундаментальная матрица этой системы (Φ(t) = e^At). Экспоненциальная устойчивость гарантирует наличие положительных M и α таких, что

||Φ(t)|| ≤ Me–αt при t ≥ 0.

Положим

V(x) = ∫ ∞ 0 ||Φ(s)x||2ds.

Задача О10.4. Покажите, что V(x) = (S(x),x), где S = ∫0∞Φ*(s)Φ(s) ds.

Функция V(x) очевидно положительна в Rⁿ\{0}. Остается заметить, что

( ∂V(x) ∂x , f(x) )  =  ( ∂ ∂x ∫ ∞ 0 ||eAsx||2 ds, Ax ) =

=  ∫ ∞ 0 ( ∂ ∂x || eAsx||2, Ax ) ds  =  ∫ ∞ 0 2(eAsx, AeAsx) ds =

=  ∫ ∞ 0 d ds (eAsx, eAsx) ds = –||x||2.

Задача О10.5. Проведите подробные вычисления.

Возможность обращения теорем Ляпунова позволяет, в частности, реализовать следующую (предложенную А.М. Ляпуновым) схему доказательства теорем об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Если, например, линеаризованное уравнение асимптотически устойчиво, то для него существует функция Ляпунова, обладающая соответствующими свойствами. Эта функция оказывается и функцией Ляпунова исходной системы. Поэтому из соответствующей теоремы Ляпунова вытекает устойчивость нулевого решения нелинейной системы.

Литературные указания. Теория функций Ляпунова восходит к классической книге А.М. Ляпунова [Ляпунов], являющейся его диссертацией. Фрагмент из этой книги мы приводим в избранном. Для начального изучения рекомендуется книга [Демидович]. Различным аспектам теории функций Ляпунова посвящены монографии [Барбашин: Введение..., Барбашин: Функции..., Валеев — Финин, Красовский, Ла-Салль — Лефшец, Ляпунов, Малкин, Руш — Абетс — Лалуа, Четаев].

Задачи. О10.6. Пусть система (4) имеет непостоянный автономный первый интеграл. Докажите что нулевое положение этой системы не является асимптотически устойчивым в целом.

О10.7. Покажите, что если квадратичная форма (Ax, x) неположительна, то система (8) устойчива.

О10.8. Покажите, что если квадратичная форма (Ax, x) отрицательно определена, т. е. (Ax, x) ≤ –r||x||² (r > 0), то при любом b ∈ Rⁿ нулевое решение системы x′ = Ax + b||x||² асимптотически устойчиво.

В дальнейшем считается, что f в (2) удовлетворяет условиям теоремы Коши — Пикара и f(t, 0) ≡ 0.

О10.9. Докажите, что нулевое решение этой системы устойчиво в том и только том случае, если она имеет невырожденный первый интеграл V: R×Rⁿ → Rⁿ удовлетворяющий условиям: а) V(t, 0) ≡ 0; б) V непрерывен по второму аргументу; в) если V(t_k, x_k) → 0 при k → ∞, то x_k → 0 при k → ∞.

О10.10. Докажите следующие обобщения теорем Ляпунова на неавтономные системы. Если уравнение (2) имеет функцию Ляпунова V: R×Rⁿ → Rⁿ и существует определенная в окрестности D нуля скалярная функция W такая, что

V(t, x) ≥ W(x) > 0 при всех t ≥ 0, x ∈ D\{0},

V(t, 0) ≡ W(0) = 0,

то нулевое решение системы (2) устойчиво по Ляпунову.

Если же дополнительно

∂V(t, x) ∂t + ( ∂V(t, x) ∂x ,  f(t, x) ) ≤ –W(x)

при всех t, x и

V(t, x) → 0 при x → 0

равномерно по t, то нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 19 Jan 2000, 06:57.
Last modified 8 Apr 2002.