§ И3. Извлечения из «Общей задачи об устойчивости движения» А.М. Ляпунова0)

1. Рассмотрим какую-либо материальную систему с k степенями свободы.

Пусть

q1, q2, ..., qk

суть k независимых переменных, которыми мы условились определять ее положение.

Мы будем предполагать, что за переменные эти взяты такие величины, которые остаются вещественными для всяких действительных положений системы.

Рассматривая названные переменные как функции времени t, первые производные их по t будем обозначать через

q1′, q2′, ..., qk′.

Во всякой динамической задаче, в которой силы определенным образом заданы, эти функции будут удовлетворять некоторым k дифференциальным уравнениям второго порядка.¹⁾

Пусть для уравнений этих найдено какое-либо частное решение

q1 = f1(t),  q2 = f2(t),  ...,  qk = fk(t),

в котором величины q_j выражаются вещественными функциями t, дающими при всяком t только возможные для них значения.²⁾

Этому частному решению будет соответствовать некоторое определенное движение нашей системы. Сравнивая его в известном отношении с другими, возможными для нее при тех же силах, движение это будем называть невозмущенным, а все остальные, с которыми оно сравнивается, возмущенными.

Разумея под t0 некоторый данный момент времени, назовем соответствующие ему значения величин qj, qj′ в каком-либо движении через qj0, q′j0.

Пусть

q10 = f1(t0) + ε1,  q20 = f2(t0) + ε2,  ...,  qk0 = fk(t0) + εk,

q′10 = f1′(t0) + ε1′,  q′20 = f2′(t0) + ε2′,  ...,  q′k0 = fk′(t0) + εk′,

где ε_j, ε_j′ суть некоторые вещественные постоянные.

Заданием этих постоянных, которые будем называть возмущениями, определится возмущенное движение. Мы будем предполагать, что им можно приписывать всякие численно достаточно малые значения.

Говоря о возмущенных движениях, близких к невозмущенному, будем разуметь движения, для которых возмущения численно достаточно малы.

Пусть Q₁, Q₂, ..., Q_n суть какие-либо данные непрерывные вещественные функции величин

q1, q2, ..., qk, q′1, q′2,..., q′k.

Для невозмущенного движения они обратятся в некоторые известные функции t, которые обозначим соответственно через F₁, F₂, ..., F_n. Для возмущенного движения они будут некоторыми функциями величин

t, ε1, ε2, ..., εk, ε1′, ε2′, ..., εk′.

Когда все ε_j, ε_j′ равны нулю, величины

Q1 – F1,  Q2 – F2,  ...,  Qn – Fn

будут равными нулю для всякого t. Но если постоянные ε_j, ε_j′, не будучи нулями, предполагаются бесконечно малыми, то является вопрос, можно ли назначить такие бесконечно малые пределы для величин Q_s – F_s, которых последние никогда не превзошли бы по числовым значениям?³⁾

Решение этого вопроса, который составит предмет наших изысканий, зависит как от характера рассматриваемого невозмущенного движения, так и от выбора функций Q₁, Q₂, ..., Q_n и момента времени t₀. При определенном выборе последних, ответ на этот вопрос будет следовательно характеризовать в известном отношении невозмущенное движение, определяя собой то свойство последнего, которое будем называть устойчивостью, или противоположное ему, которое будем называть неустойчивостью.

Мы будем исключительно заниматься теми случаями, когда решение рассматриваемого вопроса не зависит от выбора момента t₀, в который сообщаются возмущения. Поэтому примем здесь следующее определение:

Пусть L1, L2, ..., Lk суть произвольно задаваемые положительные числа. Если при всяких Ls, как бы малы они ни были, могут быть выбираемы положительные числа E1, E2, ..., Ek, E1′, E2′,..., Ek′ так, чтобы при всяких условиям

|εj| ≤ Ej,    |εj′| ≤ Ej′4),    (j = 1,2, ..., k)

и при всяком t, превосходящем t₀, выполнялись неравенства

|Q1 – F1| < L1,    |Q2 – F2| < L2,  ...,  |Qn – Fn| < Ln,

то невозмущенное движение по отношению к величинам Q₁, Q₂, ..., Q_n sустойчиво; в противном случае — неустойчиво.⁵⁾

Приведем примеры.

Если материальная точка, притягиваемая неподвижным центром обратно пропорционально квадрату расстояния, описывает круговую траекторию, то движение ее по отношению к радиусу-вектору, проведенному из центра притяжения, а также по отношению к ее скорости устойчиво. То же движение, по отношению к прямоугольным координатам точки неустойчиво.⁶⁾

Если же рассматриваемая точка описывает эллиптическую траекторию, то движение ее неустойчиво не только по отношению к прямоугольным координатам, но и по отношению к радиусу-вектору и скорости. Но оно устойчиво например по отношению к величине

r – p 1 + e cos φ ,

где p и e параметр и эксцентриситет эллипса, описываемого точкою в невозмущенном движении, а r и φ радиус-вектор точки в возмущенном движении и угол, составляемый им с наименьшим радиусом-вектором в невозмущенном движении.⁷⁾

< Далее А.М. Ляпунов формулирует понятие условной устойчивости (когда рассматриваются возмущения ε_j, ε_j′, подчиняющиеся некоторым ограничениям).>

2. Решение нашего вопроса зависит от исследования дифференциальных уравнений возмущенного движения или, если угодно, от исследования дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют функции

Q1 – F1 = x1,   Q2 – F2 = x2,  ...,  Qn – Fn = xn.

Порядок системы этих последних уравнений вообще будет тот же, т. е. 2k; но в некоторых случаях может быть и ниже.

Мы будем предполагать число n и функции Q_s такими, чтобы порядок этой системы был n, и чтобы они приводилась к нормальному виду:

dx1 dt  = X1,   dx2 dt  = X2,  ...,   dxn dt  = Xn,

(1)

и везде далее будем рассуждать об этих последних уравнениях, называя их дифференциальными уравнениями возмущенного движения.

Все X_s в уравнении (1) суть неизвестные функции величин

x1, x2, ..., xn, t,

обращающиеся в нуль при

x1 = x2 = ... = xn = 0.

Мы сделаем теперь относительно них некоторые предположения, и везде далее будем трактовать уравнения (1) исключительно в этих предположениях.

Мы допустим, что функции X_s даны не только для вещественных, но и для комплексных значений величин x₁, x₂, ..., x_n, модули которых достаточно малы, и что по крайней мере для всякого вещественного t, большего или равного t₀, функции эти разложимы в ряды по целым положительным степеням величин x₁, x₂, ..., x_n, абсолютно сходящиеся для всяких x_s, удовлетворяющих условиям

|x1| ≤ A1,   |x2| ≤ A2,  ...,  |xn| ≤ An,

где A₁, A₂, ..., A_n суть или отличные от нуля постоянные, или такие функции t, которые никогда не делаются нулями.

Таким образом для всякого из указанных значений t все X_s будут голоморфными (holomorphes) функциями величин x₁, x₂, ..., x_n.⁸⁾

Пусть

Xs = ps1x1 + ps2x2 + ... + psnxn + ∑Ps(m1, m2, ..., mn)x1m1x2m2 ... xnmn,

где сумма распространена на все целые неотрицательные числа

m1, m2, ..., mn,

удовлетворяющие условию

m1 + m2 + ...+mn > 1.

В этих разложениях все коэффициенты psσ, Ps(m1, m2, ..., mn) суть функции t, которые, согласно нашему предположению, должны оставаться определенными, а по характеру самой задачи — вещественными для всякого вещественного t, большего или равного t0. Мы будем предполагать кроме того, что для всех таких значений это суть функции непрерывные.

< Далее следуют замечания об области изменения t и о виде возмущений. >

3. Для интегрирования уравнений (1) в занимающем нас вопросе естественно представляется метод последовательных приближений, основанный на допущении, что начальные (т. е. соответствующие t = t₀) значения искомых функций достаточно малы.

Метод этот в своем простейшем виде приводит к рядам, которые могут быть получены следующим образом.

Полагая

xs = xs(1)+ xs(2)+ xs(3)+ ...,   (s = 1,2, ..., n)

(5)

и рассматривая величины x1(m), x2(m), ..., xn(m) вместе с их производными по t как обладающие m-ым измерением,9) вносим эти выражения функций xs в уравнения (1) и в каждом из последних приравниваем между собой совокупности членов одинакового измерения10) той и другой части равенства. Таким образом получаем следующие системы дифференциальных уравнений

dxs(1) dt  = ps1s1(1)+ ps2s2(1)+ ... + psnsn(1),    (s = 1, 2, ..., n),

(6)

dxs(m) dt  = ps1s1(m)+ ps2s2(m)+ ... + psnsn(m)+ Rs(m),    (s = 1, 2, ..., n).

(7)

(m > 1)

Здесь Rs(m) суть известные целые рациональные функции от величин xσ(μ) с коэффициентами, представляющими суммы произведений из функций Ps(m1, m2, ..., mn) на некоторые целые положительные числа.

Все Rs(m), соответствующие всякому данному m, конечно будут зависеть только от тех xσ(μ), для которых μ < m.

Поэтому введенные нами функции xs(m) можно будет определять из написанных уравнений последовательно в порядке возрастания m.

< Далее А.М. Ляпунов доказывает сходимость описанного метода. >

5. При той общей точке зрения, с какой мы рассматривали вопрос до сих пор, мы имели в виду только доказать, что по крайней мере для t, не выходящего из известных границ, всегда существуют функции, удовлетворяющие уравнениям (1) и в данный момент принимающие какие-либо данные, численно достаточно малые значения, и что метод последовательных приближений доставляет ряды, которые при известных условиях могут служить для определения этих функций. Но переходя к изложению каких-либо способов решения вопросов об устойчивости, мы должны будем оставить эту точку зрения, ограничивая нашу задачу некоторыми более определенными предположениями относительно дифференциальных уравнений возмущенного движения.

Преимущественно мы будем заниматься рассмотрением двух следующих случаев: когда все коэффициенты psσ, Ps(m1, m2, ..., mn) суть постоянные величины и когда это суть периодические функции t с одним и тем же вещественным периодом.

Первый конечно можно было бы рассматривать как частный случай второго. Но по многим причинам мы предпочитаем рассмотреть его отдельно.

В первом случае, по примеру  R o u t h'а, невозмущенное движение мы будем называть (для величин, по отношению к которым исследуется устойчивость) установившимся (steady); во втором — периодическим.

Рассматривая эти два случая, увидим, что для решения нашего вопроса весьма существенное значение будет иметь исследование первого приближения.

Мы покажем, при каких условиях это исследование вполне решает вопрос об устойчивости и при каких оно вообще делается недостаточным. Вместе с тем укажем и некоторые способы для решения вопроса в известных случаях этого последнего рода.

Прежде однако чем перейти к детальному рассмотрению вопроса, мы остановимся на некоторых общих предложениях, которые послужат точками отправления при наших изысканиях.

Все способы, которые мы можем указать для решения занимающего нас вопроса, можно разделить на две категории.

К одной мы причислим все те, которые приводятся к непосредственному исследованию возмущенного движения, и в основании которых поэтому лежит разыскание общих или частных решений дифференциальных уравнений (1).

Вообще эти решения придется искать под видом бесконечных рядов, простейшим типом которых могут служить рассмотренные в предыдущем параграфе. Это суть ряды, расположенные по целым положительным степеням постоянных произвольных. Но далее мы встретимся также и с некоторыми рядами другого характера.

Совокупность всех способов исследования устойчивости, относящихся к этой категории, назовем первым методом.

К другому мы причислим все те, которые основываются на принципах, не зависящих от разыскания каких-либо решений дифференциальных уравнений возмущенного движения.

Таков например известный способ исследования устойчивости равновесия в случае существования силовой функции.¹¹⁾

Эти способы могут приводиться к разысканию и исследованию интегралов уравнения (1), и вообще в основании всех тех из них, с которыми встретимся далее, всегда будет лежать разыскание функций¹²⁾ переменных x₁, x₂, ..., x_n, t по некоторым данным условиям, которым должны удовлетворять их полные производные по t, составленные в предположении, что x₁, x₂, ..., x_n суть функции t, удовлетворяющие уравнениям (1).¹³⁾

Совокупность всех способов этой категории мы назовем вторым методом.

Примечания:

⁰⁾ А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. Изд. Харьковского матем. об-ва, Харьков, 1892; доступное изд. диссертации А.М. Ляпунова см. в А.М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения (диссертация и статьи), ОНТИ, Л.-М., 1935.

¹⁾ Эти абзацы свидетельствуют о том, что столетие назад основным источником дифференциальных уравнений была механика.

²⁾ Может случиться, что для величин q_j по самому их выбору возможны не всякие вещественные значения, а только небóльшие или немéньшие известных пределов. Прим. А.М. Ляпунова.

³⁾ Имеется в виду вопрос, можно ли сделать Q_s – F_s сколь угодно малыми при всех t, если ε_j, ε_j′ достаточно малы? См. точное определение ниже.

⁴⁾ Вообще под |x| условимся разуметь числовое значение вещественного или модуль мнимого количества x. Прим. А. М. Ляпунова.

⁵⁾ За более чем сто лет, прошедших со времен опубликования диссертации А.М. Ляпунова это определение устойчивости, по существу, не изменилось.

⁶⁾ По радиусом-вектором здесь понимается его длина. Здесь утверждается, что рассматриваемое решение (автономного) дифференциального уравнения является орбитально устойчивым, но не является устойчивым по Ляпунову (см. очерк Динамические системы).

⁷⁾ См. предыдущую сноску.

⁸⁾ Употребляя этот термин для сокращения речи и везде далее, считаем нужным сказать определенно, что мы будем разуметь под ним.

Рассматривая какую-либо функцию переменных x₁, x₂, ..., x_n, мы будем называть ее по отношению к этим переменным голоморфною всякий раз, когда она может быть представляема под видом n-кратного ряда, расположенного по целым положительным степеням величин x_s, по крайней мере для всех таких значений последних, модули которых не превосходят некоторых отличных от нуля пределов. Прим. А.М. Ляпунова.

⁹⁾ Являющиеся членами m-го порядка.

¹⁰⁾ Приравниваем коэффициенты при членах одинакового порядка.

¹¹⁾ Т. е. в случае потенциального силового поля.

¹²⁾ Функций Ляпунова в современной терминологии.

¹³⁾ Производные в силу уравнения.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created On 27 Mar 2000, 21:30.
Last modified 9 May 2002.