Часть II. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Назад § О8. Первые интегралы Вперед

Удел наш — музыке людских творений
И музыке миров внимать любовно...

Г. Гессе. Собственные сочинения Иозефа Кнехта. Игра стеклянных бус

Вещественная функция V(t, x) определенная на открытом подмножестве D R×Rn называется первым интегралом (ср.) системы

x′ = f(t, x), (1)

если вдоль любого решения φ этой системы, график которого целиком лежит в D, она сохраняет постоянное значение:

V[t, φ(t)] ≡ C.

Константа C не зависит от t, но, вообще говоря, зависит от решения φ.

Тривиальным примером первого интеграла для любой системы служит, очевидно, функция-константа V(t, x) ≡ a. Первые интегралы такого типа никакой информации о решении не несут и в дальнейшем исключаются из рассмотрения.

Нетривиальным примером первого интеграла для уравнения свободных колебаний линейного осциллятора (см.)

x1= x2,    x2= –ω2x1 (2)

является полная энергия осциллятора H = T + U, где T кинетическая энергия T = x12/2 = x22/2, а U потенциальная энергия U = ω2x12/2 осциллятора. Действительно, если φ(t) = 1(t), φ2(t)) — решение системы (2), то

d
dt
H[φ(t)] = d
dt
( φ22(t)
2
  +  
ω2φ12(t)
2

)   =

= φ2(t)φ′2(t)+ ω2φ1(t)φ′1(t)= φ2(t)[–ω2φ1(t)] + ω2φ1(t2(t) = 0

и следовательно, H[φ(t)] ≡ const .

В этом случае первый интеграл дает бóльшую информацию о решениях — в фазовой плоскости они являются эллипсами.

Геометрически, первый интеграл — это такая функция, что любое решение лежит на одной и только поверхности уровня этой функции (см. рис. 1).

Геометрическая интерпретация первого интергала
Рис. 1.

Вообще говоря, основным источником первых интегралов являются различные законы сохранения (энергии, как это было в вышеописанном примере осциллятора, импульса, момента импульса и т. п.)

Различие между двумя приведенными выше примерами первых интегралов характеризует следующее понятие невырожденности. Система непрерывно дифференцируемых первых интегралов V  = (V1, ..., Vk) называется невырожденной на D, если в любой точке (t, x) ∈ D ранг ее производной V/∂x равен числу k первых интегралов в этой системе.

Функция-константа представляет собой пример вырожденной системы первых интегралов (состоящей из одного интеграла), в то время как полная энергия линейного осциллятора есть невырожденная система первых интегралов на R2\{0}.

Задача О8.1. Докажите.

Системы первых интегралов называются иногда векторными, или k-мерными (если они состоят из k первых интегралов).

Задача О8.2. Докажите, что в условиях теоремы Коши — Пикара функции V1(t, x) = x1 и V2(t, x) = t||x|| не могут быть одновременно первыми интегралами уравнения (1).

Задача О8.3. Докажите, что если двумерная система x′ = f(t, x) имеет на R×R2 два первых интеграла V1(t, x1, x2) = x12+ 2x22 и V2(t, x1, x2) = 2x12+ x22, то f(t, x) ≡ 0.

Основной смысл введенного понятия состоит в том, что невырожденный k-мерный первый интеграл позволяет локально выражать некоторые k неизвестных функций системы (1) через остальные. А именно, имеет место следующая

Теорема о понижении порядка. Пусть Vневырожденный k-мерный первый интеграл системы (1) на D, (t0, x0) ∈ D, C = (C1, ..., Ck) = V(t0, x0). Тогда система уравнений

V(t, x) = C
в некоторой окрестности D1 точки (t0, x0) однозначно разрешима относительно некоторого набора из k пространственных переменных, причем, получившаяся зависимость будет непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть, для определенности, именно первые k столбцов якобиана V/∂x определяют отличный от нуля минор и обозначим набор (x1, ..., xk) через y, а (xk+1, ..., xn) — через z. Тогда в новых обозначениях (здесь (y0, z0) = x0)

y0, z0) = C,   det [ V(t, y, z)
y
]|

(t, y, z) = (t0, y0, z0)
≠ 0.

В силу теоремы о неявной функции уравнение

V(t, y, z) = C

в окрестности точки (t0, y0, z0) однозначно разрешимо относительно y, а, точнее, в некоторой окрестности D2 точки (t0, z0) найдется непрерывно дифференцируемая функция F: D2 Rk такая, что

V[t, F(t, x), z] = C.

при всех (t, z) ∈ D2, что и требовалось.

В общем случае процедура понижения порядка выглядит следующим образом. Перепишем систему (1) в переменных y и z:

y′ = f1(t, y, z),

z′ = f2(t, y, z),
(3)

где f(t, x) = f(t, y, z) = (f1(t, y, z), f2(t, y, z)). Поскольку вдоль решения, выпущенного в момент времени t0 из точки (y0, z0), первый интеграл сохраняет значение C (= V(t0, y0, z0)):

V[t, y(t), z(t)] = C,

в силу теоремы о понижении порядка в окрестности точки t0

y(t) = F[t, z(t)]. (2)

Подставив (4) во второе уравнение системы (3), получим систему nk дифференциальных уравнений с nk неизвестными

z′ = f2[t, F(t, z), z].

Компонента y решения системы (3) находится по z из (4).

Задача О8.4. Понизьте порядок системы (2), описывающей колебания линейного осциллятора.

Таким образом, наличие невырожденного первого интеграла позволяет понижать порядок системы.

Признак первого интеграла можно сформулировать в терминах дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. А именно, для того, чтобы непрерывно дифференцируемая вектор-функция V(t, x) была первым интегралом системы (1) на D необходимо и достаточно, чтобы при всех (t, x) ∈ D выполнялось равенство

V(t, x)
t
+ V(t, x)
x
f(t, x) = 0.
(5)

Для  д о к а з а т е л ь с т в а  достаточности нужно заметить только, что если φ — решение (1), лежащее в D, то V[t, φ(t)] = const и следовательно

0 = dV[t, φ(t)]
dt
= V(t, x)
t
|

x = φ(t)
+ V(t, x)
x
|

x = φ(t)
f[t, φ(t)].

Докажем необходимость. Пусть (t0, x0) ∈ D, а φ(t) = gt0t(x0) решение системы (1), проходящее через точку (t0, x0). Тогда, поскольку V[t, φ(t)] = const при всех t достаточно близких к t0,

dV[t, φ(t)]
dt
|

x = t0
= 0.

Последнее равенство равносильно следующему

V(t, x)
t
|

(t, x) = (t0, φ(t0))
+ V(t, x)
x
|

(t, x) = (t0, φ(t0))
f[t0,φ(t0)] = 0,

которое в силу произвольности (t0, x0) эквивалентно (5).

Например, если k = 1, то равенство (5) в подробной записи выглядит так:

V(t, x)
t
 + f1(t, x) V(t, x)
x1
 + ... + fn(t, x) V(t, x)
xn
 = 0.

Последнее равенство, если его рассматривать как уравнение относительно неизвестной функции V от n + 1 переменной, представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка (соответственно, равенство (5) представляет собой систему k линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка ).

Таким образом, понятие первого интеграла, в частности, устанавливает связь между системами обыкновенных дифференциальных уравнений и линейными уравнениями в частных производных первого порядка.

Для невырожденной системы k первых интегралов, очевидно, выполнено неравенство kn (n размерность системы (1)). Невырожденная система, состоящая ровно из n скалярных первых интегралов называется полной системой , или полным первым интегралом.

В силу теоремы о понижении порядка полный первый интеграл позволяет в принципе (т. е. через теорему о неявной функции) локально выразить все неизвестные функции через t, т. е. локально найти все решения (см. рис. 2). Таким образом, знание полного первого интеграла позволяет найти общее решение. Имеет место и обратное утверждение: полный первый интеграл можно найти через общее решение (это не такая бессмысленная задача, как это может показаться на первый взгляд; например знание первого интеграла может оказаться полезным при изучении уравнений в частных производных).

К теореме о понижении порядка
Рис. 2.

Теорема о существовании полного первого интеграла. Пусть выполнены условия обобщенной теоремы Коши — Пикара, функция f непрерывно дифференцируема и, кроме того, ее производная удовлетворяет условию Липшица по совокупности переменных. Тогда вектор-функция

V(t, x) = gt0t(x) (6)

(t0произвольный фиксированный момент времени) является полным первым интегралом системы (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть φ — решение системы (1). Тогда

V[t, φ(t)] = gt0t[φ(t)] = gt0t·gt0t[φ(t0)] = gtt[φ(t0)] = φ(t0)

и следовательно не зависит от t. Написанная цепочка равенств геометрически совсем очевидна — задаваемая формулой (6) функция V(t, x) сопоставляет каждой точке (t, x) расширенного фазового пространства значение в точке t0 решения, проходящего в момент времени t через x; поэтому значение функции V(t, x) на любом решении равно значению этого решения в момент времени t0 и, таким образом, константа.

Дифференцируемость функции V вытекает из теорем о дифференцируемости оператора сдвига, а невырожденность следует из того, что V/∂x = (∂/∂x)gt0t(x) является оператором сдвига по траекториям (линейного) уравнения в вариациях вдоль решения gt0t(x); оператор же сдвига по траекториям линейного уравнения невырожден.

Задача О8.5. Пусть Φ — фундаментальная матрица линейной системы x′ = A(t)x с непрерывной матрицей-функцией A(t). Докажите, что V(t, x) = Φ–1(t)x является полным первым интегралом этой системы.

Полные первые интегралы являются в некотором смысле базисами во множестве всех первых интегралов. Более точно, имеет место следующая

Теорема об общем виде первого интеграла. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы и пусть V(t, x) — полный первый интеграл, определенный в некоторой окрестности точки (t0, x0). Тогда любой скалярный первый интеграл V(t, x), определенный в некоторой окрестности этой точки может быть представлен в виде

V(t, x) = F[V(t, x)]
с непрерывно дифференцируемой функцией F.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  По определению первого интеграла для любого x величины V[t, gt0t(x)] и V[tgt0t(x)] константы, зависящие только от x. Обозначим их через W(x) и W(x), соответственно. Таким образом, для y = gt0t(x)

V(t, y) = W(x), (7)

и

V(t, y) = W(x). (8)

Заметим теперь, что производная ∂ W(x)/∂x невырождена как суперпозиция невырожденных операторов:

W(x)
x
= V(t, y)
y
|

y = gt0t(x)
·
x
gt0t(x).

Поэтому, в силу теоремы о неявной функции, отображение W обратимо в окрестности точки x0. Из (7) следует, что

x = W–1[V(t, y)].

Но тогда, учитывая (8), получаем

V(t, y) = W(x) = W (
W–1[V(t, y)]

) = F[V(t, x)],

где F = W·W–1. Учитывая произвольность y, получаем требуемое представление. Непрерывная дифференцируемость F очевидна.

Задача О8.6. Восстановите детали доказательства. В частности, почему y можно считать произвольным в некоторой окрестности точки (t0, x0)?

Для автономных систем

x′ = f(x) (9)

(f: RnRn) интересен вопрос о существовании автономных (т. е. не зависящих от t) первых интегралов.

Теорема об автономных первых интегралах. Пусть функция f непрерывно дифференцируема и ее производная удовлетворяет условию Липшица. Пусть x0 неособая точка системы (9), т. е. f(x0) ≠ 0. Тогда в некоторой окрестности D точки x0 существует (n – 1)-мерный невырожденный автономный первый интеграл V системы (9). Любой автономный скалярный первый интеграл V в некоторой окрестности точки x0 может быть выражен в виде

V(x) = F[V(x)]
с помощью непрерывно дифференцируемой функции F.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Так как f(x0) ≠ 0, не ограничивая общности, можно считать, что, например, первая координата f1 функции f отлична от нуля в точке x0, а следовательно, и в некоторой окрестности D этой точки. Сделаем в (9) замену переменных, принимая координату x1 за новое "время"; получим (n – 1)-мерную (неавтономную) систему уравнений

dx2
dx1
 =  f2(x1, ..., xn)
f1(x1, ..., xn)
,
· · ·
dxn
dx1
 =  fn(x1, ..., xn)
f1(x1, ..., xn)
.
(10)

По предыдущей теореме у системы (10) существует полный ((n – 1)-мерный) невырожденный первый интеграл. В окрестности D он, очевидно, является искомым невырожденным автономным первым интегралом системы (9). Представление произвольного скалярного интеграла также вытекает из упомянутой теоремы.

Геометрически, в случае двумерной системы, данная теорема означает, что локально график каждого решения лежит на цилиндрической поверхности с образующей параллельной оси времени и линией уровня первого интеграла в фазовой плоскости в качестве направляющей (см. рис. 3). В общем случае эта цилиндрическая поверхность получается, если в качестве направляющей взять кривую, являющуюся пересечением поверхностей уровня n – 1 скалярного первого интеграла в фазовом пространстве, все с той же параллельной оси времени образующей.

К теореме об автономных первых интегралах
Рис. 3.

Если перенести рассмотрения из расширенного фазового пространства в фазовое пространство, то последняя теорема утверждает, что локально траектории системы лежат на кривой, получающейся в результате пересечения поверхностей уровня n – 1 скалярного автономного первого интеграла.

В окрестности особой точки (т. е. положения равновесия системы) автономные невырожденные первые интегралы могут и не существовать.

Задача О8.7. Приведите пример.

Литературные указания. Понятие первого интеграла относится к базовым понятиям теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому их описание можно найти фактически в каждом учебнике; см., напр., [Арнольд, Бибиков, Картан, Карташов — Рождественский, Петровский, Понтрягин, Тихонов — Васильева — Свешников, Федорюк, Хартман].

Задачи. О8.8. Автономная система 2n уравнений

pi = – H
qi
,   qi = H
pi

(i = 1, ..., n), где H — дважды непрерывно дифференцируемая функция 2n аргументов p1, ..., pn, q1, ..., qn называется гамильтоновой системой. Покажите, что функция H (гамильтониан) является ее первым интегралом.

О8.9. Пусть для уравнений x′ = f(t, x) и x′ = g(t, x) выполнены условия теоремы Коши — Пикара. Докажите, что если эти уравнения имеют общий полный первый интеграл, то они совпадают.

О8.10. При каких a двумерная система

x1= x1,    x2= ax2

имеет в окрестности нуля D невырожденный в D\{0} скалярный автономный первый интеграл?

О8.11. Пусть автономная система (9) имеет на Rn автономный полный первый интеграл V, причем ||V(x)|| → ∞ при ||x|| → ∞. Докажите, что любое решение этой системы ограничено на R+.

О8.12. Докажите, что если в уравнении (9) функция f непрерывно дифференцируема, f(0) = 0, а f ′(0) имеет собственное значение с положительной вещественной частью, то функция V(x) = ||x|| не может быть первым интегралом этого уравнения.

О8.13. Покажите, что если A*B + B*A = 0, то квадратичная форма V(x) = (Bx, x) есть первый интеграл системы x′ = Ax.

О8.14. Докажите обратное утверждение: если V(x) = (Bx, x) — первый интеграл системы x′ = Ax, то A*B + B*A = 0.

О8.15. Проверьте, что момент импульса K = mr×r (× — векторное произведение в R3) есть трехмерный первый интеграл системы уравнений движения материальной точки в центральном силовом поле

r′′ = f(||r||)r,

где r = (x, y, z), || r || = (x2 + y2 + z2)1/2.

О8.16. В условиях задачи О8.15 движение точки происходит в неподвижной плоскости, определяемой начальным положением и начальной скоростью точки.

О8.17. В условиях задачи О8.15 покажите, что импульс mv = mr′ материальной точки не является первым интегралом системы.

О8.18. Покажите, что полная энергия E = (mv2)/2 + mgh является, а кинетическая энергия T = (mv2)/2 не является первым интегралом уравнения колебаний маятника

φ′ = ω,    ω′ = – g
l
sin φ.


File based on translation from TEX by TTH, version 2.32.
Created 17 Jan 2000, 14:22.
Last modified 24 Apr 2002.