§ 4.4. Устойчивость особых точек нелинейных систем

Для нелинейной системы вопрос об устойчивости решения можно при некоторых условиях решить с помощью анализа соответствующей линеаризованной системы — это утверждают приводимые в настоящем параграфе теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. В более трудных случаях привлекаются другие методы, в частности, метод функций Ляпунова, который мы иллюстрируем на примере маятника без трения.

4.4.1. Задача об устойчивости положения равновесия автономной системы. Рассматривается автономная система

x′ = g(x),

(1)

где g: Rⁿ → Rⁿ — непрерывная функция. Положением равновесия или особой точкой этой системы называется решение-константа:

φ(t) ≡ x*.

Нетрудно видеть, что x* является положением равновесия тогда и только тогда, когда

g(x*) = 0.

Итак, пусть x* — положение равновесия системы (1) и отображение g имеет в точке x* производную g′(x*) = A, т. е.

g(x) – g(x*) = A(x – x*) + ω(x),

где

ω(x) |x| → 0 при x → 0.

(2)

Рассмотрим линеаризованную систему

y′ = Ay

(3)

и приведенную систему (см. п. 4.2.3)

y′ = g(y + x*) – g(x*) = Ay + ω(y).

(4)

Как видно, они отличаются друг от друга "малым" слагаемым ω(y) в правой части. Поэтому есть основание ожидать, что об устойчивости нулевого решения приведенной системы (4) можно судить по устойчивости линейной автономной системы (3).

4.4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия x* системы (1) экспоненциально устойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Мы будем доказывать экспоненциальную устойчивость нулевого решения приведенной системы (4), что эквивалентно утверждению теоремы. Требуется найти такие положительные Δ₁, M и γ, чтобы из неравенств

|y0| < Δ1,   t ≥ t0

вытекало неравенство

|gt0t(y0)|≤ Me–γ(t–t0)|y0|.

Для функции φ(t) = gt0t(y0) по известной формуле оператора сдвига для линейной неоднородной системы мы можем получить из (4):

φ(t) = eA(t–t0)y0 + ∫ t t0 eA(t–s)ω[φ(s)] ds.

Здесь функция b(s) = ω[φ(s)] зависит от решения φ. Оценим норму, воспользовавшись известной оценкой ||e^At||:

|φ(t)| ≤ Me–γ1(t–t0)|y0| + ∫ t t0 Me–γ1(t–s)|ω[φ(s)]| ds.

Применив условие (2), выберем по любому ε > 0 положительное δ так, чтобы из неравенства |x| < δ вытекало неравенство |ω(x)| < ε|x|. Пусть на полуинтервале [t₀, t₁) справедливо неравенство |φ(s)| < δ. Тогда при t ∈ [t₀, t₁] (t₁ включается в силу непрерывности обеих частей неравенства)

Me–γ1(t–t0)|y0| + ∫ t t0 Me–γ1(t–s)|ω[φ(s)]| ds ≤

≤ e–γ1(t–t0) [ M|y0| +  ∫ t t0 Mεeγ1(s–t0)|φ(s)| ds ] .

Следовательно, функция ψ(t) = eγ1(t–t0)|φ(t)| удовлетворяет интегральному неравенству

ψ(t) ≤ M|y0| + ∫ t t0 Mεψ(s) ds.

По лемме Гронуолла — Беллмана получаем

ψ(t) ≤ MeMε(t–t0)|y0|.

Для функции φ это дает:

|φ(t)| ≤ Me–γ(t–t0)|y0|,

(5)

где γ = γ₁ – Mε. Зафиксируем теперь ε так, чтобы было γ > 0. Выберем, наконец, Δ₁ > 0 из условий Δ₁ < δ, MΔ₁ < δ, где δ выбирается по ε так, как описано выше. Покажем, что константы Δ₁, M и γ являются искомыми. Пусть |y₀| < Δ₁. Тогда и |y₀| < δ, так как Δ₁ < δ. Рассмотрим максимальный полуинтервал [t₀, t₁), на котором сохраняется неравенство

|φ(t)| < δ,

(6)

и заметим, что t₁ = +∞. Действительно, если это не так, то на отрезке [t₀, t₁] выполняется (5), откуда следует сохранение (6) в точке t₁. Итак, (6) выполнено на [t₀, +∞), но тогда на этой полуоси выполнено и (5).

П р и м е р. Система уравнений маятника

φ′ = x, x′ = –ω2sin φ – rx

(7)

(r > 0) имеет особые точки

yн = ( φн(t) xн(t) )   =   ( 0 0 ) ,   yв  =   ( φв(t) xв(t) )   =   ( π 0 ) .

соответствующие нижнему и верхнему положениям равновесия. Для первой из них выполнены условия доказанной теоремы (как выяснено в предыдущем параграфе). Поэтому y_н — экспоненциально устойчивая особая точка системы (7).

4.4.3. Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению. Если среди собственных значений матрицы A есть хотя бы одно с положительной вещественной частью, то положение равновесия системы (1) неустойчиво.

Доказательство этой теоремы также опускается.

П р и м е р. Верхнее положение равновесия y_в системы (7) неустойчиво, так как один из корней характеристического уравнения

λ2 + rλ – ω2 = 0

положителен:

λ1 = – r 2 + [ ( r 2 ) 2 + ω2 ] 1/2 > 0.

4.4.4. Устойчивость нижнего положения равновесия маятника без сопротивления. Если r = 0, то для y_н не выполнены условия ни одной из двух предыдущих теорем, поскольку оба корня чисто мнимые:

λ1,2 = ±iω.

В подобных случаях для исследования на устойчивость бывает удобна следующая теорема.

Признак устойчивости. Пусть φ* — точка строго локального минимума гладкой функции U(φ) (U: Rⁿ → Rⁿ). Тогда она является устойчивым положением равновесия уравнения второго порядка

φ′ = – dU(φ) dφ

т. е.

x* =   ( φ* 0 )

есть устойчивая особая точка системы

x′1= x2, x′2= –  dU(x1) dx1 .

(8)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Во-первых, нетрудно видеть, что x* действительно особая точка, т. к. x*2= 0 и

– dU(x1) dx1 | x1=φ* = 0.

Далее, рассмотрим функцию

V(x) = U(x1) + 1 2 x22.

Для нее x* является, очевидно, точкой строгого локального минимума, т. е. найдется ε₀ > 0 такое, что

0 < |x – x*| ≤ ε0 ⇒V(x) > V(x*).

Заметим, что функция V является первым интегралом системы (8) в том смысле, что V[x(t)] ≡ C для любого ее решения x(t). Действительно,

d dt V[x(t)] = dU(x1) dx1 x′1 + x2x′2 = dU(x1) dx1 x2 – x2 dU(x1) x1 ≡ 0.

Докажем теперь устойчивость x*. Пусть ε > 0 и ε₁ = min{ε₀, ε}. Положим

M = min |x–x*| = ε1 V(x);

(9)

непрерывная функция V на компакте достигает минимального значения, причем M > V(x*). Выберем δ > 0 так, чтобы из неравенства |x – x*| < δ вытекало неравенство V(x) < M; это можно сделать ввиду непрерывности V. Очевидно, δ ≤ ε₁. Пусть теперь |x₀ – x*| < δ. Тогда

V[gt0t(x0)]= V(x0) < M.

(10)

Итак, |x0 – x*| < δ ≤ ε1 и в силу (9), (10) |gt0t(x0)– x*| ≠ ε1 при t ≥ t0. Следовательно,

|gt0t(x0)– x0| < ε1 ≤ ε.

Для  п р и м е р а  с маятником без трения, в котором

– dU(φ) dφ  = –ω2sin φ U(φ) = –ω2cos φ + C,

точка φ* = 0 — точка строгого локального минимума для U(φ). Следовательно, это положение равновесия устойчиво.

Заметим, что если бы для функции V в доказательстве признака устойчивости вместо тождества

d dt V[x(t)] ≡ 0

выполнялось неравенство

d dt V[x(t)] ≤ 0,

то все доказательство оставалось бы верным. Такие функции называют функциями Ляпунова, а соответствующий метод исследования на устойчивость — методом функций Ляпунова.

4.4.5. Контрольные вопросы

4.4.5.1. Найдите особые точки уравнения x′ = x³ – x и исследуйте их устойчивость.

4.4.5.2. Докажите устойчивость нулевой особой точки уравнения x′ = – x³.

4.4.6. Задачи

4.4.6.1. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследуйте на устойчивость нулевую особую точку системы

x′1= ax1 – 2x2 + x12,    x′2= x1 + x2 + x1x2

с вещественным параметром a.

4.4.6.2. Пусть правая часть уравнения (1) непрерывно дифференцируема на R^m, g(0) = 0, а его нулевая особая точка устойчива, но не асимптотически устойчива. Докажите, что нулевая особая точка уравнения x′ = g(x) + εx неустойчива при любом положительном ε.

4.4.6.3. Пусть правая часть уравнения (1) непрерывно дифференцируема на R^m, g(0) = 0, а его нулевая особая точка устойчива. Докажите, что нулевая особая точка уравнения x′ = g(x) – εx асимптотически устойчива при любом положительном ε.

4.4.6.4. Покажите, что если нулевая особая точка уравнения x′ = ax + sin x асимптотически устойчива, то a ≤ –1.

4.4.6.5. Докажите, что если система x′ = Ax имеет решение вида φ(t) = ae^–t + be^t (a, b ∈ R^m, b ≠ 0), то нулевая особая точка системы x′ = Ax + c||x||² (c ∈ R^m) неустойчива.

4.4.6.6. Докажите, что если двумерная система x′ = Ax с вещественной матрицей A имеет комплексное решение вида φ(t) = ae^(i–1)t (a ∈ R², a ≠ 0), то нулевая особая точка системы x′ = Ax + b||x||⁴ (b ∈ R²) асимптотически устойчива.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created On 20 Jan 2002, 22:48.
Last modified 19 Apr 2002.