§ 3.4. Метод неопределенных коэффициентов для линейных автономных систем

Полученное в предыдущем параграфе представление e^At требует вычисления жордановой нормальной формы J матрицы A и приводящей матрицы P, что является достаточно сложной задачей. Практически бывает удобнее находить фундаментальную матрицу e^AtP = Pe^Jt. В данном параграфе мы подробно опишем вид столбцов этой матрицы, и это позволит находить их методом неопределенных коэффициентов.

3.4.1. Утверждение о решениях вида e^λtq. Функция e^λtq (λ ∈ C, q ∈ Kⁿ) является ненулевым решением системы

x′ = Ax

(ЛАОС)

тогда и только тогда, когда λ есть собственное значение матрицы A, а q — соответствующий собственный вектор. Если матрица A имеет n линейно независимых собственных векторов q_k с (не обязательно различными) собственными значениями λ_k, то функции

φk(t) = eλk tqk    (k = 1, 2, ..., n)

(1)

образуют фундаментальную систему решений (ЛАОС).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Если e^λtq — ненулевое решение (ЛАОС), то

Aeλtq =  deλtq dt  = λeλtq,

(2)

т. е.

Aq = λq.

(3)

Следовательно, λ — собственное значение A и q — соответствующий собственный вектор. Наоборот, из (3) умножением на e^λt получаем (2), т. е. e^λtq удовлетворяет (ЛАОС).

Система решений вида (1) с линейно независимыми q_k, очевидно, фундаментальна, так как при значения этих решений линейно независимы.

В частности, если все n собственных значений λ_k матрицы A различны, то соответствующие собственные векторы q_k линейно независимы, т. е. система (1) фундаментальна.

3.4.2. Пример. Найдем фундаментальную систему решений вида (1) для системы

x′1 = ωx2, x′2 = –ωx1

(4)

(ω ≠ 0). Сначала ищем собственные значения λ_k матрицы

A = ( 0 ω –ω   0 )

и убеждаемся, что они различны:

(A – λI) = 0 ⇔ λ2 + ω2 = 0 ⇔ λ1, 2 = ±iω.

Итак, в данном случае фундаментальная система решений (1) имеет вид:

φ1(t) = eiωt ( a b ) , φ2(t) = e–iωt ( c d ) .

Подставим φ₁ в (4) и найдем a и b:

iωeiωt ( a b ) = eiωt ( 0 ω –ω   0 ) ( a b ) ,

iωa = bω, iωb = –aω ⇐ a = 1, b = i.

Нас интересует не вся совокупность решений этой алгебраической линейной однородной системы, а только ее фундаментальная система решений, которая в данном случае состоит из одного решения. Таким образом,

φ1(t) = eiωt ( 1 i ) .

Аналогично находим φ₂:

dω, – iωd = – cω ⇐ c = 1, d = – i  —

и, следовательно,

φ2(t) = e–iωt ( 1 –i ) .

3.4.3. Утверждение о фундаментальной системе решений (ЛАОС) в общем случае. (ЛАОС) имеет фундаментальную систему решений вида

φkl(t) = eλk tQkl(t),

(5)

где

k = 1, 2, ..., p,

l = 1, 2, ..., r_k,

λ_k — собственное значение матрицы A алгебраической кратности r_k,

Q_kl(t) — многочлен от переменной t с векторными коэффициентами, причем его степень deg(Q_kl) ≤ max_s{r(k, s)} – 1 ≤ r_k – 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Как отмечено выше, (ЛАОС) имеет фундаментальную матрицу

Φ(t) = PeJt,

(6)

где e^Jt — блочно-диагональная матрица с блоками вида (11) из п. 3.3.5. Заметим, что в соответствии с (6) столбцы матрицы Φ(t) получаются умножением матрицы P на соответствующие столбцы e^Jt. Будем нумеровать столбцы e^Jt и Φ(t) двумя индексами: k = 1, 2, ..., p — номер блока, в который входит этот столбец в e^Jt, и l = 1, 2, ..., r_k — номер столбца в этом блоке. Тогда из формулы (11) п.3.3.5 следует, что

φkl(t) = Peλk tψkl(t),

где столбец ψ_kl(t) состоит из нулей и функций вида t^m/m!, m ≤ max_s{r(k, s)} – 1 ≤ r_k – 1. Положив Q_kl = Pψ_kl, получаем (5).

3.4.4. Определение квазимногочлена. Квазимногочленом называется функция вида

φ(t) = p ∑ k = 1 eλk tQk(t),

(7)

где Q_k(t) — многочлены от t, а λ_k ∈ C — показатели квазимногочлена. Если многочлены Q_k имеют векторные коэффициенты, то квазимногочлен называется векторным.

П р и м е р.  Любое решение (ЛАОС) есть векторный квазимногочлен, показатели которого — собственные значения матрицы A. Это следует из п. 3.4.3 и того факта, что любое решение есть линейная комбинация фундаментальной системы решений.

3.4.5. Лемма о квазимногочлене. Пусть показатели λ_k квазимногочлена (7) различны. Утверждается, что если

p ∑ k = 1 eλk tQk(t) ≡ 0,

то

Qk(t) ≡ 0    (k = 1, 2, ..., p).

Д о к а з а т е л ь с т в о  проводится индукцией по p. Для p = 1 утверждение очевидно. Пусть оно справедливо для некоторого p, и пусть

p + 1 ∑ k = 1 eλk tQk(t) = eλ1 tQ1(t) + p + 1 ∑ k = 2 eλk tQk(t) ≡ 0.

Тогда

Q1(t) + p + 1 ∑ k = 2 e(λk–λ1)tQk(t) ≡ 0.

(8)

Полученное тождество будем последовательно дифференцировать по t до тех пор, пока первое слагаемое не обратится в нуль. Заметим, что

d dt [eλtQ(t)] = eλt[λQ(t) + Q′(t)] = eλtQ(t).

Отсюда, в частности, следует, что старший коэффициент Q получается из старшего коэффициента Q умножением на λ. Поэтому, если λ ≠ 0 и Q(t) 0, то и

Путем последовательного дифференцирования мы получим из (8):

p + 1 ∑ k = 2 e(λk–λ1)tQk(t) ≡0.

По предположению индукции,

Qk(t) ≡ 0    (k = 2, ..., p + 1).

Учитывая, что λ_k – λ₁ ≠ 0, получаем в силу сделанного выше замечания:

Qk(t) ≡ 0    (k = 2, ..., p + 1).

Вместе с (8) это дает: Q₁(t) ≡ 0.

3.4.6. Утверждение о линейной независимости. Если в произвольной системе решений вида (5) свободные члены полиномов Q_kl при любом фиксированном k линейно независимы, то вся система (5) линейно независима.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть

p ∑ k = 1 rk ∑ l = 1 ckleλk tQkl(t) ≡ 0,

т. е.

p ∑ k = 1 eλk tQk(t) ≡ 0,    Qk(t) = rk ∑ l = 1 cklQkl(t).

По лемме о квазимногочлене тогда

rk ∑ l = 1 cklQkl(t) ≡ 0   (k = 1, 2, ..., p).

Поскольку при t = 0 и фиксированном k многочлены Q_kl(t) линейно независимы, отсюда получаем:

ckl = 0   (k = 1, 2, ..., p;  l = 1, 2, ..., rk).

Итак, если каким-нибудь способом найти систему решений вида (5), линейно независимую при любом фиксированном k и t = 0, то это будет фундаментальная система решений. Найденная фундаментальная система решений может быть комплексной даже в том случае, когда матрица A вещественна, так как собственные значения вещественной матрицы могут быть комплексными. В этом случае возникает задача: преобразовать комплексную фундаментальную систему решений для (ЛАОС) с вещественной матрицей A в вещественную фундаментальную систему решений.

3.4.7. Утверждение о вещественной фундаментальной системе решений. Пусть для (ЛАОС) с вещественной матрицей A построена комплексная фундаментальная система решений вида

φ1, ..., φn1; ψ1, ..., ψn2; ψ1, ..., ψn2

(9)

где φ1, ..., φn1 — вещественные, ψ1, ..., ψn2 — комплексные, а ψ1, ..., ψn2 — соответствующие комплексно сопряженные.

Утверждается, что тогда набор

φ1, ..., φn1; u1, ..., un2; v1, ..., vn2;

(10)

где

uk = Re ψk,    vk = Im ψk    (k = 1, 2, ..., n2),

есть вещественная фундаментальная система решений (ЛАОС).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Функции (10) являются решениями (ЛАОС), так как

uk = ψk + ψk 2 ,   vk = ψk – ψk 2i ,

(11)

а линейная комбинация решений (ЛАОС) есть решение. Количество функций в наборе (10) такое же, как и в (5), т. е. n. Проверим линейную независимость. Пусть

n1 ∑ k = 1 ckφk + n2 ∑ j = 1 djuj + n2 ∑ j = 1 ejvj = 0.

Отсюда и из (11) получаем:

n1 ∑ k = 1 ckφk + n2 ∑ j = 1 1 2 [ ( dj + 1 i ej ) ψj + ( dj – 1 i ej ) ψj ] = 0.

Ввиду линейной независимости системы (9)

ck = 0   (k = 1, 2, ..., n1),

dj ± 1 2 ej = 0    (j = 1, 2, ..., n2),

т. е.

dj = ej = 0    (j = 1, 2, ..., n2).

П р и м е р.  Для системы (4) в п. 3.4.2 мы нашли комплексную фундаментальную систему решений

φ1(t) = eiωt ( 1 i )   =   ( cos ωt –sin ωt )   +  i ( sin ωt cos ωt )   =  ψ1(t),

φ2(t) = e–iωt ( 1 –i )   =   ( cos ωt –sin ωt )   – i ( sin ωt cos ωt )   =  ψ1(t),

Поэтому следующая пара образует вещественную фундаментальную систему решений:

u1(t) = Re ψ1(t) = ( cos ωt –sin ωt ) ,    v1(t) = Im ψ1(t)  =   ( sin ωt cos ωt ) .

Эту фундаментальную систему решений мы нашли в п. 3.2.2 другим способом (подбором).

3.4.8. Утверждение о представлении решений (ЛАОС) в виде квазимногочленов. Любое решение φ (ЛАОС) единственным образом с точностью до порядка слагаемых представляется в виде векторного квазимногочлена

φ(t) = p ∑ k = 1 eλk tQk(t),

в котором показателями λ_k являются собственные значения матрицы A, а степени многочленов Q_k не превосходят r_k – 1, где r_k — алгебраическая кратность λ_k.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Как уже отмечалось в п. 3.4.4, возможность представления любого решения в указанном виде вытекает из утверждения о фундаментальной системе решений соответствующего вида. Единственность представления следует из леммы о квазимногочлене: если имеется еще одно представление

φ(t) = p ∑ k = 1 eλk t ~ Q k(t),

то

p ∑ k = 1 eλk t[Qk(t) – ~ Q k(t)] ≡ 0,

так что

Qk(t) ≡ ~ Q k(t).

3.4.9. Контрольные вопросы

3.4.9.1. Найдите фундаментальную матрицу системы

x′1= ωx2,    x′2 = ωx1.

3.4.9.2. Найдите общее решение систем

d dt ( x1 x2 x3 ) = ( 1   2   0 0   2   1 0   0   2 ) ( x1 x2 x3 )    и    d dt ( x1 x2 x3 ) = ( 2   2   0 0   2   1 0   0   2 ) ( x1 x2 x3 ) .

3.4.9.3. По заданным решениям (ЛАОС)

( et + e2t e2t 0 ) ,   ( et + e3t e3t e3t )   и   ( et – e3t –e3t –e3t )

найдите собственные значения и собственные векторы матрицы A.

3.4.9.4. Пусть матрица n×n-матрица A имеет ровно n различных невещественных собственных значений λk. Почему набор функций {eRe λk tcos(Im λkt), eRe λk tsin(Im λkt)}nk=1 не является фундаментальной системой решений (ЛАОС)?

3.4.9.5. Почему систему x′1= x2,  x′2= –x1 заменой вида y = Tx нельзя свести к системе y′1= y1,  y′2= 2y2?

3.4.10. Задачи

3.4.10.1. Покажите, что если у (ЛАОС) есть ненулевое ограниченное на всей оси решение, то у матрицы A есть по крайней мере одно собственное значение с нулевой вещественной частью.

3.4.10.2. Найдите все начальные значения x₀, для которых решение задачи Коши

x′ = ( 1     0   –2 0 1 0 1 –1 –1 ) ,  x(0) = x0

является периодическим.

3.4.10.4. Пусть все собственные значения матрицы A имеют (алгебраические) кратности, не превосходящие двух. Докажите, что многочлен Q(t) с векторными коэффициентами большей единицы степени не может быть решением (ЛАОС).

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 31 17 Jan 2002, 21:53.
Last modified 16 Apr 2002.