§ 3.1. Существование, единственность и оператор сдвига

В этом параграфе для линейных систем рассматриваются вопросы существования, единственности, сходимости последовательных приближений и изучаются свойства оператора сдвига, связанные с линейностью.

3.1.1. Общий вид линейных систем. Линейная система, или линейная неоднородная система, имеет вид

x′ = A(t)x + b(t).

(ЛС)

Здесь x ∈ Kⁿ — значение неизвестной вектор-функции в точке t,

A(t) = (a_ij(t))ⁿ_{i,j = 1} — матрица переменных коэффициентов,

b(t) = (b₁(t), ..., b_n(t)) — вектор свободных членов.

Предполагается, что

aij, bi: J → R непрерывны.

(1)

Наряду с (ЛС) рассматривается соответствующая однородная система

x′ = A(t)x.

(ЛОС)

П р и м е р ы.

1) Скалярное линейное неоднородное уравнение (см. п. 1.4.1):

x′ = a(t)x + b(t)

(x ∈ R). Ранее мы нашли для него общее решение, которое можно записать в виде (x₀ = x(t₀))

x = Φt0(t)x0 + Φt0(t) ∫ t t0 Φ –1 t0 (s)b(s) ds = Φt0(t)x0 + ∫ t t0 Φs(t)b(s) ds,

где

Φt0(t) = exp ( ∫ t t0 a(s) ds ) .

2) Система уравнений гармонического осциллятора (см. п. 1.3.10):

x′1= x2,

x′2= –ω2x1.

Здесь

A(t) = ( 0 1  –ω2 0 ) ,  b(t) = (0, 0)

не зависят от t. Для систем с постоянной матрицей A(t) ≡ A существует алгоритм отыскания общего решения; он будет описан в § 3.3.

3) Пример двумерной системы с переменными коэффициентами:

x′1= α(t)x1 – β(t)x2, x′2= β(t)x1 + α(t)x2.

(2)

Положив

z = cx = x1 + ix2,

λ(t) = α(t) + iβ(t),

где c — отображение комплексификации (см. п. 2.4.5), а i — мнимая единица, мы можем записать (2) в виде комплексного скалярного линейного однородного уравнения:

z′ = λ(t)z.

3.1.2. Теорема существования и единственности. Для (ЛС) при условии (1) выполнены условия обобщенной теоремы 2.4.1 Коши — Пикара и, следовательно, справедливы ее заключения.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В рассматриваемом случае

f(t, x) = A(t)x + b(t),

поэтому f: J×Kⁿ → Kⁿ. Непрерывность по t очевидна:

||f(tk, x) – f(t, x)|| ≤ ||A(tk) – A(t)||·||x|| + ||b(tk) – b(t)||,

||A(tk) – A(t)|| ≤ M1 ∑ i, j |aij(tk) – aij(t)| → 0 при tk → t,

||b(tk) – b(t)|| ≤ M2 ∑ i, j |bi(tk) – bi(t)| → 0 при tk → t.

Проверка условия Липшица по x не менее тривиальна:

||f(t, x) – f(t, y)|| ≤ ||A(t)||·||x – y|| ≤ M(t)|| x – y||,

где

M(t) = M1 ∑ i, j |aij(t)| — непрерывная функция.

3.1.3. Теорема об операторе сдвига и разрешающем операторе для ЛОС. Оператор сдвига gt0t для линейной однородной системы линеен и мономорфен (т. е. инъективен). Этими свойствами обладает также разрешающий оператор Gt0: Kn → C1, который сопоставляет начальному значению x0 ∈ Kn решение φ соответствующей задачи Коши (целиком, а не его значение в точке t) как элемент пространства C1.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Докажем линейность:

gt0t(αx1 + βx2)= αgt0t(x1)+ βgt0t(x2).

(3)

Функции z(t) = gt0t(αx1 + βx2), x(t) = gt0t(αx1), y(t) = gt0t(βx2) являются решениями (ЛОС) по определению оператора сдвига; вся правая часть в (3) тоже, очевидно, решение (ЛОС). При t = t0 левая и правая части принимают одно и то же значение αx1 + βx2. В силу единственности решения задачи Коши равенство (3) справедливо при любом t.

Докажем мономорфность (инъективность, т. е. равенство нулю ядра оператора):

gt0t(x0)= 0 ⇒ x0 = 0.

Заметим, что в обеих частях равенства gt0t(x0)= 0 стоят решения (ЛОС) (тождественный нуль, очевидно, удовлетворяет этой системе). Поскольку они совпадают в точке t, то они должны быть равны и в точке t0:  gt0t0(x0)= x0 = 0.

Соответствующие свойства оператора Gt0 являются очевидными следствиями свойств gt0t, поскольку эти операторы связаны соотношением

[Gt0(x0)](t) = gt0t(x0).

В следующем пункте напоминаются некоторые сведения из курса линейной алгебры.

3.1.4. Свойства линейного мономорфизма. Линейный мономорфизм переводит любую линейно независимую систему векторов в линейно независимую и, следовательно, сохраняет размерность конечномерных подпространств. Обратный оператор к мономорфизму всегда существует на образе прямого оператора и является мономорфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть линейный мономорфизм A действует из линейного пространства E₁ в линейное пространство E₂ и пусть {e₁, e₂, ..., e_n} — линейно независимая система в E₁. Докажем, что система {Ae₁, Ae₂, ..., Ae_n} линейно независима. Пусть

n ∑ k = 1 ckAek = 0.

(4)

Тогда

A ( n ∑ k = 1 ckek ) = 0

и, поскольку A есть мономорфизм,

n ∑ k = 1 ckek = 0

Следовательно,

c1 = c2 = ... = cn = 0.

(5)

Итак, (4) ⇒ (5), т. е. система {Ae_k: k = 1, 2, ..., n} линейно независима. Утверждение об обратном операторе — очевидное свойство любого инъективного отображения.

Заметим, что если e = {e₁, e₂, ..., e_n} — базис E₁, то Ae = {Ae₁, Ae₂, ..., Ae_n} — базис в AE₁. Действительно, пусть x ∈ E₁. Тогда

x = n ∑ k = 1 ckek

Следовательно,

Ax = n ∑ k = 1 ckAek

Значит Ae — полная линейно независимая система векторов в AE₁, т. е. базис. Отсюда следует, что мономорфизм не меняет размерности подпространств.

3.1.5. Операторы L и Kt0. С (ЛС) естественно связан дифференциальный оператор L, который сопоставляет каждой функции x ∈ C1(J, Kn) функцию L x ∈ C(J, Kn), определяемую равенством

(L x)(t) = x′(t) – A(t)x(t).

С использованием этого обозначения можно (ЛС) записать в виде

L x = b.

(6)

Оператор L, очевидно, линеен, но не мономорфен, так как (6) имеет при заданном b бесконечно много решений, выделяемых разными начальными условиями (НУ). Зафиксируем нулевое начальное значение:

x(t0) = 0.

(НУ0)

Множество всех функций из C1 = C1(J, Kn), удовлетворяющих (НУ0), обозначим через C1t0 — это линейное подпространство пространства C1. По теореме Коши — Пикара L  мономорфен на C1t0 и отображает C1t0 на все пространство C = C(J, Kn), т. к. задача (6), (НУ0) имеет для любого b ∈ C единственное решение. Обратный оператор обозначим через Kt0 — это есть линейный мономорфизм между C и C1t0, сопоставляющий каждой функции b ∈ C решение задачи (ЛС), (НУ0).

3.1.6. Утверждение об операторе сдвига для (ЛС). Оператор сдвига gt 0t для (ЛС) выражается через оператор сдвига gt0t для (ЛОС) и оператор Kt0 формулой

gt0t(x0)= gt0t(x0)+ (Kt0b)(t).

(7)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Функция φ(t) = gt0t(x0) удовлетворяет (ЛОС) и (НУ), а ψ(t) = (Kt0b)(t) — (ЛС) и (НУ0). Поэтому их сумма удовлетворяет (НУ). Проверим, что она удовлетворяет и (ЛС):

φ′(t) + ψ′(t) = A(t)φ(t) + A(t)ψ(t) + b(t) = A(t)[φ(t) + ψ(t)] + b(t).

В левой части (7) также стоит решение задачи (ЛС), (НУ). Поэтому (7) вытекает из утверждения о единственности в теореме Коши — Пикара.

3.1.7. Замечание об общем и частном решениях (ЛС). Зафиксируем произвольное x₁ ∈ Kⁿ и представим правую часть (7) в виде

[gt0t(x0)– gt0t(x1)+ [gt0t(x1)+ (Kt0b)(t)] = gt0t(x0– x1) + φчн(t).

В силу (7) φ_чн есть (произвольное) частное решение неоднородной системы. Если считать x₀ = C и x₀ – x₁ = C₁ произвольными векторными постоянными, то получится следующее полезное утверждение:

общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной и любого частного решения неоднородной:

φон = φоо + φчн.

Из (7) и линейности операторов gt0t,Kt0 вытекает часто используемое свойство решений (ЛС):

если b(t) в (ЛС) есть линейная комбинация вида

k ∑ i = 1 αibi(t),

то для отыскания частного решения φ_чн неоднородной системы можно найти частные решения φ_чнi, соответствующие функциям b_i(t), а затем составить их линейную комбинацию:

φчн = k ∑ i = 1 αiφчнi.

Действительно, если φчнi(t0) = xi0,то

φчнi(t) = gt0t(xi0)+(Kt0bi)(t),

поэтому

φчнi(t) = gt0t ( k ∑ i = 1 αixi0 ) + ( Kt0 k ∑ i = 1 αibi ) (t).

В силу (7) это означает, что φ_чн — решение (ЛС).

3.1.8. Контрольные вопросы

3.1.8.1. Почему равенство

gt0t ( x01 x02 ) = ( et–t0 (x01 – 1) + 1 et–t0 x02 )

не может определять оператор сдвига по траекториям линейной однородной системы?

3.1.8.2. Найдите G₁(1) для уравнения x′ = tx.

3.1.8.3. Найдите L x для системы

x′1 = x1sin t + x2cos t,   x′2 = – x1cos t + x2sin t,

если

x = ( –cos t sin t )

3.1.8.4. Найдите K _0.5 для уравнения x′ = –tx.

3.1.8.5. Одним из решений уравнения

x′ = tx + cos t – t(cos t + sin t)

является функция x = tcos t. Найдите общее решение этого уравнения.

3.1.9. Задачи

3.1.9.1. Пусть x = φ(t) — решение задачи Коши для (ЛС) с начальным условием x(t₀) = x₀, а φ_k — последовательные приближения, начинающиеся с функции φ₀. Покажите, что

||φk(t) – φ(t)|| ≤ ||A(t)|| k[t0, t]·|t – t0|k k! ||φ1 – φ0||[t0, t]· exp(||A(t)||[t0, t]·|t – t0|)

(определение ||A(t)||[t0, t] см. формулу (3) в § 2.4).

3.1.9.2. Найдите какой-нибудь базис в пространстве решений системы

x′1= x2,    x′2= –x1.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 5 Jan 2002, 18:36.
Last modified 14 Apr 2002.