§ О34. Приближенные методы решения краевых задач

Ниже мы будем рассматривать простейшую краевую задачу, а именно, первую краевую задачу для скалярного дифференциального уравнения второго порядка

x′′ = f(t, x, x′),    t ∈ [0, T],

(1)

x(0) = x0,    x(T) = x1;

(2)

здесь, как обычно, f: [0, T]×R×R → R — непрерывная функция.

Основные методы приближенного решения краевых задач можно разбить на три большие группы.

Первую группу составляют так называемые методы стрельбы. В идейном плане эти методы аналогичны методу стрельбы доказательства разрешимости краевых задач. Для приближенного нахождения решения краевой задачи (1) – (2) рассматривается вспомогательная задача Коши, например, такая:

x′′ = f(t, x, x′),    t ∈ [0, T],

(3)

x(0) = x0,    x′(0) = α,

(4)

в которой α — подлежащий определению параметр. Предположим мы можем при каждом α указать решение x(t, α) задачи (3) – (4). Тогда, решив относительно α уравнение

x(T, α) = x1,

(5)

мы найдем искомое решение x(t, α₀), где α₀ — решение уравнения (5). В общем случае, разумеется, функцию x(t, α) обозримой формулой указать нельзя. Поэтому для решения задачи Коши (3) – (4) используют один из приближенных методов. Уравнение (5)тоже решают каким-либо приближенным численным методом, например, в скалярном случае методом деления отрезка пополам. В общем случае используют итерационный метод Ньютона, метод секущих и т. п. (см. любой курс методов вычислений). Таким образом, приближенное решение краевой задачи (1) – (2) свелось к приближенному решению задачи Коши (3) – (4) и приближенному решению уравнения (5).

В случае линейных краевых задач метод стрельбы часто удается свести к решению относительно малого числа задач Коши. Эта возможность вызвана простой (линейной) структурой множества решений линейных дифференциальных уравнений. Поясним это на примере следующей краевой задачи:

x′′ + a1(t)x′ + a0(t)x = φ(t),    t ∈ [0, T],

(6)

c0x(0) + c1x′(0) = 0,

(7)

d0x(T) + d1x′(T) = 0,

(8)

Пусть x₁ — решение задачи Коши для неоднородного уравнения (6), определяемой начальными условиями

x(0) = –c1,    x′(0) = c0,

(9)

а x₂ — решение выделяемой этими же начальными условиями задачи Коши для соответствующего однородного уравнения. Очевидно функция x(t, α) = x₁(t) + αx₂(t) является решением уравнения (6) и, в силу (9), удовлетворяет первому краевому условию (7). Остается теперь подобрать α так, чтобы в точке t = T выполнялось второе краевое условие:

α =   d0x1(T) + d1x′1(T) d0x1(T) + d1x′2(T) .

Основным недостатком методов стрельбы является следующее обстоятельство: если исходное уравнение содержит быстро растущие решения, например, типа eλt с λ >> 1, то вычисление функции α → x(T, α), необходимой для решения уравнения (5), происходит с большой потерей точности (ошибка тоже нарастает как eλt), что ведет к потере точности и в решении уравнения (5). Не спасает здесь и замена начальной точки t = 0 в задаче (3) – (4) на точку t = T, поскольку уравнение (1) может одновременно иметь как решения, растущие как eλ1t (λ1 >> 1), так и решения, убывающие как eλ2t (λ2 << –1) (т. е. растущие влево с большой экспоненциальной скоростью).

Задача О34.1. Продемонстрируйте последнее утверждение на примере краевой задачи

x′′ = 106x,    t ∈ [0,1];    x(0) = 1, x(1) = 1.

Вторую группу составляют конечно-разностные или сеточные методы приближенного решения краевых задач. Так же, как и в случае задачи Коши, краевая задача сводится к разностной схеме

Fτ(y) = 0,

(10)

решением которой является сеточная функция y_τ — приближенное решение краевой задачи. Так же, как и в предыдущем очерке, вводятся понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностной схемы. И, наконец, наиболее распространенный способ доказательства сходимости разностной схемы дает та же теорема Лакса о сходимости разностной схемы.

Мы рассмотрим в качестве иллюстрации простейшую линейную краевую задачу

x′′ + a0(t)x = φ(t),    t ∈ [0, T],

(11)

x(0) = x0,    x(T) = x1;

(12)

и простейшую разностную схему ее решения. При этом мы будем предполагать, что a₀(t) < 0 при всех t. Пусть M_τ — равномерная сетка на [0, T]: M_τ = {t_i = iτ: i = 0, ..., k} (будем считать, не ограничивая общности, что t_k = T). Рассмотрим следующую разностную схему

{ yi+1 – 2yi + yi – 1 τ2  + a0(ti) yi – φ(ti),    i = 1, ..., k – 1 yi – x0,    если i = 0 yi – x1,    если i = k } = 0,

(13)

Очевидно, y₀ = x₀, y_k = x₁. Исключая из (13) неизвестные y₀ и y₁, после очевидных преобразований и обозначений получим следующую линейную систему уравнений относительно y₁, ..., y_k–1:

Ay = ⌈ | | | | | | | | | | | ⌊ λ1 1 0 0 ... 0 0 0 1 λ2 1 0 ... 0 0 0 0 1 λ3 1 ... 0 0 0 0 0 1 λ4 ... 0 0 0 : : : : ··· : : : 0 0 0 0 ... λk–3 1 0 0 0 0 0 ... 1 λk–2 1 0 0 0 0 ... 0 1 λk–1 ⌉ | | | | | | | | | | | ⌋ ⌈ | | | | | | | | | | | ⌊ y1 y2 y3 : yk–2 yk–1 ⌉ | | | | | | | | | | | ⌋   =   ⌈ | | | | | | | | | | | ⌊ φ1 φ2 φ3 : φk–2 φk–1 ⌉ | | | | | | | | | | | ⌋ = 0.

(14)

в которой λ_i = τ²a₀(t_i ) – 2.

Задача О34.2. Проведите указанные преобразования.

Матрица A имеет специальную структуру — она трехдиагональна, т. е. лишь на главной и двух соседних ее диагоналях стоят ненулевые элементы. Кроме того, λ_i = τ²a₀(t_i) – 2 < –2. Такая структура матрицы позволяет модифицировать стандартный алгоритм Гаусса решения линейных систем алгебраических уравнений (требующий, как известно, O(k³) арифметических операций). Описываемая ниже модификация метода исключения называется методом прогонки и требует O(k) операций.

Введем неизвестные ξ_i и η_i (i = 1, ..., k – 1) (они называются прогоночными коэффициентами) и потребуем, чтобы они удовлетворяли уравнениям

yi–1 = ξiyi + ηi.

(15)

Выразим, пользуясь (15), y_i–1 и y_i через y_i+1 и подставим получившиеся выражения в i-ое уравнение системы (14). После несложных преобразований получим

[(ξi + λi)ξi+1 + 1]yi+1 + [(ξi + λi)ηi+1 + ηi] = αi.

Последнее равенство будет выполнено, например, если будут выполнены равенства

ξi+1 = – 1 ξi + λi ,   ηi = αi – ηi ξi + λi .

(16)

Алгоритм прогонки выглядит так. Положим ξ₁ = 0, η₁ = y₀. Пользуясь соотношениями (16) рекуррентно вычислим прогоночные коэффициенты ξ_i и η_i (i = 2, ..., k – 1) (этот этап называется прямой прогонкой). Подставляя (15) при i = k – 1 в последнее уравнение системы (14), находим y_k–1 = (α_k–2 – η_k–2) · (ξ_k–1 + λ_k–1)^–1 и, наконец, пользуясь (15), рекуррентно находим y_k–2, ..., y₁ (обратная прогонка).

Задача О34.3. Индукцией по i покажите, что x_i ∈ [0,1) и поэтому все знаменатели в алгоритме прогонки отличны от нуля (напомним, что λ_i < –2).

Задача О34.4. Восстановите все детали алгоритма и его обоснования.

Таким образом, разностная схема (13) всегда разрешима.

Задача О34.5. Докажите, что если функции a₀ и φ в (11) дважды непрерывно дифференцируема на [0, T], то схема (13) имеет второй порядок аппроксимации на решении.

Задача О34.6. Покажите, что схема (13) устойчива.

Поэтому в силу теоремы о сходимости разностной схемы схема (13) сходится со вторым порядком точности.

Следует отметить, что повышение порядка аппроксимации разностной схемы приводит, с одной стороны, к увеличению шага сетки, необходимого для достижения заданной точности, т. е. к уменьшению числа узлов сетки и, следовательно, размеров матрицы A, а, с другой стороны, — к усложнению матрицы A — она становится более заполненной и, как следствие, процедура нахождения решения разностной схемы с ростом порядка аппроксимации усложняется. Поэтому в каждом конкретном случае очень внимательно относиться к задаче выбора подходящей разностной схемы.

В случае общей нелинейной задачи (1) – (2) разностные схемы представляют собой нелинейную систему алгебраических уравнений. Их решают каким-либо приближенным методом. Или, чаще, нелинейную краевую задачу сводят так называемым итерационным методом Ньютона (или каким-либо другим) к последовательности линейных краевых задач. Суть этого метода такова. Выбрав удовлетворяющее краевым условиям (2) начальное приближение x₀ решения, определим последовательность {x_k} приближенных решений задачи (1) – (2) рекуррентным соотношением

xk+1 = xk + yk,

где y_k — решение линейной краевой задачи

y′′ = a1(t)y′ + a0y + φ(t),

(17)

y(0) = 0,   y(T) = 0.

(18)

В ней

a1(t) =  ∂f(t, x, y) ∂y | x = xk(t), y = xk′(t) ,

a0(t) =  ∂f(t, x, y) ∂x | x = xk(t), y = xk′(t) ,

φ(t) = f[t, xk(t), x′k(t)]– x′′k(t).

Уравнение (17) получается подстановкой функции x = xk + y в уравнение (1) и отбрасыванием в равенстве f(t, x, x′) = f[t, xk(t), x′k(t)]+ a0(t)y + a1(t)y′ + O(|y|2 + |y′|2) остаточного члена. Линейную краевую задачу (17) – (18) решают каким-либо приближенным методом или, если удается, аналитически. При достаточно общих предположениях последовательность {xk} сходится к точному решению задачи (1) – (2) со скоростью геометрической прогрессии.

И, наконец, третью группу приближенных методов решения краевых задач образуют так называемые методы разложения или проекционные методы. Их суть проста: неизвестную функцию раскладывают в функциональный ряд по выбранной из тех или иных соображений системе базисных функций Z = {zi}∞i=0:

x(t) = ∞ ∑ i = 0 αi zi(t).

(19)

Например, часто в качестве базисных функций берут степенные функции Z = {ti}∞i=0 или тригонометрические Z = {cos ix, sin ix}∞i=0. Приближенным решением задачи (1) – (2) считают конечную сумму ряда (19) xk(t) = ∑ki=0αizi(t), в которой коэффициенты αi подобраны так, чтобы функция xk была в том или ином смысле приближенным решением краевой задачи (1) – (2).

Например, в методе коллокаций α_i подбираются так, чтобы функция x_k удовлетворяла краевым условиям (2) (это дает два уравнения на α_i) и в k – 2 заранее выбранных фиксированных точках отрезка [0, T], называемых точками коллокации, удовлетворяла уравнению (1) (это дает еще k – 2 уравнения).

А в методе Галеркина эти k – 2 уравнения получают из следующих соображений. В пространстве функций, которому принадлежат решения краевой задачи, выбирают ортогональный базис и требуют, чтобы невязка x′′k(t) – f[t, xk(t), x′k(t)] была ортогональна первым k – 2 функциям базиса (если бы невязка была ортогональна всем элементам базиса, то она равнялась бы нулю, т. е. функция xk была бы точным решением задачи (1) – (2)).

Литературные указания. Приближенные методы решения краевых задач описаны во многих учебниках и монографиях по методам вычислений, напр., [Бахвалов, Годунов — Рябенький, Марчук, Самарский, Современные численные методы...].

Задачи. О34.7. Допустим решение x(t, α) в методе стрельбы для задачи (11) – (12) строится методом Эйлера, а уравнение (5) решается методом деления пополам с точностью Cτ. Предположим, что задача (11) – (12) однозначно разрешима при любой непрерывной функции φ. Исследуйте сходимость метода стрельбы в этих условиях.

О34.8. По аналогии с методом стрельбы для задачи (6) – (8) опишите метод стрельбы для краевой задачи, отвечающей уравнению

[p(t)x′]′ – q(t)x = φ(t),    t ∈ [0, T]

с краевыми условиями (7) – (8).

О34.9. Для краевой задачи

x′′ + a1(t)x′ + a0(t)x = φ(t),

x(0) = x0,    x(T) = x1

рассмотрим разностную схему

{ yi+1 – 2yi + yi – 1 τ2   + a1 yi+1 – yi 2τ   + a0(ti) yi – φ(ti),   если i = 1, ..., k yi – x0,   если i = 0 yi – x1,   если i = k } = 0.

(20)

Пусть a₀, a₁ и φ дважды непрерывно дифференцируемы. Покажите, что (20) аппроксимирует данную краевую задачу на решении со вторым порядком точности.

О34.10. Найдите решение разностной схемы (13) при a₀(t) ≡ a₀ = const, φ(t) ≡ 0. Исследуйте его поведение при τ → 0. Сравните с решением соответствующей дифференциальной задачи.

О34.11. Аналогичные вопросы для схемы (20) (в предположении постоянства коэффициентов).

О34.12. Взяв в качестве базисных функций набор {sin(πit/T)}∞i=1, а в качестве точек коллокации точки {iτ}ki=1 (τ = T/(k+1)), выпишите уравнения метода коллокации для задачи (11) – (12) с однородными граничными условиями (x0 = x1 = 0).

О34.13. Исследуйте разрешимость полученной системы уравнений (для простоты, на первом этапе можно считать, что a₀(t) ≡ a₀ = const, а k = 2 или k = 3).

О34.14. Аналогичные задачам О34.12 и О34.13 вопросы в случае, когда {zi}∞i=1= {ti(T – t)}∞i=1.

О34.15. Пусть {zi}∞i=1= {sin(2πit/T)}∞i=1. Рассмотрим метод Галеркина для краевой задачи (11) – (12) с однородными краевыми условиями. Под ортогональностью функций φ и ψ будем понимать равенство нулю скалярного произведения (x, y) = ∫0Tφ(s)ψ(s) ds. Выпишите уравнения на коэффициенты αi метода Галеркина.

О34.16. Исследуйте разрешимость полученной системы уравнений.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 25 Mar 2000, 18:07.
Last modified 3 May 2002.