§ О21. Теория характеристических показателей Ляпунова

Как мы знаем, система автономных линейных уравнений

x′ = Ax

(1)

имеет фундаментальную систему решений вида

φ(t) = tkeλtx0,

где λ (= α + iβ) — собственные значения матрицы A. Заметим теперь, что

lim t→+∞ 1 t ln||φ(t)|| = lim t→+∞ 1 t ln||tkeαt(cos βt + isin βt)x0|| =

= lim t→+∞ [ ln(||x0||tk) t + ln eαt t ] = α = Tr λ.

Таким образом, вещественные части точек спектра матрицы A можно описать в терминах верхних пределов вида

lim t→+∞ 1 t ln||φ(t)||,

где φ — решение системы (1). Далее, известно, что если вещественные части собственных значений матрицы A отрицательны, то система (1) асимптотически устойчива. Оказывается, для линейных однородных систем с переменными (непрерывными) коэффициентами

x′ = A(t)x

(2)

можно определить набор чисел, похожий по своим свойствам на набор вещественных частей собственных значений матрицы A в уравнении (1). Описанию этой принадлежащей А.М. Ляпунову конструкции и посвящен данный очерк.

Пусть φ: [t₀, ∞) → Rⁿ. Характеристическим показателем Ляпунова χ(φ) функции φ называется (конечный или бесконечный) верхний предел

lim t→+∞ 1 t ln||φ(t)||,

(здесь мы полагаем ln 0 = –∞).

Задача О21.1. Покажите, что: 1) χ(cφ) = χ(φ) (c — отличная от нуля константа); 2) χ(φ + ψ) ≤ max{χ(φ), χ(ψ)}, 3) χ(φ·ψ) ≤ χ(φ) + χ(ψ).

Задача О21.2. Покажите, что если χ(φ) = α, то для любого ε > 0, во-первых, ||φ(t)|| ≤ e^(α+ε)t при достаточно больших t и, во-вторых, существует последовательность t_k→ + ∞ такая, что ||φ(t_k)|| ≥ e^(α–ε)t.

Таким образом, характеристический показатель Ляпунова функции φ есть результат сравнения скорости роста φ при t → +∞ с экспонентой e^αt.

Теорема Ляпунова о характеристических показателях. Если матрица A(t) ограничена:

||A(t)|| ≤ c (t ∈ R),

то все решения системы (2), кроме нулевого, имеют конечные характеристические показатели.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть φ — решение системы (2) и t₀ ∈ R, x₀ = φ(t₀) ≠ 0. Тогда

D* ||φ(t)|| ≤ ||φ′(t)|| = ||A(t)φ(t)|| ≤ ||A(t)||·||φ(t)|| ≤ c·||φ(t)||

(здесь D^* — правое верхнее производное число Дини (см., в частности, задачу О2.4). Поэтому в силу теоремы о нестрогих дифференциальных неравенствах с производными числами

||φ(t)|| ≤ ||x0||ect.

(3)

Далее, как легко видеть,

D* ||φ(t)|| ≥ –||φ(t)||

(ср. с упомянутой выше задачей) и, следовательно,

D* ||φ(t)|| ≥ –||A(t)||·||φ(t)|| ≥ –c||φ(t)||.

В силу той же теоремы

||φ(t)|| ≥ ||x0||e –ct.

(4)

Из неравенств (3) и (4) тривиально следуют нужные нам неравенства

χ(φ) ≤ c.

Заметим теперь, что если произвольные функции φ1, ..., φn имеют различные (конечные) характеристические показатели, то они линейно независимы. Действительно (см. задачу О21.1), любая линейная комбинация φ(t) = ∑nk=1ckφk(t) имеет характеристический показатель, равный максимальному из χ(ckφk). Поэтому, если хотя бы одна из констант ck отлична от нуля, то характеристический показатель функции φ конечен и, следовательно, φ(t) ≠ 0.

Так как система (2) не может иметь более n линейно независимых решений, то множество характеристических показателей всех ненулевых решений системы (2) состоит не более, чем из n различных чисел (докажите!) Это множество называется спектром характеристических показателей системы (2).

Задача О21.3. Покажите, что спектр автономной системы (1) совпадает со множеством вещественных частей точек спектра матрицы A.

Теперь мы хотим приписать каждой точке спектра (характеристических показателей) системы (2) натуральное число, аналогичное кратности точек спектра матрицы A. Попытка назвать кратностью характеристического показателя α количество решений в некоторой произвольной фундаментальной системе, имеющих характеристический показатель α, не приводит к успеху, поскольку "большинство" фундаментальных систем решений уравнения (2) состоит из решений с максимальным характеристическим показателем (здесь мы не придаем точного смысла слову "большинство", хотя это и можно сделать). Действительно, если φ₁, ..., φ_n — фундаментальная система решений уравнения (2), а φ₁ — решение в этой системе с максимальным характеристическим показателем (пусть, для простоты, оно в наборе φ₁, ..., φ_n одно), то, как легко видеть, система решений φ₁, φ₂ + φ₁, ..., φ_n + φ₁, во-первых, фундаментальна и, во-вторых, χ(φ_k + φ₁) = χ(φ₁) = α.

Поэтому мы выделим специальные фундаментальные системы решений, в которых, грубо говоря, характеристические показатели наименьшие. Точнее, фундаментальную систему решений уравнения (2) будем называть нормальной по Ляпунову, если сумма характеристических показателей этой системы минимальна среди всех таких сумм, отвечающих всевозможным фундаментальным системам решений уравнения (2). Кратностью r_α характеристического показателя α уравнения (2) назовем число решений, характеристический показатель которых равен α, в некоторой нормальной по Ляпунову фундаментальной системе решений. В последующих задачах указывается план доказательства корректности этого определения (т. е. независимости r_α от выбора нормальной фундаментальной системы).

Задача О21.4. Пусть α — вещественное число, а E_α — множество решений системы (2), характеристические показатели которых не превосходят α. Докажите, что E_α — линейное пространство.

Задача О21.5. Пусть α1 < α2 < ... < αk (k ≤ n) — спектр характеристических показателей системы (2) и пусть pi — максимальное число линейно независимых решений системы (2), характеристические показатели которых не превосходят αi. Докажите, что αi = dim Eαi.

Задача О21.6. Покажите, что в обозначениях предыдущих задач кратность rk характеристического показателя αk равна pk – pk–1 = dim Eαk – dim Eαk–1 (здесь мы полагаем p0 = 0, Eα0 = {0}).

Очевиден следующий

Признак асимптотической устойчивости в терминах характеристических показателей. Если все характеристические показатели системы (2) отрицательны, то она асимптотически устойчива.

Поэтому весьма полезными являются различные признаки отрицательности характеристических показателей, формулируемые в терминах коэффициентов матрицы A(t). Один из таких признаков вытекает из следующего утверждения (называемого неравенствами Важевского). Пусть S(t) = ¹/₂[A(t) + A^*(t)] — симметризация матрицы A(t) (здесь A^*(t) обозначает сопряженную к A(t) матрицу). Тогда, как известно, при любом t все собственные значения матрицы S(t) вещественны. Пусть λ(t) — наименьшее, а Λ(t) — наибольшее собственные значения этой матрицы. Тогда для любого решения x системы (2) выполнены неравенства

||x(t0)||exp ( ∫ t t0 λ(s) ds ) ≤ ||x(t)|| ≤ ||x(t0)||exp ( ∫ t t0 Λ(s) ds )

и, следовательно, характеристические показатели системы (2) лежат в отрезке [limt→∞t–1∫tt0λ(s) ds, lim t→∞t–1∫tt0Λ(s) ds].

Для  д о к а з а т е л ь с т в а  достаточно заметить, что если x — решение системы (2), то

d dt ||x(t)||2 =  d dt (x(t), x(t)) = (x′(t), x(t)) + (x(t), x′(t)) =

= (A(t)x(t), x(t)) + (x(t), A(t)x(t)) = (x(t), A*(t)x(t)) +

+(x(t), A(t)x(t)) = 2(x(t), S(t)x(t)).

Поэтому (см. курс алгебры)

2λ(t)||x(t)||2 ≤ d dt ||x(t)||2 ≤ 2Λ(t)||x(t)||2.

Неравенства Важевского следуют теперь в силу теоремы о нестрогих дифференциальных неравенствах из последних неравенств.

Полным спектром характеристических показателей системы (2) называется ее спектр, в котором каждый характеристический показатель встречается столько раз, какова его кратность. Сумму точек полного спектра будем обозначать через σ. Оказывается

σ ≥ lim t→+∞ 1 t ∫ t 0 Tr A(s) ds

(здесь Tr A(s) — след матрицы A(s), т. е. сумма ее диагональных элементов). Это неравенство называется неравенством Ляпунова.

Задача О21.7. Докажите неравенство Ляпунова в случае автономной системы.

Если

σ = lim t→+∞ 1 t ∫ t 0 Tr A(s) ds

то система (2) называется правильной по Ляпунову.

Задача О21.8. Докажите, что: а) системы с постоянными коэффициентами правильны; б) системы с периодическими коэффициентами правильны.

Значение понятия правильных по Ляпунову систем дифференциальных уравнений определяется тем фактом, что для нелинейных систем с правильной по Ляпунову линейной частью имеет место (ср. с теоремой 4.4.2)

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Пусть φ — решение системы

x′ = f(t, x),

(5)

определенное на [t₀, ∞). Пусть уравнение (5) допускает линеаризацию вдоль решения φ, т. е. правая часть уравнения представима в виде

f(t, x) = f[t, φ(t)] + A(t)[x – φ(t)] + g[t, x – φ(t)],

где A(t) — n×n-матрица с непрерывными коэффициентами, а g: R×Rⁿ → Rⁿ — непрерывная функция такая, что

g(t, y) ||y|| → 0 при y → 0

равномерно по t. Тогда, если система первого приближения

x′ = A(t)x

правильна по Ляпунову и ее спектр (характеристических показателей) отрицателен, то решение φ уравнения (5) асимптотически устойчиво.

Доказательство этой теоремы мы опускаем, отсылая читателя к специальной литературе.

Литературные указания. Оригинальные результаты А.М. Ляпунова см. в [Ляпунов, Ляпунов, Ляпунов]. Подробное изложение результатов см. в [Былов — Виноград — Гробман, — Немыцкий, Демидович, Немыцкий — Степанов, Четаев]. Теория характеристических показателей для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве описана в [Далецкий — Крейн].

Задачи. О21.9. Покажите, что если f(t) = ∫t0tφ(s) ds, то χ(f) ≤ χ(φ), а если f(t) = ∫t0tφ(s)ψ(s) ds, то χ(f) ≤ χ(φ) + χ(ψ).

О21.10. Докажите, что наибольший характеристический показатель системы (2) не превосходит limt→∞ 1/tln||g0t||, где g0t— оператор сдвига по траекториям этой системы.

О21.11. Докажите, что если выполнены условия теоремы Коши — Пикара и, кроме того, при достаточно больших t

1 t ∫ t 0 L(s) ds ≤ c < ∞,

то χ(φ) < ∞ для любого решения φ уравнения x′ = f(t,x).

О21.12. Докажите, что теорема Ляпунова о характеристических показателях остается верной, если условие равномерной ограниченности матрицы A(t) заменить на более слабое условие интегральной ограниченности:

1 t ∫ t t0 A(s) ds ≤ c < ∞,

при некотором t₀ и всех t ≥ t₀.

О21.13. Приведите пример (нелинейного) дифференциального уравнения, спектр характеристических показателей которого состоят из: а) всех вещественных чисел; б) всех точек отрезка [0, 1].

О21.14. Пусть матрица A(t) в системе (2) T-периодична: A(t + T) ≡ A(t), а gT0— оператор сдвига за период по траекториям этой системы. Докажите, что спектр характеристических показателей системы (2) в этом случае состоят из чисел αi = 1/Tln|λi|, где λi — собственные значения оператора gT0.

О21.15. Генеральным показателем (Боля) κ(φ) функции φ: R → Rⁿ называется число

lim t–s → ∞ ln||x(t)|| – ln||x(s)|| t – s .

Докажите, что: а) κ(φ) есть инфимум тех α, для которых найдутся M такие, что

||φ(t)|| ≤ M · eα(t – s)||φ(s)||

при всех s ≤ t; б) χ(φ) ≤ κ(φ); в) если матрица A(t) в уравнении (2) равномерно ограничена, то любое его ненулевое решение имеет конечный генеральный показатель.

О21.16. Докажите, что наибольший генеральный показатель системы (1) с постоянными коэффициентами совпадает с максимумом вещественных частей частей точек спектра матрицы A.

О21.17. Докажите, что если {α₁, ..., α_n} — спектр характеристических показателей системы (2), то {α₁ + Tr λ, ..., α_n + Tr λ} — спектр характеристических показателей системы x′ = A(t)x + λx (λ ∈ C).

О21.18. Приведите пример линейного скалярного экспоненциально устойчивого уравнения, решения которого имеют положительный генеральный показатель (характеристический показатель решений этого уравнения будет, естественно, отрицательным).

О21.19. Пусть вещественные части собственных значений матрицы A отрицательны, а непрерывная матрица B(t) такова, что

lim t → ∞ 1 t ∫ t 0 ||B(s|| ds = 0.

Докажите, что характеристические показатели системы

x′ = Ax + B(t)x

отрицательны.

О21.20. Докажите, что если в уравнении (1) матрица A жорданова, то e^tA — нормальная по Ляпунову фундаментальная матрица.

О21.21. Пусть α₁ ≤ ... ≤ α_n — полный спектр уравнения (2), а φ₁, ..., φ_n — произвольная фундаментальная система этого уравнения. Докажите, что α_k ≤ χ(φ_k) (k = 1, ..., n).

О21.22. Говорят, что конечный набор функций на R обладает свойством несжимаемости, если характеристический показатель любой их линейной комбинации равен наибольшему из характеристических показателей функций, входящих в эту линейную комбинацию с ненулевым коэффициентом. Докажите, что фундаментальная система решений уравнения (2) является нормальной по Ляпунову в том и только том случае, если она обладает свойством несжимаемости (теорема Ляпунова).

О21.23. Пусть для фундаментальной системы решений φ₁, ..., φ_n уравнения (2) имеет место равенство

lim t→∞ 1 t ∫ t 0 Tr A(s) ds.

Докажите, что система φ₁, ..., φ_n нормальна.

О21.24. Пусть Φ(t) — произвольная фундаментальная матрица системы (2) с ограниченными непрерывными коэффициентами. Докажите, что найдется нижнетреугольная постоянная матрица C (т. е. матрица, в которой выше главной диагонали стоят нули) такая, что столбцы матрицы Φ(t)C образуют нормальную по Ляпунову фундаментальную систему (теорема Ляпунова).

О21.25. Пусть в условиях выполнения неравенств Важевского Λ(t) ≤ α < 0 при всех достаточно больших t. Покажите, что тогда система (2) асимптотически устойчива.

О21.26. Пусть W(t) — определитель Вронского фундаментальной системы решений уравнения (2). Докажите, что χ(W) ≤ σ, где σ — сумма характеристических показателей полного спектра этого уравнения.

О21.27. Пользуясь результатами предыдущей задачи и задачи 3.5.6.9 (формула Лиувилля — Остроградского), докажите неравенство Ляпунова.

О21.28. Приведите пример не правильной по Ляпунову системы дифференциальных уравнений.

О21.29. Пусть выполнены условия теоремы 4.4.2 об устойчивости по первому приближению и пусть вещественные части собственных значений матрицы A не превосходят α < 0. Докажите, что для любого ε > 0 найдется положительное число δ такое, что как только ||x₀ – φ(t₀)|| ≤ δ, то χ(ψ – φ) ≤ α + ε, где φ — решение, устойчивость которого рассматривается в теореме, а ψ — решение задачи Коши

x′ = f(t, x),    x(t0) = x0.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 25 Feb 2000, 16:11.
Last modified 29 Apr 2002.