§ О22. Приводимость линейных систем

Теория приводимости линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений основывается на следующей простой, но эффективной идее А.М. Ляпунова. Рассмотрим систему

x′ = A(t)x

(1)

(в этом очерке предполагается, что A(t) — непрерывная равномерно ограниченная вещественная или комплексная матрица-функция). Идея такова: для изучения какого-либо свойства системы (1) предлагается сделать в ней замену переменных, во-первых, сохраняющую это свойство, и, во-вторых, приводящую систему (1) к более простому виду, для которого это свойство исследовать в той или иной мере проще.

Говорят, что система (1) приводима к системе

x′ = B(t)x,

(2)

если существует непрерывно дифференцируемая матрица-функция L(t), такая что

||L(t)|| ≤ M < ∞,   ||L–1(t)|| ≤ M < ∞

(3)

и замена переменных

x = L(t)y

(4)

переводит систему (1) в систему (2).

Задача О22.1. Покажите, что B(t) = L^–1(t)A(t)L(t) – L^–1(t)L′(t) (это соотношение называют кинематическим подобием матриц-функций A(t) и B(t)).

Матрица-функция L(t), удовлетворяющая условиям (3), называется преобразованием Ляпунова (сам А.М. Ляпунов дополнительно требовал равномерной ограниченности и ||L′(t)||, чтобы при таком преобразовании сохранялось свойство равномерной ограниченности коэффициентов уравнения).

Основные свойства, которые сохраняются при преобразовании (4), — это свойства устойчивости решений системы (1). Точнее, преобразование Ляпунова (4) сохраняет характеристические показатели решений. Действительно, если φ и ψ — решения систем (1) и (2), соответственно, связанные соотношением φ(t) = L(t)ψ(t), то ||φ(t)|| ≤ ||L(t)||·||ψ(t)||, а следовательно,

χ(φ) ≤ χ(L) + χ(ψ) = χ(ψ).

Аналогично, поскольку ψ(t) = L^–1(t)φ(t),

χ(ψ) ≤ χ(φ),

что и требовалось.

Задача О22.2. Докажите, что приводимые друг к другу системы одновременно устойчивы по Ляпунову, экспоненциально устойчивы.

Задача О22.3. Докажите, что преобразование Ляпунова переводит нормальную по Ляпунову систему решений в нормальную.

Наиболее полно изученными являются автономные линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому важны признаки приводимости линейных систем к системам с постоянными коэффициентами. Простейший результат в этом направлении представляет

Теорема Еругина. Для того, чтобы система (1) была приводима к системе с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы некоторая ее фундаментальная матрица была представима в виде

Φ(t) = L(t)eBt,

(5)

где L(t) — преобразование Ляпунова, а B — постоянная матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о  необходимости очевидно: если система (1) приводима преобразованием L(t) к автономной системе

y′ = By,

(6)

то матрица-функция (5) с этими L(t) и B является фундаментальной матрицей системы (1). Для доказательства достаточности нужно заметить, что если Φ(t) = L(t)e^Bt есть фундаментальная матрица системы (1), то преобразование Ляпунова L(t) приводит систему (1) к системе (6).

Задача О22.4. Докажите.

Разумеется, эффективность этой теоремы невелика; она представляет собой, по существу, переформулировку определения приводимости, а именно, сводит задачу о приводимости системы (1) к системе с постоянными коэффициентами к задаче о поиске такой фундаментальной матрицы Φ(t) и такой постоянной матрицы B, что функция Φ(t)e^–Bt является преобразованием Ляпунова, т. е. ограничена вместе с обратной.

Для линейных систем с периодическими коэффициентами представление (5) всегда выполнено. Точнее, имеет место следующая

Теорема Флоке. Если в системе (1) матрица-функция A(t) периодична: A(t + T) ≡ A(t), то любая ее фундаментальная матрица Φ(t) имеет вид Φ(t) = Ψ(t)e^Bt, где B — постоянная, а Ψ(t) — непрерывно дифференцируемая невырожденная T-периодическая матрицы (вообще говоря, комплексные).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Итак, пусть Φ(t) — фундаментальная матрица системы (1) и пусть B — логарифм матрицы T^–1Φ(T) (см. курс алгебры, напр., Р. Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976), т. е. пусть

Φ(T) = eBT.

Положим

Ψ(t) = Φ(t)e–Bt

и докажем, что такие B и Ψ(t) искомые. Действительно, во-первых, Φ(t) = Ψ(t)e^Bt. Во-вторых,

Ψ(t + T) = Φ(t + T)e–B(t+T) =

= Φ(t)Φ(T)e–BTe–Bt = Φ(t)Ie–Bt = Ψ(t).

Невырожденность и непрерывная дифференцируемость Ψ(t) очевидны. Теорема доказана.

Из теорем Еругина и Флоке вытекает

Теорема Ляпунова о приводимости. Любая система (1) с периодической матрицей A(t) приводима к системе с постоянными коэффициентами.

Задача О22.5. Докажите теорему Ляпунова.

Приводимые к системам с постоянными коэффициентами системы хороши, в частности, тем, что они правильны по Ляпунову и, следовательно, к дифференциальным уравнениям с такими линейными частями применима теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. План доказательства этого принадлежащего А.М. Ляпунову утверждения таков. Пусть система (1) приводится к системе (6) преобразованием Ляпунова L(t). Пусть Φ(t) — нормальная по Ляпунову фундаментальная матрица системы (1). Тогда Φ(t) = L(t)e^Bt, а поэтому det Φ(t) = det L(t)·det e^Bt.

Задача О22.6. Применяя формулу Лиувилля — Остроградского, докажите, что

1 t ∫ t 0 Re Tr A(s) ds = C t ln|det L(t)| + Re Tr B   (C — константа),

и следовательно, что

lim t→∞ ∫ t 0 Re Tr A(s) ds = Re Tr B.

Пусть теперь σ и σ_B — суммы точек полных спектров характеристических показателей систем (1) и (6), соответственно. В силу задачи О21.8а, σ_B = Re Tr B, а поскольку отношение приводимости сохраняет характеристические показатели, σ_A = σ_B. Таким образом,

σA = lim t→∞ ∫ t 0 Re Tr A(s) ds,

что и требовалось доказать.

Другой более подробно изученный подкласс линейных систем составляют так называемые треугольные системы, т. е. системы (1), в которых матрица коэффициентов A(t) треугольная. Основная преимущество треугольных систем объясняется тем, что они интегрируются в замкнутой форме. С другой стороны, как оказывается, любая линейная система может быть приведена к треугольной. Точнее, имеет место

Теорема Перрона. Любая линейная система уравнений приводится к треугольной системе с вещественными коэффициентами на диагонали. Более того, осуществляющее это приведение преобразование Ляпунова является ортогональным, т. е. L^* (t) = L^–1(t).

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашей книги. Основная же его идея состоит в применении к фундаментальной матрице известного процесса ортогонализации Грамма — Шмидта.

Ряд полезных преобразований Ляпунова описывается в приведенных ниже задачах.

Литературные указания. Подробное изложение результатов см. в [Былов — Виноград, — Гробман, — Немыцкий, Демидович, Коддингтон — Левинсон, Немыцкий — Степанов]. См. также книги А.М. Ляпунова [Ляпунов, Ляпунов, Ляпунов].

Задачи. О22.7. Докажите, что задача о нахождении преобразования Ляпунова, приводящего систему (1) к системе (2), эквивалентна задаче о нахождении решения L(t) матричного уравнения

L′ = A(t)L – LB(t),

(7)

удовлетворяющего условиям (4).

О22.8. Докажите, что общее решение уравнения (7) с постоянными матрицами A и B имеет вид L(t) = e^AtCe^–Bt, где C — произвольная n×n-матрица.

О22.9. Пусть Φ(t) и Ψ(t) — нормальные в нуле фундаментальные матрицы решений системы (1) и системы y′ = –B(t)y, соответственно. Докажите, что общее решение уравнения (7) имеет вид L(t) = Φ(t)CΨ(t) (C — произвольная n×n-матрица).

О22.10. Докажите, что если система (1) с равномерно ограниченной матрицей A(t) приводима к диагональной системе с постоянными коэффициентами, то система

x′ = A(t)x + B(t)x

в которой матрица B(t) непрерывна и ∫0∞||B(s)|| ds < ∞, также приводима к системе с постоянными коэффициентами.

О22.11. Докажите, что уравнение x′ = x/√t (t ≥ t₀ > 0) правильно, но не приводимо к уравнению с постоянными коэффициентами.

О22.12. Пусть в системе (1) A(t) = Λ(t) + N(t), где Λ(t) — диагональная матрица, а N(t) — матрица с нулевой диагональю. Пусть, далее, Λ(t) = P(t) + iQ(t), где P(t) и Q(t) — вещественные диагональные матрицы (i — мнимая единица). Покажите, что преобразование

L(t) = exp [ i ∫ t 0 Q(s) ds ]

(его называют Re-преобразованием) приводит (1) к системе, диагональная часть матрицы коэффициентов которой есть P(t), т. е. Tr Λ(t).

О22.13. Пусть все решения системы (1) ограничены на R+ и ∫ 0tTr A(s) ds ≥ d > –∞ при всех t. Докажите, что система (1) приводима к системе с нулевой матрицей (используйте в качестве преобразования Ляпунова фундаментальную матрицу системы (1)).

О22.14. Пусть в системе (1) ∫∞0||F(s)|| ds < ∞. Докажите, что система (1) приводима к системе с нулевой матрицей.

О22.15. Пусть Φ(t) — нормальная по Ляпунову фундаментальная матрица системы (1), χ1, ..., χn — полный спектр характеристических показателей Ляпунова, σ = χ1 + ... + χn, а Λ = diag (χ1,..., χn). Пусть ||Φ(t)e–Λt|| ≤ a < ∞ и exp |tσ – ∫ t0Tr A(s)ds| ≤ a. Докажите, что преобразование L(t) = Φ(t)e–Λt приводит систему (1) к системе с постоянными коэффициентами.

О22.16. Пусть λ₁, ..., λ_n — мультипликаторы (собственные значения оператора сдвига за период) системы (1) с T-периодической матрицей A(t); χ₁, ..., χ_n — полный спектр характеристических показателей Ляпунова этой системы, а ρ₁, ..., ρ_n — собственные числа оператора B, фигурирующего в теореме Флоке (эти числа иногда называют характеристическими показателями периодической системы). Докажите, что при подходящей нумерации

χi = Tr λi,  а ρi = T–1Ln λi.

О22.17. Приведением фигурирующей в теореме Флоке матрицы B к жорданову виду докажите, что для любого характеристического показателя ρ системы (1) с T-периодической матрицей A(t) существует решение вида φ(t) = ψ(t)e^ρt, где ψ(t) — T-периодическая функция.

О22.18. Система (1) называется почти приводимой к системе (2), если для любого ε > 0 найдется преобразование Ляпунова L_ε(t), приводящее систему (1) в системе вида

y′ = B(t)y + C(t)y,

в которой ||C(t)|| ≤ ε. Докажите, что отношение почти приводимости есть отношение эквивалентности на множестве линейных систем дифференциальных уравнений.

О22.19. Покажите, что любая треугольная система почти приводима к диагональной (в качестве преобразования Ляпунова возьмите матрицу L(t) = diag (1, β, β², ..., β^{n – 1}); это преобразование называют иногда β-преобразованием).

О22.20. Докажите, что любая система почти приводима к диагональной.

О22.21. Докажите, что если система (1) приводима к системе (2) и допускает экспоненциальную дихотомию, то система (2) также допускает экспоненциальную дихотомию.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 26 Feb 2000, 18:13.
Last modified 29 Apr 2002.