§ О18. Нормальные формы Пуанкаре

В этом очерке описываются основы теории нормальных форм Пуанкаре. Теория возникла в результате реализации следующей естественной идеи: прежде чем исследовать дифференциальное уравнение, его следует привести к возможно более простому виду. Слова "возможно более простой вид" в контексте теории нормальных форм означают, что разложении правой части уравнения в ряд Тейлора в окрестности, скажем, положения равновесия отсутствует как можно большее число младших членов ряда. Эта теория оказывается эффективной, например, в проблеме центра — фокуса, теории бифуркаций и многих других разделах теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основной вопрос, на который отвечает теория нормальных форм выглядит так. Рассмотрим динамическую систему

x′ = f(x),

(1)

с нулевым состоянием равновесия: f: Rⁿ→Rⁿ, f(0) = 0. Допустим, что функция f разложима в окрестности нуля в ряд Тейлора, т. е.

f(x) = Ax + g(x),

где A — n×n-матрица, а g: Rⁿ→Rⁿ представляет собой ряд по степеням вектора x, содержащий члены порядка, большего единицы:

g(x) = n ∑ i = 1 gi(x)ei,

(2)

где

gi(x) =   ∑ | l | ≥ 2 al1...ln xl11· ... · xlnn,

{e_i} — базис в Rⁿ, l = (l₁, ..., l_n) ∈ Nⁿ — мультииндекс, а | l | = ∑ⁿ_i=1 l_i. Таким образом, динамическая система (1) записывается в виде

x′ = Ax + g(x).

(3)

Вопрос: при каких условиях заменой переменных

x = y + h(y),

(4)

где h также степенной ряд вида (2), содержащий члены порядка большего единицы, уравнение (3) можно привести к виду

y′ = Ay?

(5)

Ответ звучит примерно так. Если матрица A "нерезонансна", то такая замена переменных существует, в противном случае уравнение (3) может быть приведено к виду

y′ = Ay+r(y),

(6)

в котором разложение r в ряд по степеням y содержит только "резонансные" члены.

Прежде чем пояснять смысл последней фразы и, в частности, смысл терминов "резонансный" и "нерезонансный", разберем один простейший пример. Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение

x′ = λx + x2

и попытаемся найти замену переменных вида x = y + ay², которая "убьет" слагаемое x² в правой части уравнения. Поскольку, в силу замены,

x′ = y′ + 2ayy′ = (1 + 2ay)y′,

имеем

(1+2ay)y′ = λ(y + ay2) + (y + ay2)2 =

= λ(1 + 2ay)y+(1 – la)y2 + r~(y),

где r~(y)содержит члены третьего и более высоких порядков. Разделив получившееся уравнение на 1 + 2ay и разложив в последнем слагаемом множитель (1 + 2ay)–1 в ряд по степеням y, получим

y′ = λy + (1 – λa)y2(1 + 2ay)–1 + r≈(y),

где r≈(y)также содержит только члены порядка 3 и выше.

Если λ ≠ 0, то, выбрав в замене a равным λ^–1, получим в результате замены уравнение

y′ = λy + ≈ r (y).

Теперь заменой y = z + z3 можно уничтожить член третьего порядка в r≈(y)и т. д.

Задача О18.1. В предположении λ ≠ 0 избавьтесь в последнем уравнении от члена третьего порядка.

Перейдем к описанию основ теории нормальных форм. Начнем с терминологии и обозначений. В данном очерке нас совсем не будет интересовать сходимость степенных рядов, фигурирующих в правых частях рассматриваемых уравнений и замен переменных. По этому поводу мы отсылаем читателя к списку литературы. По существу, мы будем рассматривать не автономное дифференциальное уравнение (3) с правой частью Ax + g(x), а некий объект вида (3) (мы будем по-прежнему называть его дифференциальным уравнением), в котором g представляет собой формальный ряд Тейлора вида (2). Поскольку формальные ряды допускают те же действия, что и сходящиеся (сложение, умножение, дифференцирование, интегрирование, подстановку друг в друга), можно определять понятия (формальных) решений таких дифференциальных уравнений, замен переменных и пр.

Мы будем предполагать, что все собственные значения матрицы A различны (хотя, на самом деле, это не ограничительное предположение) и считать, что в Rⁿ фиксирован базис из собственных векторов матрицы A.

Векторным мономом (степени k) будем называть выражение вида (0, ..., 0, xl11,... xlnn,0, ..., 0), k = | l |, а векторным полиномом (многочленом) — линейную комбинацию произвольного (возможно, бесконечного) числа мономов. Порядком векторного многочлена назовем наименьшую(!) степень мономов, входящих в полином. Произвольный векторный полином порядка k, коэффициенты которого для нас несущественны, мы будем обозначать через pk(x).

Говорят, что матрица A резонансна, если при некотором j ∈ {1, ..., n} и l ∈ Nn таком, что li ≥ 0 при всех i ∈ {1, ..., n}, а | l | = ∑ ni=1li ≥ 2 выполнено соотношение

λj = (l, λ)   ( ≝ n ∑ i = 1 liλi ) .

(7)

В противном случае матрица A называется нерезонансной. Самó соотношение (7) называется резонансом, а число | l | — порядком данного резонанса.

Задача О18.2. Являются ли резонансами, и если являются, то какого порядка, следующие соотношения (λ₁, λ₂ ≠ 0):  а) λ₁ – 3λ₂ = 0; б) 2λ₁ – 3λ₂ = 0; в) 2λ₁ – 4λ₂ = 0; г) λ₁ – λ₂ = 0; д) λ₁ + λ₂ = 0? (Ответы: 3, нет, 2, нет, 3).

Задача О18.3. Приведите примеры матриц, имеющих конечное и бесконечное число резонансов.

Основное утверждение теории нормальных форм —

Теорема Пуанкаре. Если матрица A нерезонансна, то существует формальная замена переменных (4), приводящая систему (3) к виду (5).

Мы поясним лишь схему  д о к а з а т е л ь с т в а. Сначала выясним в какое уравнение переходит уравнение (5) при замене (4)? Оказывается, если в (4) h(x) = p_k(x) (k ≥ 2), то уравнение (5) после замены может быть записано в виде

x′ = Ax + [ ∂h(x) ∂x Ax – Ah(x) ] + pk+1(x).

(8)

Поэтому, если удастся подобрать замену (полином h) так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось равным членам k-го порядка в (3), то мы избавимся в (1) от членов порядка k. Последовательное уничтожение затем членов порядка k + 1, k + 2, ... доказывает теорему. Действительно, допустим для любого k ∈ N₊ нам удалось подобрать замену x = y + h(y) = y + h_k(y) (h_k — полином k-го порядка), "убивающую" члены k-го порядка. Тогда замена

x = Pk(y)  ≝  (I + h1) ... (I + hk)(y)

приводит уравнение (3) к виду

y′ = Ay + pk+1(y)

(напомним, что через p_k мы обозначаем полином k-го порядка, коэффициенты которого в текущем контексте несущественны).

Задача О18.4. Покажите, что члены полиномов P_k и P_k+1 степени k и ниже совпадают.

Поэтому в последовательности полиномов {Pk} мономы любого порядка, начиная с некоторого k, не меняются. Искомая формальная замена переменных получается в результате суперпозиции всех найденных замен и представляет собой формальный ряд ∏∞k=1(I + pk).

Докажем утверждение (8).

Задача О18.5. Покажите, что если x = y + h(y), где h(y) = p_k(y), то y = x – h(x) + p_k+1(x).

Дифференцируя замену (4) по t и учитывая (5) и утверждение последней задачи, имеем

x′ = y′ + ∂h ∂y y′ = ( I + ∂h ∂y ) Ay = ( I + ∂h ∂y ) A[x – h(x) + pk+1(x)] =

= Ax + [ ∂h ∂y Ax – Ah(x) ] + Apk+1(x) – ∂h ∂y Ah(x) + ∂h ∂y Apk+1(x) =

= Ax + [ ∂h ∂y Ax – Ah(x) ] + pk+1(x).

Таким образом, нам остается научиться находить для любого монома g(x) такое h, что

∂h ∂y Ax – Ah(x) = g(x).

(9)

Уравнение (9) называется гомологическим уравнением. Его можно рассматривать как линейное уравнение

LAh = g

на (линейном) пространстве всех формальных рядов вида (2) с линейным оператором

(LAh)(x) = ∂h ∂x Ax – Ah(x).

Покажем сначала, что если λ_j — некоторое собственное значение матрицы A, e_j — соответствующий собственный вектор, а λ = (λ₁, ..., λ_n), то для произвольного мультииндекса l ∈ Nⁿ число Λ = (l, λ) – λ_j является собственным значением оператора L_A с собственным вектором h(x) = x^le_j. В самом деле,

∂h ∂x = ⌈ | | | | | | | | | | | ⌊ 0 ··· 0 ··· 0 : ··· : ··· : l1 x1  xl  ··· lj xj  xl  ··· ln xn  xl  : ··· : ··· : 0 ··· 0 ··· 0 ⌉ | | | | | | | | | | | ⌋ ,

а

Ax = A ( n ∑ i = 1 xiei )  = n ∑ i = 1 xiλiei = n ∑ i = 1 xiλiei = (λ1x1, ..., λnxn).

Поэтому

∂h ∂x Ax = ( 0, ..., 0, n ∑ i = 1 li xi xlλixi, 0, ... , 0 ) =

= (0, ..., 0, (l, λ)xl, 0, ..., 0) = (l, λ)h(x).

Учитывая, что

Ah(x) = A(xlej) = xlAej = xlλjej = λjh(x),

получаем нужное соотношение

(LAh)(x) = [(l, λ) – λj]h(x) = Λ h(x).

Задача О18.6. Покажите, что множество {Λ = (l, λ) – λ_j: l ∈ Nⁿ, i = 1, ..., n} полностью исчерпывает спектр оператора L_A.

Из вышеизложенного теперь следует, что если матрица A нерезонансна, то оператор L_A не имеет нулевых собственных значений и, следовательно, обратим на пространстве формальных степенных рядов.

Задача О18.7. Покажите, что если матрица A имеет кратные собственные значения, то соответствующие собственные числа оператора L_A также являются кратными.

Таким образом, если матрица A нерезонансная, то существует (формальная) замена переменных, приводящая уравнение (3) к его линейной части (5).

Опишем теперь кратко, что происходит в резонансном случае. Пусть λ_j = (l, λ) — резонанс матрицы A порядка k = | l |. Моном x^le_j (мы, по-прежнему, обозначаем через {e_i} базис собственных векторов матрицы A) называется резонансным (соответствующим данному резонансу).

Задача О18.8. Найдите все резонансные мономы для резонансов задачи О18.2.

Основное утверждение теории нормальных форм в резонансном случае —

Теорема Пуанкаре — Дюлака. Уравнение (3) заменой (4) может быть приведено к виду (6), в котором r содержит только резонансные мономы.

Схема ее доказательства приводится в задачах в конце очерка.

Литературные указания. Теория нормальных форм не включается в традиционные учебники по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Подробное изложение теории можно найти, напр., в книгах [Арнольд, Брюно] (наш очерк во многом следует первой из них).

Задачи. О18.9. Приведите уравнение x′ = x + x² + x³ к виду y′ = y + p₄(y).

О18.10. Приведите уравнение x′ = x + x² к виду y′ = y. Докажите, что получившаяся замена переменных задается сходящимся рядом.

О18.11. С помощью замены уничтожьте в системе уравнений

x′1= x1+x22,    x2′ = x2√2

члены второго порядка.

О18.12. Та же задача для системы уравнений

x′1= x1 + x2 + x12,    x′2= –x1 + x2.

В следующих шести задачах излагается план доказательства теоремы Пуанкаре — Дюлака.

О18.13. Пусть моном x^le_j не является резонансным для матрицы A. Покажите, что гомологическое уравнение (L_Ah)(x) = x^le_j разрешимо.

О18.14. Пусть в (3) матрица A имеет резонансы порядка не меньшего, чем k + 1, а g(x) = p_k(x). Покажите, что описанным при доказательстве теоремы Пуанкаре способом можно свести уравнение (3) к виду (6), в котором r(y) = p_k+1(y).

О18.15. Пусть в уравнении (3) матрица A имеет единственный резонанс k-го порядка λ_j = (l, λ), а g(x) = p_k(x) содержит единственный резонансный моном x^le_j, соответствующий данному резонансу. Представим g в виде g(x) = g_k(x) + c·x^le_j + p_k+1(x) (таким образом, g_k(x) состоит только из нерезонансных мономов k-го порядка). Покажите, что если h — решение гомологического уравнения L_Ah = g_k, то замена (4) приводит уравнение (3) к виду (6), в котором r(y) = c·y^le_j + p_k+1(y).

О18.16. Пусть в уравнении (3) g(x) = g_k(x) + p_k+1(x), где полином g_k состоит только из мономов k-го порядка. Пользуясь результатами предыдущей задачи, постройте замену переменных вида (4), приводящую уравнение к уравнению (6), в котором r(y) = r_k(y) + p_k+1(y), a r_k состоит только из резонансных мономов k-го порядка.

О18.17. Пусть в уравнении (3) g(x) = g~(x)+ pk+1(x), где полином g~состоит только из резонансных мономов не выше k-го порядка. Пользуясь задачей О18.16, приведите уравнение (3) к виду (6), в котором r(y) = g~(y)+ gk+1(y) + pk+2(y), а gk+1 состоит только из резонансных мономов порядка k + 1.

О18.18. Докажите теорему Пуанкаре — Дюлака.

О18.19. Какие из членов второго порядка являются резонансными в системе уравнений

x′1= x1 + x12+ x1x2 + x22,    x′2= 3x2 + x12+ x1x2 + x22?

О18.20. Аналогичный вопрос для системы

x′1= x2 + x12+ x1x2 + x22,    x′2= –x1 + x12+ x1x2 + x22.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 31 23 Feb 2000, 10:49.
Last modified 27 Apr 2002.