Часть II. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Назад § О17. Динамические системы — сложное поведение Вперед

... И в небе и земле сокрыто больше,
Чем снится вашем мудрости, Горацио.

У. Шекспир. Гамлет, принц Датский

Все смешалось в доме Облонских.

Л. Толстой. Анна Каренина

Плохая физика; но зато какая смелая поэзия!

А. Пушкин. Примечания к Подражаниям Корану

В этом очерке мы опишем пример одной динамической системы, привлекающей последние тридцать лет большое внимание исследователей. Эта трехмерная динамическая система была введена в научный обиход в 1963 году Э. Лоренцем, занимавшемся моделированием атмосферных процессов. С тех пор она вызывала и продолжает вызывать огромное число исследований и публикаций. Основной причиной, породившей такой интерес к системе уравнения Лоренца, является хаотическое поведение ее траекторий. Ясности в исследуемых вопросах еще нет. Некоторые результаты обоснованы только на "физическом уровне строгости'' или численно и говорит о сформировавшейся теории рано. Поэтому изучение рекомендуемой литературы требует довольно высокой математической подготовки. По этой же причине этот очерк не сопровождается задачами.

Система уравнений Лоренца — это трехмерная система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка вида
x'1= –σx1 + σx2,

x'2= –x1x3 + rx1x2,

x'3= x1x2bx3.
(1)

В ней σ, b и r — параметры. Эта система возникла в задаче о моделировании конвективного течения жидкости, подогреваемой снизу. Такое течение описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Система (1) получается из нее проектированием на специальное трехмерное подпространство.

В результате численного интегрирования системы (1) Э. Лоренц обнаружил, что при σ = 10, b = 8/3 и r = 28 у этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий (см. рис. 1, на котором изображена зависимость координаты x2 одной из траекторий от времени), а, с другой стороны, все траектории притягиваются при t → +∞ к некоторому сложно устроенному множеству — аттрактору (от англ. to attract — притягивать, привлекать).

Поведение первой координаты во времени
Рис. 1.

Такое поведение решений ассоциируется с так называемыми турбулентными (беспорядочными, хаотическими) течениями жидкости. Это породило надежды на продвижение в одной из важнейших проблем современной гидро- и аэродинамики — проблеме описания турбулентности. В частности, этим объясняется бурный интерес ученых к этой системе. К настоящему времени ответ на вопрос: имеет ли отношение к турбулентности система Лоренца и ее аналоги не известен. Хотя здесь есть масса доводов как pro, так и contra.

Мы попытаемся описать имеющиеся представления о появлении и структуре аттрактора в системе Лоренца. Зафиксируем в (1) σ = 10, b = 8/3 и будем увеличивать r, начиная с нуля.

Показать апплет
r < 1
Рис. 2.

При r < 1 система Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку — начало координат. К ней притягиваются все траектории (см. рис. 2). Здесь же отметим, что начальная стадия нашего анализа (вплоть до рис. 4) элементарна и читатель может проделать ее сам. Когда r переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки

X1 = (√b(r – 1), √b(r – 1), r – 1)

и

X2 = (–√b(r – 1), –√b(r – 1), r – 1)

Показать апплет
r > 1
Рис. 3.

У линеаризованной в нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительное собственное значение. В соответствии с этим у нулевой стационарной точки есть двумерный входящий ус и одномерный выходящий (см. рис. 3). У линеаризованных в точках X1 и X2 систем все собственные значения отрицательны.

При возрастании параметра r пара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Это, в частности, соответствует тому, что выходящие усы G1 и G2 нулевой стационарной точки начинают закручиваться как спирали около стационарных точек X1 и X2, соответственно (см. рис. 4).

Показать апплет
r >> 1
Рис. 4.

Показать апплет
r = 13.92
Рис. 5.

С дальнейшим ростом r стационарные точки X1 и X2 поднимаются выше (они лежат в плоскости x3 = r – 1), а спиралевидные траектории "разбухают". Это происходит до тех пор, пока при r ≈ 13.92 (это значение можно найти только численно) спирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траектории Γ1 и Γ2 (см. рис. 5).

При возрастании r в этот момент происходит бифуркация гомоклинических траекторий с образованием двух неустойчивых циклов Φ1 и Φ2 (см. рис. 6). Линейные части операторов последования, отвечающих этим циклам, имеют по одному мультипликатору большему единицы и по одному — меньшему единицы, и следовательно, по одному направлению траектории к этим циклам притягиваются, а по другому — отталкиваются. Выходящие усы G1 и G2 нулевой стационарной точки теперь уже не попадают на ее входящий ус (см. рис. 6) — они попадают в области притяжения стационарных точек X2 и X1, соответственно (а не X1 и X2, как было раньше) и закручиваются около них.

Показать апплет
r > 13.92
Рис. 6.

При r ≈ 24.06 происходит очередная бифуркация и G1 и G2 попадают на притягивающие многообразия (неустойчивых) циклов Φ2 и Φ1 (см. рис. 7). Следующая бифуркация происходит при r = r0 = σ(σ + b + 3)/(σ – b – 1) ≈ 24.74. В этот момент у линеаризованных в точках X1 и X2 систем появляется пара собственных значений на мнимой оси (при r > r0 эти собственные значения имеют положительные вещественные части). Стационарные точки X1 и X2 поглощают неустойчивые циклы Φ1 и Φ2, теряя устойчивость (бифуркация Пуанкаре — Андронова — Хопфа). Система жестко возбуждается.

Показать апплет
r =24.06
Рис. 7.

Во время описанного процесса, начиная с r = 13.92 у системы Лоренца появляется предельное инвариантное множество, но до r = r0 оно не является устойчивым, т. е. не притягивает к себе траектории. При r ∈ (r0,50] это множество Λ становится "устойчивым". Это и есть собственно аттрактор Лоренца. Представление о том как он выглядит может дать рис. 8, на котором изображена одна траектория системы Лоренца при r = 28: при t→ +∞ она стремится к аттрактору. Траектория делает по несколько оборотов то вокруг неустойчивой стационарной точки X1, то вокруг неустойчивой стационарной точки X2, меняя их "случайным образом" (см. рис. 1).

Показать апплет
Аттрактор Лоренца
Рис. 8.

Известно, что аттрактор Лоренца обладает следующими свойствами (обоснование этих свойств к настоящему моменту содержит эмпирические этапы, основанные на результатах численных расчетов).

Во-первых, Λ является аттрактором в том смысле, что существует открытое в R3 множество A такое, что Λ = t≥0 gtA (здесь gt оператор сдвига по траекториям системы Лоренца). Другими словами, все траектории, начинающиеся в A (в данном случае в качестве A можно взять все R3, исключая начало координат), притягиваются к Λ.

Во-вторых, в Λ имеется всюду плотное множество периодических траекторий, причем каждая из них неустойчива.

В-третьих, траектории, лежащие в Λ, экспоненциально разбегаются и поэтому при сколь угодно малом возмущении начальных данных в задаче Коши для системы Лоренца решения на большом интервале времени могут различаться очень сильно. Это делает описываемый системой Лоренца процесс в некотором смысле недетерминированным.

В-четвертых, известно, что локально аттрактор Лоренца устроен как произведение канторова совершенного множества на отрезок.

Аттракторы, обладающие перечисленными свойствами, обнаружены сейчас во многих динамических системах. Их обычно называют странными аттракторами.

С тем, что происходит в системе Лоренца при больших r ясности пока нет. В некоторых интервалах изменения параметра обнаружены устойчивые периодические решения. Интересное явление наблюдается при r ∈ [210, 234] и r ∈ [145, 149]. При r = 234 система Лоренца имеет устойчивый цикл, который при уменьшении rиспытывает бифуркацию удвоения периода, теряя устойчивость и порождая устойчивый цикл двойного периода. При дальнейшем уменьшении r новый цикл также теряет устойчивость и от него, в свою очередь, ответвляется цикл двойного периода и т. д. Таким образом, возникает бесконечная последовательность {rk} значений параметра, при котором система Лоренца испытывает бифуркацию удвоения периода. Эта последовательность удовлетворяет недавно открытому закону универсальности Фейгенбаума:


lim
k→∞
rkrk–1
rk+1rk
= δ,

где δ = 4.6692... — универсальная постоянная, которая, по современным представлениям, по-видимому, не зависит от конкретной динамической системы, испытывающей бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода.

Литературные указания. Данный раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений новый и бурно развивающийся. Результаты описаны, в основном, в статьях и монографиях. (По этой же причине отсутствуют задачи в конце очерка.) Учебной литературы пока нет. Мы можем порекомендовать для начального изучения [Марсден — Мак-Кракен, Неймарк — Ланда, Странные аттракторы].

Апплет на рис. 9 позволяет просматривать поведение некоторых динамических систем с хаотическим поведением, самостоятельно задавая значения параметров.

Показать апплет
Рис. 9.

File based on translation from TEX by TTH, version 2.32.
Created 30 Dec 1999, 14:03.
Last modified 27 Apr 2002.