1.4.14. Изотропные функции

Мы начнем с тензорных функций. Зафиксируем в R³ произвольный ортонормированный базис {e_i}. Тогда, как известно, определено отображение Б, сопоставляющее каждому тензору T второго ранга на R³ (который мы отождествляем с линейным отображением на R³) матрицу T: Tⁱ_j = eⁱ·Tбe_jс. Известно, что отображение Б линейно и обратимо, а также, что Б и Б^–1 сохраняют операции суперпозиции тензоров и сопряжения: Б(T°S) = Б(T)°Б(S), Б(T*) = [Б(T)]*. Каждая тензорная функция F: T²(R³) ® T²(R³) порождает матричную функцию f: M³ ® M³ по формуле f = Б°F°Б ^{– 1}.

Матричная функция f называется изотропной, если f(O*°T°O) = O*°f(T)°O для любой ортогональной матрицы O О M³, т. е. такой, что O*°O = O°O* = I.

Тривиально доказывается, что тензорная функция F изотропна в том и только том случае, когда изотропна матричная функция f. Поэтому в дальнейшем мы отождествляем матричные и тензорные функции, а также матрицы T и тензоры T, сохраняя обозначение T и для матриц.

Нашей целью являются утверждения о представлении изотропных функций как функций от инвариантов тензоров.

Докажем предварительно две полезные леммы.