0.2.6. Сопряженные, самосопряженные, антисимметричные и ортогональные отображения

Пусть L О L(R^m). Отображение K О L(R^m) называется сопряженным к отображению L, если при всех x, y О R^m

x·Kбyс = y·Lбxс.

Сопряженное к L отображение обозначается L*.

Нетрудно показать, что если определить матрицу K_jⁱ как матрицу транспонированную к матрице L_jⁱ: K_jⁱ = L_i^j, то соответствующее отображение K = K_jⁱ e_iДe^j будет сопряженным к L. Это доказывает существование сопряженного к любому отображению из L(R^m). Чуть позже будет это утверждение будет доказано из общих соображений.

Отображение L О L(R^m) называется самосопряженным или симметричным, если L* = L. В терминах матриц это определение выглядит так: L_jⁱ = L_i^j.

Далее, отображение L О L(R^m) называется антисимметричным, если L* = –L. В терминах матриц это определение выглядит так: L_jⁱ = –L_i^j.

Наконец, отображение L О L(R^m) называется ортогональным, если оно обратимо и обратное отображение совпадает с сопряженным: L^–1 = L*, или, что то же L*ЧL = LЧL* = I; здесь и ниже Ч обозначает суперпозицию отображений, а I — тождественное отображение на R^m: Iбxс є x.