0.2.5. Инварианты матриц и линейных отображений

Функции на пространстве M^m, не зависящие от выбора базиса называются инвариантами матрицы. Независимость инвариантов матрицы от выбора базиса позволяет говорить об инвариантах линейного отображения. Один из важных инвариантов — это след матрицы tr. Нам потребуется еще два других инварианта для отображений из L(R³)

J2 = J2(L) =def  1 2 (tr2бLс – trбL2с)

и

J3 = J3(L) =def  1 6 (tr3бLс – 3trбLсtrбL2с + 2trбL3с).

Для унификации обозначений след trбLс отображения L мы будем обозначать через J₁ = J₁(L).

Как мы уже знаем J₁ = L_iⁱ. Остальные инварианты также выражаются через коэффициенты матрицы фомулами

J2 =  к к к L11 L21 L12 L22 к к к  +  к к к L11 L31 L13 L33 к к к  +  к к к L22 L32 L23 L33 к к к ,

J3 = detбLjiс.

Характеристический полином p(l) отображения L выражется через инварианты:

p(l) = det(L - lI) = l3 – J1l2 + J2l – J3.

И, наоборот, инварианты отображения L выражаются через собственные значения L (т. е. корни характеристического полинома) l₁, l₂, l₃:

J1 = l1 + l2 + l3, J2 = l1l2 + l2l3 + l3l1, J3 = l1l2l3.