0.2.3. Матрица линейного отображения

Диадой a Д b двух векторов a, b О R^m называется линейное отображение из L(R^m), определяемое равенством

(aДb)бxс = a(b·x).

Для любого базиса {ei} в Rm набор линейных отображений {eiДe j}mi, j=1будет базисом в L(Rm). В самом деле, определим числа Lji формулами

Lji = ei·Lбejс   (i, j = 1, ..., m).

Но тогда

Lji(eiДej)бxс = (Ljiei)(ej·x) = (Ljiei)x j = (ei·Lбejс)eix j = = (ei·Lбx jejс)ei = (ei·Lб xс)ei = Lбxс.

Единственность разложения L = L_jⁱ(e_iДe ^j) проверяется тривиально.

Наличие базиса из m² элементов означает, что L(R^m) является линейным m²-мерным пространством.

Соответствие L ® {L_jⁱ} устанавливает изоморфизм между пространством L(R^m) и пространством M^m квадратных m×m-матриц. Матрица {L_jⁱ} (или просто L_jⁱ) называется матрицей отображения L в базисе {e_i}.

Очевидно,

Lбxс = Lji(eiДe j)бxс = Ljiei(e j·x) = Ljix jei.

Матрица суперпозиции K°L также легко вычисляется:

(K°L)ji = ei·(K°L)бejс = ei·KбLбejсс = ei·KбLlk(ekДel)бejсс = = ei·KбLlkбek(el·ej)сс = ei·KбLlkekdjlс = = Ljkei·Kбekс = Ljkei·Ksp(epДes)бekс = = Ljkei·(Kspepdks) = Ljkei·Kkpep = KkpLjkdji = KkiLjk.