0.2.1. Пространство линейных отображений

Пусть R^m и Rⁿ — линейные нормированные пространства. Отображение L: R^m ® Rⁿ называется линейным, если

Lбax + byс = aLбxс + bLбyс

при всех x, y О R^m и a, b О R (здесь и всюду ниже через Lбxс обозначается значение отображения L на векторе x).

Множество всех линейных отображений из R^m в Rⁿ становится линейным пространством, если ввести в нем операции сложения и умножения на скаляры формулами

(L + K)бxс = Lбxс + Kбxс,   aLбxс = Lбaxс.

Это пространство в дальнейшем обозначается L(R^m, Rⁿ). Если m = n, то используется обозначение L(R^m).

Пространство L(R^m, Rⁿ) превращается в нормированное, если положить

||L|| =  sup x О Rm, x № 0 ||Lбxс||Rn ||x||Rm .

(8)