1.2.9. Закон сохранения момента импульса

Имеет место следующее уравнение момента импульса

r ж и x ×  dv dt ц ш   div (A(x)°P) + r(x × f).

(13)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В самом деле, преобразуем поверхностный интеграл в интегральном законе сохранения момента импульса в объемный:

тт ¶wt [x × pn(x)(x, t)] ds =  тт ¶wt [x × P(x, t)бn(x)с] ds =

=  тт ¶wt A(x)°Pбn(x)с ds =  ттт wt div [A(x)°P] dw.

Поэтому его (закон сохранения момента импульса) можно, используя формулу (6), переписать в виде

ттт wt r ж и x ×  dv dt ц ш ds –  ттт wt div [A(x) × P] ds –

–  ттт wt r(x × f) dw = 0.

Применение леммы 1.2.3 к последнему равенству приводит к уравнению (13).

Если теперь, воспользовавшись уравнением импульса (12) подставить в (13) div P + rf вместо r·dv/dt, то получится более простая форма уравнения момента импульса:

div (A(x)°P) = x × div P.

(14)

Оказывается, уравнение (14) эквивалентно симметричности тензора напряжений.