0.4.5. Дивергенция тензорного поля

Если E = L(R^m), или, с точностью до изоморфизма, E = T²(R^m), и k = m, то дивергенция тензорного поля f: U ® E определяется формулой (здесь {e_i} — произвольный базис в R^m)

div f(x) =def  ¶f(x)бeiс ¶x бeiс.

(12)

Дивергенция div f(x) при каждом x О U является, очевидно, вектором из R^m. Определение (12) не зависит от выбора базиса. Действительно, для любого вектора y О R^m дивергенция векторной функции f *(x)бyс вычисляется следующим образом

div (f *(x)бyс) =  ¶(f *(x)бyс)i ¶xi  =

=  d ds (ei · f *(x + sei)бyс)|s=0 =

=  lim s®0 ei · [f *(x + sei) – f *(x)]бyс s  =

=  lim s®0 y·[f(x + sei) – f(x)]бeiс s  =

= y· d ds (f(x + sei)бeiс)|s = 0 = y· ж и ¶f(x)бeiс ¶x ц ш бeiс.

Поскольку левая часть цепочки не зависит от выбора базиса, правая часть также не зависит от его выбора. Таким образом, при всех y О R^m

div (f *(x)бyс) = y· ¶f(x)бeiс ¶x бeiс.

(13)

Равенство (13) может принято в качестве определения (с "пробным" вектором y) дивергенции тензорного поля: div f(x) это такой вектор z О R^m, что div (f *(x)бyс) = y·z при любом y О R^m.