1.1.4. Аксиома движения

Отображенияg_t определены для любого t О R, являются гомеоморфизмами W₀ на W_t и отображение t ® g_t есть изоморфизм аддитивной группы вещественных чисел в мультипликативеую группу отображений в R³. При каждом x О W₀ отображение t ® g_t(x) непрерывно и кусочно-непрерывно дифференцируемо.

Эта аксиома позволяет говорить о движении материальной точки (или частицы) x сплошной среды; в частности, кривая {g_t(x): t О R} называется траекторией точки x О W₀. Мы часто будем обозначать g_t(x) через x(t).

Тот факт, что {g_t} — группа означает, что:

1) g₀ = I;

2) g_t·_s = g_{t + s}.

Эта же аксиома позволяет ввести понятие движущегося объема, т. е. объема, состоящего в процессе эволюции сплошной среды из одних и тех же частиц: w_t = {g_t(x): x О w₀ М W₀}.

В дальнейшем нам иногда будет удобно писать g(x, t) взамен g_t(x).

Кусочная гладкость траекторий, гарантируемая аксиомой движения, позволяет говорить о скорости частицы x в момент времени t: v(x, t) = ¶g(x, t)/¶t = xў(t).