1.1.2. Аксиома материального континуума

Сплошная среда в каждый момент времени есть материальный континуум.

Это означает, что определены понятия массы и внутренней энергии каждого объема сплошной среды. Более подробно. Объемом в R3 называется любая область (открытое связное множество) с кусочно гладкой границей. Предполагается, что определена масса любого объема w, т. е. задана функция множества M: w ® M(w) и эта функция есть мера, т. е. неотрицательная счетно-аддитивная функция множества: M(ИҐi=1wi) = еҐi=1M(w),если wi З wj = Ж при всех i № j. Более того, предполагается, что функция M непрерывна в следующем смысле: M(w) ® 0 при mes w ® 0, где mes w — мера Лебега множества w (понятие меры Лебега будет строго введено в курсе математического анализа, пока же можно считать, что mes w — это объем области w в смысле, описываемом в курсе школьной геометрии). В курсе функционального анализа будет доказано, что в этом случае существует неотрицательная функция r : R3 ® R такая, что для любого объема W

M(W) =  ттт W r(x) dw

(1)

(здесь w — элементарный объем). Эта функция называется плотностью) (удельной массой) сплошной среды. Можно показать, что

r(x) =  lim e®0 M[Be(x)] 4pe3/3 ,

где B_e(x) — шар в R³ радиуса e с центром в x (а 4pe³/3, — разумеется, объем mes B_e(x) этого шара). Последнее полностью согласуется со школьным физическим определением плотности.

Подчеркнем, что переход от массы к плотности, в математическом смысле означает переход от весьма сложного математического объекта — функций множества (т. е. функций, заданных на множестве подмножеств пространства R³) к существенно более простым математическим объектам — функциям точки. Последние существенно более хорошо изучены. К ним можно применять развитый аппарат математического анализа.

Точно так же аксиома материального континуума предполагает наличие у каждого объема внутренней энергии, т. е. существование непрерывной меры E_i. Наличие представления внутренней энергии вида (1) позволяет ввести понятие удельной объемной энергии e_i:

Ei(W) =  ттт W ei(x) dw.

Обычно удобнее пользоваться удельной внутренней энергией U(x) є e_i(x)/r(x) (т. е. энергией, отнесенной к единице массы). Таким образом,

Ei(W) =  ттт W r(x)U(x) dw =  ттт W rU dw.

(2)