1.2.6. Уравнение неразрывности

Подстановка в (3) вместо F функции r приводит к тождеству

d dt ттт wt r(x, t) dw =  ттт wt ж и dr dt  + rdiv v ц ш dw.

Поскольку левая часть этого тождества равна нулю в силу (интегрального) закона сохранения массы,

ттт wt ж и dr dt  + rdiv v ц ш dw = 0

для любого движущегося объема wt. В частности, при любом фиксированном t, если в качестве w0 взять прообраз при отображении gt произвольного шара B: w0 = gt–1(B),то wt = B при данном t. Отсюда следует, что при каждом t последнее тождество выполняется на любом шаре. Применение леммы 1.2.3 приводит к так называемому уравнению неразрывности:

dr dt  + rdiv v = 0,

(4)

являющемуся дифференциальным аналогом интегрального закона сохранения массы.

Если теперь в (3) вместо функции F подставить функцию rF и предполагать выполненным уравнение неразрывности, то мы получим следующую формулу дифференцирования интегралов вида тттwt rF dw:

d dt ттт wt rF dw =  ттт wt r dF dt dw.

(5)

Точно так же, интегральный закон сохранения импульса с помощью формулы (5) легко переписывается в виде

тт ¶wt pn ds =  ттт wt r ж и dn dt  – f ц ш dw.

(6)

Теперь нам нужно научиться преобразовывать в интегральных законах сохранения поверхностные интегралы в объемные, чтобы затем, действуя по описанной схеме, получить дифференциальные формы остальных законов сохранения. Для этого сначала найдем представление вектора p_n напряжений внутренних поверхностных сил.