1.2.7. Основная теорема механики сплошной среды

Существует тензорное поле P: D ® T²(R³) такое, что при всех ((x, t), n) О D × S

pn(x, t) = P(x, t)бnс.

(7)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Зафиксируем произвольный ортонормированный базис {e_i} в R³ и точку (x, t) О D. Если мы покажем, что для любого n = nⁱe_i О S

pn = nipei

(8)

(мы опускаем аргументы (x, t) у функции p_n(x, t)), то на S искомый тензор P можно определить равенством (и опять (x, t) опускается)

Pбnс = ni pei,

а после этого продолжить P с S на все R³ по линейности:

Pбaс = |a|Pб a |a| с.

Докажем (8). Для этого мы используем интегральный закон сохранения импульса, переписанный в виде (6). Покажем сначала, что для любого n О S

pn = – p–n.

(9)

Пусть S — плоскость, проходящая через точку x О W_t с нормалью n, y О S З W_t, B = B(y, e) — шар в R³ с центром в y радиуса e, целиком лежащий в W_t, B₁, B₂ — части этого шара, на которые он разбивается плоскостью S (B₂ и n лежат по одну сторону от S), b = ¶B₁З¶B₂ = BЗS (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Запишем (6) для объемов B₁, B₂, B, сложим первые два из получившихся тождеств и вычтем третье:

ж и тт ¶B1  +  тт ¶B2  –  тт ¶B3 ц ш pn dw =

ж и ттт B1  +  ттт B2  –  ттт B3 ц ш r ж и dn dt  – f ц ш dw = 0.

В левой части этого равенства интегралы по границе шара B взаимно уничтожаются, а в оставшихся интегралах по b: в первом интеграле, очевидно, p_n = p_n, а во втором — p_n = p_–n. Таким образом,

тт b [pn(y, t) + p–n(y, t)] ds = 0.

Поскольку b — произвольный круг, целиком лежащий в W_t З S, а функция p_n(y, t) + p_–n(y, t) непрерывна, из леммы 1.2.3 следует (9).

Теперь докажем (8). Пусть n = nⁱe_i таков, что все nⁱ отличны от нуля и, более того, положительны. Обозначим через D_e тетраэдр, высекаемый из координатного угла (с началом в точке x) плоскостью, проходящей через конец вектора x + en ортогонально n, а также координатными плоскостями базиса, начало которого помещено в точку x (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2.

Пусть s_e — грань тетраэдра, перпендикулярная n, а s_ei — грани, перпендикулярные векторам e_i, соответственно. При достаточно малых e этот тетраэдр целиком лежит в W_t. Применяя формулу (6) на D_e, получаем

ж и тт se  +  3 е i = 1   тт se1 ц ш pn ds =  ттт De r ж и dn dt  – f ц ш dw,

или, учитывая, что n = n на s_e и n = –e_i на s_ei,

тт se pn ds +  3 е i = 1 тт sei p–eids =  ттт De r ж и dn dt  – f ц ш dw.

(10)

Как легко видеть,

mes se = e2·mes s1, mes sei = e2·mes s1i, mes De = e3·mes D1,

(11)

где mes s – мера Лебега множества s (в первых двух случаях плоская, т. е. площадь, а в последнем — объемная). Применим к (10) теорему о среднем значении:

pn(qe, t)·mes se +  3 е i = 1 p–ei(qei, t)·mes sei =

=  й л r ж и dn dt  – f ц ш щ ы (Je, t)·mes De

где qe О se, qei О sei, а Je О De. Подставим (11) в последнее равенство, разделим на e2 и перейдем к пределу при e ® 0, учитывая, что pn(qe, t) ® pn(x, t), а p–ei(qei, t) = p–ei(x, t) при e ® 0 (поскольку qe, qei, Je ® x при e ® 0. Получим

(mes s1)pn +  3 е i = 1 (mes s1i)p–ei = 0,

или, учитывая (9),

(mes s1)pn –  3 е i = 1 (mes s1i)pei = 0,

Остается заметить, что mes s_1i = mes s₁cos(n, e_i) = mes s₁(n·e_i) = mes s₁nⁱ, и (8) в случае nⁱ > 0 доказано. Остальные случаи, когда nⁱ № 0 разбираются аналогично. Наконец, в случае, когда один или два коэффициента nⁱ обращаются в нуль, равенство (8) следует из уже доказанного и непрерывности p.

Тензор P, существование которого утверждается в теореме, играет фундаментальную роль в механике сплошной среды и называется тензором напряжений. Саму теорему иногда называют теоремой Коши о существовании тензора напряжений. Существование этого тензора позволяет преобразовать поверхностный интеграл в законе сохранения импульса и момента импульса в объемный.