1.2.3. Лемма

Пусть непрерывная в области D М R^m функция F: D ® R^k функция такова, что

т B F(x) dw = 0

на любом шаре B = B(x, r) М D радиуса r с центром в x.

Тогда F(x) є 0 в D.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Поскольку интеграл от функции со значениями в конечномерном пространстве определяется покоординатно, достаточно доказать утверждение леммы для скалярных функций (т. е. для случая k = 1). В предположении противного найдется точка x₀ О D такая, что F(x₀) № 0. Пусть, для определенности, F(x₀) > 0. В силу непрерывности F найдется r > 0 такое, что |F(x) – F(x₀)| Ј F(x₀)/2. Но тогда F(x) = F(x₀) – [F(x₀) – F(x)] і F(x₀) – |F(x₀) – F(x)|і F(x₀)/2 при всех x О B(x₀, r) = B. Поэтому

т B F(x) dw і  1 2 т B F(x0) dw =  1 2 F(x0)·mes B > 0,

что противоречит условиям леммы.