1.2.13. Уравнение притока тепла

Имеет место следующее уравнение притока тепла

r dU dt  = P : D – div q.

(16)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В силу (15) и формулы Гаусса — Остроградского

тт ¶wt qn ds = – тт ¶wt q·nd s = – ттт wt div q dw,

а

тт ¶wt v·pn ds =  ттт wt div бPбvсс dw.

Поэтому, с помощью (5), интегральный закон сохранения энергии переписывается в виде

ттт wt й л r d dt ж и 1 2 |v|2 + U ц ш – div (Pбvс) – rv·f + div q щ ы dw = 0.

Применение леммы 1.2.3. к последнему равенству приводит к уравнению

r d dt ж и 1 2 |v|2 + U ц ш – div (Pбvс) – rv·f + div q = 0.

(17)

Теперь воспользуемся тем, что

d dt |v|2 = 2v· dv dt ,

а

div (Pбvс) = v·div P + P : D.

Доказажем последнее равенство. Как легко видеть,

¶(Pбvс) ¶x  =  ¶P(x, t) ¶x бv(x, t)с + P(x, t)° ¶v(x, t) ¶x .

Далее (напомним, что тензор P симметричен),

tr ж и P° ¶v ¶x ц ш  =  Pji ж и ¶v ¶x ц ш j i  =   1 2 Pji ж и ¶v ¶x ц ш j i  +  1 2 Pji ж и ¶v ¶x ц ш j i  =

=   1 2 Pji ж и ¶v ¶x ц ш j i  +  1 2 Pij ж и ¶v ¶x ц ш i j  =

=   1 2 Pji ж и ¶v ¶x ц ш j i  +  1 2 (P*)ji й л ж и ¶v ¶x ц ш * щ ы j i  =

=   1 2 Pji ж и ¶v ¶x ц ш j i  +  1 2 Pji й л ж и ¶v ¶x ц ш * щ ы j i  =

=   1 2 Pji й л ¶v ¶x  +  ж и ¶v ¶x ц ш * щ ы j i  = PjiDij = (P*)jiDij = P : D,

а

tr ж и ¶P ¶x бvс ц ш  =   = ei· ж и d ds P(x + sei)бvс к к s = 0 ц ш  =

=   = ei· ж и d ds P(x + sei) к к s = 0 бvс ц ш  =

= v· ж и d ds P*(x + sei) к к s = 0  бeiс ц ш  =

= v· ж и d ds P(x + sei) к к s = 0  бeiс ц ш  = v·div P.

Таким образом,

div (Pбvс) = v·div P + P : D.

Остается исключить dv/dt из (17) с помощью уравнения импульса (12):

r dU dt  = P : D – div q.