§ 2.6. Примеры краевых задач

Начальная задача играет в теории обыкновенных дифференциальных уравнений особенно важную роль, однако, наряду с ней изучаются и другие: краевые задачи, задача о периодических решениях, задача об ограниченных решениях и т. п. Здесь мы рассмотрим несколько примеров.

2.6.1. Пример краевой задачи на собственные значения. Для однородной краевой задачи

x′′ + λx = 0,

(1)

x(0) = 0, x(π) = 0

(2)

требуется найти все значения λ (собственные значения ), при которых она имеет ненулевые решения (нулевое решение есть при любом λ, оно нас в данном случае не интересует). Условия (2) называются краевыми условиями, т. к. они задаются на концах отрезка [0, π].

Найдем общее решение уравнения (1) отдельно в трех случаях: λ = 0, λ > 0 и λ < 0. При этом воспользуемся методом подбора и теоремой Коши — Пикара. Сначала для каждого из трех случаев найдем по два "очевидных" решения:

λ = 0: φ1(t) = 1, φ2(t) = t; λ > 0: φ1(t) = sin ωt, φ2(t) = cos ωt   (ω = √λ); λ < 0: φ1(t) = ekt, φ2(t) = e – kt   (k = √–λ).

Затем заметим, что при любых константах C₁, С₂ функция

x = C1φ1(t) + C2φ2(t)

(3)

тоже является решением. Наконец, легко проверить, что в каждом из трех случаев для любых x₀, x₁ среди функций (3) найдется такая, которая удовлетворяет начальным условиям

x(0) = x0, x′(0) = x1

(4)

(проверьте). Но по теореме Коши — Пикара уравнение (1) может иметь только одно решение, удовлетворяющее условиям (4) — и оно содержится среди функций (3). Итак (3) — общее решение (1).

Краевые условия (2) для функций (3) принимают вид:

λ = 0: C1·1 + C2·0 = 0, C1 + C2π = 0;

(5)

λ > 0: C1·0 + C2·1 = 0, C1sin ωπ + C2cos ωπ = 0;

(6)

λ < 0: C1·1 + C2·1 = 0, C1ekπ + C2ekπ = 0.

(7)

Системы (5) и (7), очевидно, имеют только нулевые решения: C₁ = C₂ = 0. Система же (6) сводится к уравнению

sin ωπ = 0,

которое имеет бесконечно много положительных решений ω = n = 1, 2, ... . Итак, мы нашли все собственные значения задачи (1), (2): λ = n² (n = 1, 2, ...).

2.6.2. Пример неоднородной краевой задачи и функции Грина. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

x′′ = f(t),

(8)

левая часть которого совпадает с левой частью (1) при не (собственном) значении λ = 0. Будем решать задачу (8) с теми же краевыми условиями (2). Для этого сначала решим задачу Коши (8), (4):

x′ = ∫ t 0 f(s) ds + x1,

x = ∫ t 0 ( ∫ τ 0 f(s) ds ) dτ + x1t + x0.

(9)

Если мы теперь потребуем, чтобы решение (9) удовлетворяло краевым условиям (2), то получим

x0 = 0,

(10)

x1 = – 1 π ∫ π 0 ( ∫ π 0 f(s) ds ) dτ.

(11)

Итак, неоднородная краевая задача (8), (2) имеет единственное решение, определяемое формулами (9), (10) и (11).

Часто решение краевой задачи бывает удобно представить в виде

x = ∫ π 0 G(t, s)f(s) ds.

(12)

Функцию G: [0, π]×[0, π → R таком представлении называют функцией Грина данной краевой задачи.

Непосредственными вычислениями можно показать, что следующая формула задает функцию Грина задачи (8), (2):

G(t,s) = { (s – π)t при t ≤ s, s(t – π)  при s < t.

(13)

2.6.3. Пример задачи о периодических решениях. Рассмотрим линейное уравнение

x′′ = ax + b(t)

(14)

с постоянным коэффициентом a при x и непрерывной T-периодической функцией b: R → R. Поставим задачу об отыскании всех T-периодических решений. Решение задачи Коши для уравнения (14) известно (см. п. 1.4.3, (12), t₀ = 0):

x = eatx0 + ∫ t 0 ea(t–s)b(s) ds.

(15)

Условие T-периодичности решения, в частности, дает:

x0 = x(0) = x(T) = eaTx0 + ∫ t 0 ea(T – s)b(s) ds,

отсюда получаем при a ≠ 0

x0 = (1 – eaT) ∫ T 0 ea(T – s)b(s) ds,

(16)

Решение с таким начальным значением обозначим x₁. Оно будет T-периодическим. Действительно, наряду с функцией x₁ рассмотрим функцию x₂(t) = x₁(t + T). Она тоже является решением уравнения (14):

x′2(t)= x′1(t + T)= ax1(t + T) + b(t + T) = ax2(t) + b(t).

Кроме того,

x2(0) = x1(0 + T) = x1(0).

По теореме Коши — Пикара эти решения совпадают всюду:

x2(t) = x1(t) т. е. x1(t + Е) = x1(t).

Итак, при a ≠ 0 единственное T-периодическое решение уравнения (14) задается формулой (15) при значении x₀ (16).

Если a = 0, то общее решение уравнения (14) имеет вид

x = ∫ t 0 b(s) ds + C.

Заметим, что x(0) = 0, x(T) = ∫^T₀b(s) ds + C. Итак, при a = 0 все решения будут T-периодичны, если

∫ T 0 b(s) ds = 0,

и среди них не будет ни одного T-периодического, если

∫ T 0 b(s) ds ≠ 0,

Рассмотренную задачу называют также задачей о вынужденных колебаниях.

2.6.4. Контрольные вопросы

2.6.4.1. Как будут выглядеть утверждения п. 2.6.1, если (2) заменить на условия x(0) = 0, x(a) = 0 (a > 0)?

2.6.4.2. Убедитесь, что формула (12) с G, задаваемой равенством (13), определяет решение краевой задачи (8), (2).

2.6.4.3. Можно ли провести рассуждения п. 2.6.3 в случае, когда функция b не является T-периодической?

2.6.4.4. T-периодическая функция b в (14) является одновременно и 2T-периодической. Пусть x₁ — T-периодическое, а x₂ — 2T-периодическое решения уравнения (14). Совпадают ли эти решения?

2.6.5. Задачи

2.6.5.1. По аналогии с п. 2.6.1 исследуйте краевую задачу

x′′ + λx = 0,   x(0) = 0,   x(π) = 0.

2.6.5.2. Покажите, что собственными значениями краевой задачи

x′′ + (a + λ)x = 0,   x(0) = 0,   x(π) = 0

являются числа {n2 – a}∞n=0.

2.6.5.3. Покажите, что собственными значениями краевой задачи

x′′ – λx = 0,   x(0) = 0,   x(π) = 0

являются числа {–n2}∞n=1.

2.6.5.4. Докажите существование такой константы C, что при любой непрерывной функции f решение x краевой задачи (8), (2) удовлетворяет неравенству

||x|| ≤ C||f||,

где нормы — нормы в пространстве C[0, π].

2.6.5.5. Исследуйте разрешимость краевой задачи

x′1 = x2,    x′2 = –x1,

x1(0) = 0,    x2(π) = 1.

2.6.5.6. Найдите все периодические решения системы

x′1 = x2,    x′2 = –x1.

2.6.5.7. Докажите, что система

x′1 = x2,    x′2 = x1

не имеет отличных от нулевого периодических решений.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 5 Jan 2002, 16:34.
Last modified 13 Apr 2002.