1.4.17. Теорема о представлении изотропных тензорных функций

Пусть S³ — пространство симметричных 3×3-матриц, а f: S³ ®S³ — изотропная матричная (или тензорная) функция. Тогда существуют функции j₁, j₂, j₃: R³ ® R такие, что для любой матрицы T О S³

f(T) = j0TI+ j1TT + j2TT 2,

где jiT = ji(J1, J2, J3) (i = 0, 1, 2), а Ji = Ji(T) (i = 1,2,3) — инварианты матрицы T.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть S = f(T). В силу симметричности T существует ортогональная матрица O₁, приводящая T к диагональной матрице D_T : D_T = O₁*°T°O₁= diag (l₁, l₂, l₃), где l₁, l₂, l₃ — собственные числа матрицы T. Положим D_S = O₁*°S°O₁. В силу изотропности f

DS = O1*°f(T)°O1= f(O1*°T°O1)= f(DT).

Обозначим diag (1, –1, –1) и diag (–1, –1,1) через O2 и O3, соответственно. Матрицы O2 и O3, очевидно, диагональны, O2*= O2 и O3*= O3 и, кроме того,

O2*°DT°O2= O3*°DT°O3= DT

(применение матриц O2, O2*и O3, O3*к диагональным матрицам, очевидно, только изменяет знаки соответствующих коэффициентов на диагонали). Далее, учитывая изотропность f,

O2*°DS°O2= O2*°f(T)°O2= f(O2*°T°O2)= f(DT) = DS,

(7)

и аналогично,

O3*°DS°O3= DS

(8)

Непосредственный подсчет показывает, что (мы используем обозначение s_jⁱ коэффициентов матрицы D_S)

O2*°DS°O2 = ж з з и s11 –s12 –s13 –s21 s22 s23 –s31 s32 s33 ц ч ч ш ,

а

O3*°DS°O3 = ж з з и s11 s12 –s13 s21 s22 –s23 –s31 –s32 s33 ц ч ч ш ,

Из этих равенств и из (7) и (8) следует равенство всех внедиагональных элементов матрицы D_S нулю. Таким образом D_S — диагональная матрица: D_S = diag (h₁, h₂, h₃), причем h₁, h₂, h₃ — ее собственные значения.

Запишем теперь равенство S = f(T) в "координатной форме": s_jⁱ = f_ij(t_jⁱ), или, оставляя только ненулевые координаты, s_iⁱ = f_ii(t_jⁱ). Обозначив через F_i "сужение" функций f_ii на "диагональные элементы", перепишем последнее тождество для матриц D_T и D_S в виде

hi = Fi(l1, l2, l3).

Обозначим через O₄ матрицу

ж з з и 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ц ч ч ш .

Из изотропности f вытекает равенство O4*°DS°O4= f(O4*°DT°O4), а непосредственный подсчет показывает, что O4*°DT°O4= diag (l2, l1, l3), O4*°DS°O4= diag (h2, h1, h3). Поэтому

diag (h2, h1, h3) = f[diag (l2, l1, l3)],

(9)

откуда, в частности, следует равенство

h3 = F3(l1, l2, l3) = F3(l2, l1, l3).

В силу леммы 1.4.17 найдется функция Y₃ такая, что

F3(l1, l2, l3) = Y3(l1 + l2, l1l2, l3).

(10)

Учитывая, что инварианты J₁ = J₁(T), J₂ = J₂(T), J₃ = J₃(T) выражаются через собственные значения матрицы формулами

J1 = l1 + l2 + l3, J2 = l1l2 + l2l3 + l3l1, J3 = l1l2l3,

(11)

равенство (10) можно продолжить следующим образом

F3(l1, l2, l3) = Y3(J1 - l3, J2 - l3(J1 - l3), l3) =def y3(J1, J2, l3).

(12)

Точно так же доказывается существование функций y_i (i = 1, 2), что

Fi(l1, l2, l3) = yi(J1, J2, li).

(13)

Теперь заметим, что из равенства (9) следуют равенства

y2(J1, J2, l2) = y1(J1, J2, l2),

(14)

y2(J1, J2, l1) = y1(J1, J2, l1).

(15)

Докажем утверждение теоремы сначала в случае, когда все собственные значения матрицы T различны. Определим числа f_i^T (i = 0, 1, 2) как решения системы уравнений

f0T + f1Tli+ f2Tli2= Fi (= Fi(l1, l2, l3) = hi),   i = 0, 1, 2).

(16)

Как известно, ее решение f₀^T (например) задается формулой (в силу различности собственных значений l_i определитель этой системы — он представляет собой определитель Ван дер Монда — отличен от нуля)

f0T =  к к к к к  F1  l1  l12  F2  l2  l22  F3  l3  l32 к к к к к · к к к к к  1 l1  l12  1 l2  l22  1 l3  l32 к к к к к –1 =defF0(F1, F2, F3, l1, l2, l3).

(17)

Очевидно,

F0(F1, F2, F3, l1, l2, l3) = F0(F2, F1, F3, l2, l1, l3).

Далее, подставляя (12) и (13) в (17), получаем

F0(F1, F2, F3, l1, l2, l3) = = F0[F1(l1, l2, l3), F2(l1, l2, l3), F3(l1, l2, l3), l1, l2, l3] = = F0[y1(J1,J2, l1), y2(J1,J2, l2), y3(J1,J2, l3), l1, l2, l3] =def =def G0(l1, l2, l3)

Теперь заметим, что в силу (14) и (15)

G0(l1, l2, l3) = G0(l2, l1, l3).

Аналогично показывается перестановочность остальных аргументов, и, таким образом, функция G₀ симметрична. Теми же самыми рассуждениями устанавливается существование и симметричность остальных решений j_i^T = G_i(l₁, l₂, l₃)(i = 1, 2) системы (16). Но тогда в силу леммы 1.4.16 существуют функции j_i такие, что j_i^T = j_i(J₁, J₂, J₃).

Осталось вернуться от диагональных матриц к исходным. Система (16) в матричном виде выглядит так:

diag (h1, h2, h3) = = j0TI+ j1T diag (l1, l2, l3) + j2T [diag (l1, l2, l3)]2,

или

DS = j0TI+ j1TDT+ j2TDT2.

Умножив слева на матрицу O₁, а справа — на O₁*, получим

f(T) = S = j0TI+ j1TT+ j2 TT2,

и теорема в случае различных собственных значений матрицы T доказана.

В случае, если l₁ = l₂ № l₃, вместо системы (16) достаточно рассмотреть систему из двух уравнений

f0T + f1Tli= Fi (i = 1, 3)

и аналогичными рассуждениями получить существование функций j₀, j₁ таких, что f(T) = S = j₀^TI+ j₁^TT

(j₂ в этом случае равна нулю).

Наконец, в случае, когда все собственные числа матрицы T одинаковы (матрица пропорциональна тождественной), утверждение теоремы тривиально:

F(T) = j0TI.

(j₂ и j₂ равны нулю).