1.4.10. Теорема об индифферентности основных тензоров

Тензоры деформации Эйлера E, напряжений P и скоростей деформации D индифферентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Поскольку xў = O*(0)бxс и x = O(t)xў,

^ў =  ¶xў ¶xў  =  ¶xў ¶x ¶x ¶x ¶x ¶xў  = O*(0)°^°O(t).

Но тогда

2Eў =I – ^ў*°^ў = O*(t)°O(t) – [O*(0)°^°O(t)]*°[O*(0)°^°O(t)] = = O*(t)°O(t) – [O*(t)°^*°O(0)]°[O*(0)°^°O(t)] = = O*(t)°[I – ^*°O(0)°O*(0)°^°O(t) = O*(t)°(I – ^*°^)O(t) =2O*(t)°E°O(t)

и индифферентность E доказана.

Далее, поскольку p_n = Pбnс, pў_nў= Pўбnўс, nў = O*(t)бnс, pў_nў= O*(t)бp_nс,

Pўбnўс = pўnў= O*(t)бpnсe = [O*(t)°P]бnс = [O*(t)°P°O(t)]бnўс,

что означает индифферентность P.

Наконец, докажем индифферентность D. В силу выведенных выше формул перехода в новую систему отсчета движение g(x, t) частицы x в системе отсчета (0(t), O(t), a) задается функцией

gў(xў, tў) = O*(t)бg(x, t) – 0(t)с,

где xў = O*(0)бxс. Дифференцирование последнего равенства по tў (напомним, что tў = t + a и, следовательно, d/dtў = d/dt) дает следующее представление скорости vў(xў, tў) в новой системе отсчета:

vў(xў, tў) =  gў(xў, t ў) dt ў  =  dO*(t) dt бg(x, t) – 0(t)с + + O*(t) б dg(x, t) dt  –  d0(t) dt с  = =  dO*(t) dt бx – 0(t)с + O*(t) б v(x, t) –  d0(t) dt с .

(5)

Но тогда

¶vў ¶xў  =  dO*(t) dt ° ¶x ¶xў  + O*(t)° ¶v ¶x ° ¶x ¶xў  = =  dO*(t) dt °O(t) +O*(t)° ¶v ¶x O(t),

а поэтому

ж и ¶vў ¶xў ц ш * = O*(t)° dO(t) dt  + O*(t)° ж и ¶v ¶x ц ш * °O(t).

Остается заметить, что поскольку O*(t)°O(t) = I,

O(t)° dO*(t) dt  +  dO(t) dt °O*(t) = 0

(здесь 0 в правой части обозначает нулевой оператор). Складывая полученные выражения для ¶vў/¶xў и (¶vў/¶xў)*, имеем

Dў =  ж и ¶vў ¶xў ц ш * +  ¶vў ¶xў  =

O*(t)° dO(t) dt  + O*(t)° ж и ¶v ¶x ц ш * °O(t) +

+  dO*(t) dt °O(t) +O*(t)° ¶v ¶x °O(t) =

O*(t)° й л ж и ¶v ¶x ц ш * +  ¶v ¶x щ ы °O(t) =O*(t)°D°O(t).

Заметим, что из равенства (5) следует неиндифференнтность вектора скорости; он "неиндифферентен на величину (dO*(t)/dt)б x – 0(t)с – O*(t) бd0(t)/dtс."