0.4.2. Дифференцируемые поля

Поле f, по определению, дифференцируемо в точке x₀ О U, если найдется отображение L О L(R^k, E) такое, что

|f(x0 + h) – f(x0) – Lбhс|E |h|Rk ® 0 при |h|Rk ® 0.

Отображение L называется производной поля f в точке x0 и обозначается через fx0ў или ¶f/¶x|x=x0.

В случае, когда E = R производную fx0ў обозначают также через Сf(x0) или grad f(x0) и называют градиентом поля f в точке x0. Градиент скалярного поля в каждой точке есть элемент пространства Rk* = T1(Rk) и, таким образом, градиент скалярного поля есть поле тензоров первого ранга.

Если поле f дифференцируемо в каждой точке U, то говорят, что f дифференцируемо. Если отображение x ® f_xў непрерывно как отображение из U в L(R^k, E), то говорят, что поле непрерывно дифференцируемо.

Известно, что если f: U ® E, а g: E ® E1 (где E1, как и E — линейное нормированное пространство) и эти отображения непрерывно дифференцируемы, то таковым является и суперпозиция g°f: U ® E1 и, более того, для любого

¶g°f ¶x к к x = x0  =  ¶g ¶x к к x = f(x0) ° ¶f ¶x к к x = x0 .

Тривиально проверяется также, что если E = L(R^m), или E =T²(R^m), а f: U ® E — непрерывно дифференцируемое отображение, то f * также непрерывно дифференцируемо и

¶f * ¶x  =  ж и ¶f ¶x ц ш * .