1.4.8. Системы отсчета

Репером называется базис, состоящий из векторов единичной длины, исходящих из одной точки. Репер с часами называется системой отсчета. Пусть репер {e_i}, помещенный в точку 0 с часами, показывающими время t, некоторая (неподвижная) система отсчета. Зададим непрерывную кривую t ® 0(t) и семейство непрерывно зависящих от t ортогональных преобразований O(t) с положительным определителем. Поместим теперь в точку 0(t) репер {e_iў} = {O(t)бe_iс} и часы, показывающие время tў = t + a. Они образуют новую (подвижную) систему отсчета, которую мы будем обозначать (0(t), O(t), a). Поскольку ортогональные преобразования сохраняют углы и расстояния, можно представлять себе, что второй репер есть движущийся как обсолютно твердое тело первый. Точка X, задаваемая в первой системе отсчета радиус-вектором x, во второй системе отсчета задается радиус-вектором xў (см. рис. 4.2).

Рис. 4.2.

Найдем формулы перехода из одной системы отсчета в другую. Положим y = x – 0(t). Тогда

y = yiei = yiO–1(t)бeiў с = yiO*(t)бeiў с = yiaijejў,

где (a_i^j) — матрица преобразования O*(t) в базисе {e_iў}. Разложение же y по второму базису дает y = xў^je_jў. Откуда xў^j = a_i^jy ^j. Таким образом,

xў = O*(t)бx – 0(t)с,    tў = t + a.

Очевидно, если z = y – x — вектор с началом в точке x и концом в y в первой системе отсчета, то во второй системе отсчета представление соответствующего вектора имеет вид

zў = O*(t)бzс.

Если A — линейное отображение векторов в первой системе отсчета, то во второй системе отсчета ему, как легко видеть соответствует линейное проебразование

Aў = O*(t)AO(t).

Скалярное s, векторное v и тензорное T поля на D по определению индифферентны (по отношению к изменению системы отсчета), если для любой подвижной системы отсчета (0(t), O(t), a)

sў(xў, tў) = s(x, t),

vў(xў, tў) = O*(t)бv(x, t)с,

T ў(xў, tў) = O*(t)°T(x, t)°O(t).