0.5.3. Формула Эйлера

Здесь описывается дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет инвариант J₃ отображения ¶x/¶x, т. е. функция J = J(x, t) = det(¶x/¶x). Оказывается,

d dt J = J·div f.

Эта формула и называется формулой Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть X и F — матрицы отображений ¶x(x, t)/¶x и ¶f(x, t)/¶x в базисе {e_i}:

Xji = ei· ¶x(x, t) ¶x бejс,   Fji = ei· ¶f(x, t) ¶x бejс.

В силу (18)

d dt Xji = FkiXjk.

Нам же требуется показать, что

d dt det X = det X · tr F.

Обозначим через A_k^j алгебраическое дополнение в матрице X до элемента X_i^k (обратите внимание на переставленные индексы). Тогда, как известно,

det X =  м н о XjkAij, если i = k, 0, если i № k,

или, короче,

XjkAij = dik·det X.

Отсюда следует, что

¶ det X ¶Xji  = Aij.

Но тогда (напомним, что действует соглашение о немых индексах)

d dt det X =  m е i, j = 1 ¶ det X ¶Xji · d dt Xji = Aij d dt Xji = AijFkiXjk =

(XjkAij)Fki = det X·Fkidik = det X·Fii = det X·tr F.

что и требовалось.