§ И4. Извлечения из «Новых методов небесной механики» Анри Пуанкаре0)

233. Для того, чтобы пояснить происхождение и смысл понятия интегральных инвариантов, я полагаю полезным начать с изучения частного примера, заимствованного из одного физического приложения.

Рассмотрим какой-нибудь поток,²⁾ и пусть u, v, w — три компоненты скорости молекулы, имеющей в момент t координаты x, y, z.

Мы будем считать u, v, w функциями от t, x, y, z и предположим, что эти функции заданы.

Если u, v, w не зависят от t и зависят только от x, y, z, то говорят, что движение потока установившееся. Мы предположим, что это условие выполнено.

Тогда траектория любой молекулы потока является кривой, определенной дифференциальными уравнениями³⁾

dx u  =  dy v  =  dz w ,

(1)

Если бы мы умели интегрировать эти уравнения, то нашли бы с их помощью

x = j1(t, x0, y0, z0), y = j2(t, x0, y0, z0), z = j3(t, x0, y0, z0),

так что x, y, z были бы выражены в функции времени t и их начальных значений x₀, y₀, z₀.

Рассмотрим молекулы⁴⁾ жидкости, множество которых образует в начальный момент некоторую фигуру F₀; когда эти молекулы сместятся, их множество образует новую фигуру, которая будет деформироваться непрерывным образом, и в момент t множество рассматриваемых молекул образует новую фигуру F.

Мы предположим, что движение потока непрерывно, т. е. что u, v, w — непрерывные функции от x, y, z; тогда между фигурами F₀ и F существуют некоторые соотношения, очевидность которых следует из непрерывности.

Если фигура F₀ является непрерывной кривой или поверхностью, то фигура F будет непрерывной кривой или поверхностью.

Если F₀ представляет собой односвязный объем, то фигура F будет односвязным объемом.

Если фигура F₀ — замкнутая кривая или поверхность, то такой же будет фигура F.

Исследуем, в частности, случай жидкости; именно тот случай, когда жидкость несжимаема, т. е. когда объем жидкой массы не изменяется.

Предположим тогда, что фигура f₀ — объем; по истечении времени t жидкая масса, которая заполняла этот объем, займет другой объем, который будет ничем иным, как фигурой F.

Объем жидкой массы не должен был измениться; следовательно F₀ и F имеют один и тот же объем, что можно записать так:

ттт dx dy dz =  ттт dx0 dy0 dz0;

(2)

первый интеграл распространен на объем F, а второй — на объем F₀.

Мы скажем тогда, что интеграл

ттт dx dy dz

есть интегральный инвариант.

Известно, что условие несжимаемости может быть выражено уравнением

du dx  +  dv dv  +  dw dz  = 0.

(3)

Оба уравнения (2) и (3), следовательно, эквивалентны.⁵⁾.

< Далее Пуанкаре приводит еще два примера, относящихся к сжимаемому газу и вихрям Гельмгольца. >

235. В примерах, которые были только что указаны мною, мы легко приходим, по самой природе вопроса, к рассмотрению интегральных инвариантов.

Но ясно, что можно применить эти инварианты, обобщая их определение, в гораздо более распространенных случаях, когда им нельзя больше приписывать столь же простой физический смысл.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

dx X  =  dy Y  =  dz Z ,

(1)

где X, Y, Z — заданные функции от x, y, z.

Если бы мы умели интегрировать эти уравнения, то с их помощью были бы найдены x, y, z в функции от t и их начальных значений x₀, y₀, z₀.

Если мы будем рассматривать t как время, а x, y, z — как координаты движущейся точки M в пространстве, то уравнение (1) определит законы движения этой движущейся точки.

Те же уравнения после интегрирования определили бы нам положение движущейся точки M в момент t, если известно ее начальное положение M₀, координаты которого суть x₀, y₀, z₀.

Если рассматриваются точки, движущиеся по одному и тому же закону, множество которых образует в начальный момент фигуру F₀, то множество этих же точек образует в момент t другую фигуру F, которая будет линией, поверхностью или объемом в зависимости от того, будет ли сама фигура F₀ линией, поверхностью или объемом.

Рассмотрим теперь интеграл

т (A dx + B dy + C dz),

(2)

где A, B, C — известные функции от x, y, z; может случиться, что если F₀ есть линия, этот интеграл (2), распространенный на все элементы линии F, будет постоянной, не зависящей от времени, и равной, следовательно, значению того же интеграла, распространенного на все элементы линии F₀.

Предположим теперь, что F и F₀ — поверхности, и рассмотрим двойной интеграл

тт (Aўdy dz + Bў dx dz + Cў dx dy),

(3)

где Aў, Bў, Cў — известные функции от x, y, z. Может случиться, что этот интеграл имеет одно и то же значение как при распространении его на все элементы поверхности F, так и на все элементы поверхности F₀.

Вообразим теперь, что F и F₀ — объемы, и рассмотрим тройной интеграл

ттт M dx dy dz,

(4)

где M — функция от x, y, z; может случиться, что он имеет одно и то же значение для F и для F₀.

В этих различных случаях мы скажем, что интегралы (2), (3) и (7) являются интегральными инвариантами.

Иногда может случиться, что интеграл (2) будет иметь одно и то же значение для линий F и F₀ только тогда, когда эти две кривые замкнуты; или же что двойной интеграл (3) будет иметь одно и то же значение для поверхностей F и F₀ только тогда, когда эти две поверхности замкнуты.

Тогда мы скажем, что (2) является интегральным инвариантом относительно замкнутых кривых и что (3) — интегральный инвариант относительно замкнутых поверхностей.

236. Использованное нами геометрическое представление не играет, очевидно, никакой существенной роли; мы можем оставить его в стороне, и ничто не помешает более распространить предыдущие определения на случаи, когда число переменных больше трех.

Рассмотрим тогда уравнения

dx1 X1  =  dx2 X2  = ... =  dxn Xn  = dt,

(1)

где X1, X2, ..., Xn — заданные функции от x1, x2, ..., xn; если бы мы умели их интегрировать, мы нашли бы x1, x2, ..., xn как функции от t и их начальных значений x01,x02,..., x0n. Чтобы сохранить ту же терминологию, мы можем назвать точкой M систему значений x1, x2, ..., xn, а точкой M0 — систему значений x01,x02,..., x0n.

Рассмотрим множество точек M₀, образующих многообразие F₀, и множество соответствующих точек M, образующих другое многообразие F ⁶⁾.

Мы предположим, что F и F₀ — непрерывные многообразия p измерений, где p Ј n.

Рассмотрим тогда интеграл порядка p⁷⁾

т е A dw,

(2)

где A — функция от x₁, x₂, ..., x_n, а dw — произведение p дифференциалов, взятых среди n дифференциалов

dx1, dx2, ..., dxn.

Может оказаться, что этот интеграл имеет одно и то же значение для двух многообразий F и F₀. Тогда мы скажем, что это — интегральный инвариант.

Может случиться также, что этот интеграл принимает одно и то же значение для двух многообразий F и F₀, но только при условии, что эти два многообразия замкнуты. Тогда это — интегральный инвариант относительно замкнутых многообразий.

Можно еще вообразить другие виды интегральных инвариантов. Допустим, например, что p = 1 и что F и F₀ сводятся к линиям; может случиться, что интеграл

т (A1 dx1 + A2 dx2 + ... + An dxn) = т е Ai dxi

имеет одно и то же значение для F и F₀ и есть интегральный инвариант; но может случиться, что интеграл

тЦ _______________________ еBi dx2i+ 2еCi, k dxi dxk,

где B, C, так же как и A, — суть функции от x₁, x₂, ..., x_n; может случиться, говорю я, что этот интеграл принимает одно и то же значение для F и F₀, и было бы легко вообразить себе другие аналогичные примеры. Число p будет называться порядком интегрального инварианта.

237. Возьмем снова систему

dx1 X1  =  dx2 X2  = ... =  dxn Xn  = dt,

(1)

Если бы мы умели ее интегрировать, мы смогли бы образовать все ее интегральные инварианты

Действительно, если бы интегрирование было выполнено, можно было представить результат в форме

y1 = C1, y2 = C2, · · · · · yn–1 = Cn–1, z = t + Cn,

(2)

где C₁, C₂, ..., C_n — произвольные постоянные, y и z — заданные функции от x.

Заменим переменные, принимая за новые переменные y и z вместо x.

Рассмотрим теперь какой-нибудь интегральный инвариант; этот инвариант должен содержать под знаком т (который будет повторен p раз, если инвариант имеет порядок p) некоторое выражение, функцию от x и их дифференциалов dx. После замены переменных это выражение станет функцией от y, z и их дифференциалов dy и dz.

Чтобы перейти от точки фигуры F₀ к соответствующей точке фигуры F, следует, не меняя y, заменить z на z + t. Следовательно, при переходе от бесконечно малой дуги F₀ к соответствующей дуге F дифференциалы dy и dz не изменяются (в самом деле, величина t, прибавляемая к z, одна и та же для обоих концов дуги); наконец, если рассмотреть бесконечно малую фигуру F₀ любого числа измерений и соответствующую фигуру F, то произведение дифференциалов dy и dz (количество которых равно числу измерений F₀ и F) также не изменится, если перейдем от одной фигуры к другой.

Короче говоря, для того, чтобы некоторое выражение было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы величина z не входила в него; y, dy и dz могут входить в него любым образом.

Рассмотрим выражение того же вида, что и выражение, которое мы рассмотрели в предыдущем параграфе

т е A dw;

(3)

это выражение представляет интеграл порядка p, A — функция от x₁, x₂, ..., x_n, dw — произведение p дифференциалов, взятых из числа n дифференциалов

dx1, dx2, ..., dxn.

Мы хотим узнать, является ли это выражение интегральным инвариантом; производя замену переменных, указанную выше, приведем выражение (3) к виду

т е B dwў,

где B — функция от y и z, dwў — произведение p дифференциалов, взятых из числа n дифференциалов

dy1, dy2, ..., dyn–1, dz.

Чтобы выражение (3) было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы все B были независимы от z и зависели только от y.

Рассмотрим снова, как и в предыдущем параграфе, выражение

тЦ _______________________ еBi dx2i+ 2еCi, k dxi dxk,

(4)

где B_i и C_{i, k} суть функции от x.

После замены переменных это выражение примет вид

тЦ ________________________ еBiў dxў2i+ 2еCўi, k dxўidxўk,

я положил для бóльшей симметрии в обозначениях

xўi = yi   (i = 1, 2, ..., n – 1);    xўn = z.

Чтобы выражение (4) было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы все Biў и Cўi, k были независимы от z и зависели только от y.

< Далее Пуанкаре рассматривает примеры относительных инвариантов. >

242. Возьмем снова систему

dx1 X1  =  dx2 X2  = ... =  dxn Xn  = dt,

(1)

Мы можем составить соответствующие уравнения в вариациях в том смысле, как они были определены в начале главы IV.⁸⁾

Для того, чтобы составить эти уравнения, заменяем в уравнениях (1) x_i на x_i + x_i и пренебрегаем квадратами x_i; таким образом находим систему линейных уравнений

dxk dt  =  dXk dx1 x1 +  dXk dx2 x2 + ... +  dXk dxn xn.

(2)

Между интегралами уравнений (2) и интегральными инвариантами уравнений (1) имеется внутренняя связь, которую легко заметить.

Пусть

F(x1, x2, ..., xn) = const

— какой-либо интеграл уравнений (2). Это будет однородная функция относительно x и, кроме того, зависящая каким-либо образом от x. Я всегда могу предположить, что эта функция F однородна относительно x степени 1, ибо если бы это было не так, то стоит лишь возвысить F в подходящую степень, чтобы найти однородную функцию степени 1.

Рассмотрим теперь выражение

тF(dx1, dx2, ..., dxn);

(3)

я говорю, что это интегральный инвариант системы (1).

Я замечаю сначала, что величина под знаком интеграла

F(dx1, dx2, ..., dxn)

есть бесконечно малая первого порядка, поскольку величины dx₁, dx₂, ..., dx_n — бесконечно малые первого порядка, и что F — однородная функция первого порядка относительно этих количеств.

Интеграл (3), следовательно, конечен.

Установив это, допустим сначала, что фигура F₀ сводится к бесконечно малой линии, концы которой имеют следующие координаты:

x1, x2, ..., xn,

x1 + x1,  x2 + x2 + x2,  ...,  xn + xn.

Интеграл (3) сведется к единственному элементу и, следовательно, будет равен

F(x1, x2, ..., xn).

Это выражение, будучи интегралом уравнений (2), остается постоянным и будет иметь одно и то же значение для линии F₀ и для линии F.

Если теперь линия F₀ и, следовательно, линия F конечны, мы разбиваем линию F₀ на бесконечно малые части. Интеграл (3), распространенный на одну из этих бесконечно малых частей линии F₀, будет равен интегралу (3), распространенному на соответствующую бесконечно малую часть линии F. Интеграл, распространенный целиком на всю линию F₀, будет равен интегралу (3), распространенному целиком на всю линию F.

Итак, интеграл (3) есть интегральный инвариант, что и требовалось доказать.

Обратно, допустим, что (3) — интегральный инвариант первого порядка; я говорю, что

F(x1, x2, ..., xn)

будет интегралом уравнений (2).

Действительно, интеграл (3) должен быть одним и тем же для линии F₀ и для линии F, каковы бы ни были эти линии, и, в частности, если F₀ сводится к бесконечно малому элементу, концы которого имеют координаты

xi  и  xi + xi.

Тогда интеграл (3) сводится, как мы это уже видели, к

F(x1, x2, ..., xn).

(4)

Поскольку интеграл есть инвариант, это выражение (4) должно быть постоянным.

Итак, это есть интеграл уравнений (2), что и требовалось доказать.

Примечания:

⁰⁾ H.Poincaré. Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, Gauthier-Villars, Paris, t. 1, 1892; t. 2, 1893; t. 3, 1899; рус. пер. см. в издании Анри Пуанкаре. Избранные труды в трех томах, Наука, М., 1971-74.

¹⁾ Имеются в виду не насекомые-однодневки, а заранее вычисленные астрономические таблицы положений небесных светил, а также закономерных астрономических явлений — затмений, колебаний блеска переменных звезд и т. д.

²⁾ Имеется в виду течение несжимаемой жидкости.

³⁾ Здесь неявно предполагается, что траектории молекул жидкости являются гладкими функциями. В настоящее время в данном контексте более употребительно понятие элементарного объема жидкости.

⁴⁾ См. предыдущую сноску.

⁵⁾ Эта эквивалентность — простое следствие формулы Остроградского — Гаусса.

⁶⁾ Слово "многообразие" теперь достаточно употребительно, чтобы я не считал необходимым напомнить его определение. Таким образом обозначают всякое непрерывное множество точек (или систему значений): так же, как и в пространстве трех измерений, любая поверхность является многообразием двух измерений, а любая линия — многообразием одного измерения. Прим. А. Пуанкаре.

⁷⁾ Т. е. p-кратный интеграл.

⁸⁾ Имеется в виду обычное уравнение в вариациях.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created On 29 Mar 2000, 08:15.
Last modified 9 May 2002.