§ И2. Извлечения из «Дифференциального исчисления» Леонарда Эйлера0)

281. В этой главе мы ставим себе задачей прежде всего объяснить, как дифференцируется функции количества¹⁾ x, неявно определяемые уравнением, которое содержит в себе соотношение между функцией y и количеством x.²⁾ После этого мы остановимся на рассмотрении природы дифференциальных уравнений и покажем, каким образом они возникают из конечных уравнений.³⁾ Поскольку в интегральном исчислении наиболее трудным вопросом является интегрирование дифференциальных уравнений, т. е. нахождение таких конечных уравнений, которые согласовывались бы с дифференциальными уравнениями,⁴⁾ мы должны будем здесь внимательно рассмотреть свойства дифференциальных уравнений, вытекающие из их происхождения, и таким образом подготовить путь к изучению интегрального исчисления.

282. Приступая к решению поставленного вопроса, положим, что y есть такая функция количества x, которая определяется квадратным уравнением

y2 + Py + Q = 0.

Так как выражение y² + Py + Q = 0 равно нулю при любом значении x, оно будет также равно нулю, если вместо x написать x + dx; при этом y перейдет в y + dy. Если от количества, полученного после этой подстановки, отнять первоначальное количество y² + Py + Q = 0, в остатке получится его дифференциал, который в силу сказанного также будет равным нулю. Отсюда ясно, что всегда, если какое-либо выражение будет равно нулю, его дифференциал также будет равен нулю, и если два количества будут равны между собой, то и их дифференциалы будут равны.⁵⁾ Таким образом, поскольку y² + Py + Q = 0, мы будем иметь также

2y dy + P dy + y dP + dQ = 0,

а так как P и Q суть функции x, то их дифференциалы будут иметь вид

dP = p dx и dQ = q dq,

следовательно, будем иметь

2y dy + P dy + yp dp + q dq = 0,

откуда

dy dx  = –  yp + q 2y + P .

283. Подобно тому как конечное уравнение

y2 + Py + Q = 0.

выражает соотношение между y и x, так и дифференциальное уравнение выражает соотношение между dx и dy, т. е. отношение между dy и dx. Но так как мы имеем

dy dx

  = – 

yp + q 2y + P

, то это отношение dy : dx⁶⁾ будет известно лишь тогда, если будет известна сама функция y. Иначе и быть не может. В самом деле, так как конечное уравнение дает два значения y, каждое из них будет иметь свой дифференциал и из выражения  – 

yp + q 2y + P

  получится как тот, так и другой дифференциал, смотря по тому, подставим ли мы в это выражение то или другое значение y. Подобным образом, если функция y определяется из кубического уравнения, то функция 

dy dx

  будет иметь три значения, соответствующие трем значениям количества y. Если в предложенном конечном уравнении y имело бы четыре или большее число измерений,⁷⁾ то столько же значений должно иметь 

dy dx

. ⁸⁾

< Далее Эйлер показывает, что из одного и того же функционального уравнения можно вывести бесконечное число дифференциальных уравнений. >

288. Не только из одного и того же конечного уравнения можно вывести бесчисленное множество дифференциальных уравнений, но также можно найти много, и притом бесконечно много, конечных уравнений, которые приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Так, два уравнения

y2 = ax + ab

и

y2 = ax

совершенно отличны друг от друга, ибо в первом уравнении вместо b можно подставить любое постоянное количество. Однако оба эти уравнения после дифференцирования дают одно и то же дифференциальное уравнение

2y dy = a dx.

Более того, все уравнения вида y² = ax, какое бы значение ни приписать количеству a, могут быть охвачены одним дифференциальным уравнением, в которое a не входит. В самом деле, разделим наше уравнение на x, так что будем иметь

y2 x

  = a; после дифференцирования это уравнение даст

2x dy – y dx = 0.

Точно также трансцендентные уравнения и уравнения алгебраические могут приводить к одному и тому же дифференциальному уравнению, как это имеет место для уравнений

y2 – ax = 0

и

y2 – ax = b2ex/a.

Действительно, если то и другое уравнения разделить на e^x/a, то получатся уравнения

ex/a(y2 – ax) = 0

и

ex/a(y2 – ax) = b2.

После дифференцирования любого из них получается одно и то же дифференциальное уравнение

2y dy – a dx – y2dx a + x dx = 0.

289. Причина этой множественности состоит в том, что дифференциал постоянного количества равен нулю. Так, если конечное уравнение привести к такому виду, чтобы некоторое постоянное количество стояло бы одиноко и не умножалось или не делилось бы на переменные количества, то дифференцирование даст уравнение, в которое это постоянное количество вовсе не войдет. Таким образом, постоянное количество, входящее в конечное уравнение может быть устранено с помощью дифференцирования.⁹⁾ Так, пусть будет предложено уравнение

x3 + y3 = 3axy.

Если разделить его на xy, мы получим 

x3 + y3 xy

  = 3a; будучи продифференцировано, это уравнение даст уравнение

2x3y dx + 2xy3dy – x4dy – y4dx = 0,

в которое постоянное a больше не входит.

290. Если нужно избавиться от нескольких постоянных количеств, входящих в конечное уравнение, то это можно сделать с помощью дифференцирования, повторенного дважды или несколько раз¹⁰⁾. Таким образом, в конце концов будут получены дифференциальные уравнения высших порядков, совершенно не содержащие постоянных количеств. Так, пусть будет предложено уравнение

y2 = ma2 – nx2

и пусть требуется с помощью дифференцирования избавиться от постоянных количеств ma² и n. Первое из них устраняется после первого дифференцирования, и мы получаем

y dy + nx dx = 0;

отсюда мы образуем уравнение y dy x dx  + n = 0, которое при постоянном dx даст после дифференцирования уравнение11)

xy d2y + x dy2 – y dx dy = 0,

которое, хотя и не содержит никаких постоянных, однако охватывает все уравнения, представленные формулой y² = ma² – nx², какие бы значения ни были приписаны буквам m, n и a².

291. С помощью дифференцирования можно устранить не только постоянные, входящие в конечное уравнение, но также и одно из переменных, а именно то, дифференциал которого принят за постоянное.¹²⁾ Для этого из предложенного уравнения, связывающего x и y, нужно найти значение x; мы получим x = Y, где Y есть некоторая функция количества y; тогда будем иметь dx = dY и так как dx принято за постоянное, после дифференцирования мы имеем¹³⁾ 0 = d²Y. Если же мы будем иметь уравнение

x2 + ax + b = Y,

то, трижды дифференцируя его, получим 0 = d³Y. Уравнение же

x3 + ax2 + bx + c = Y,

четырежды дифференцированное,¹⁴⁾ даст 0 = d⁴Y. Может показаться, что в эти уравнения входит только одно переменное количество, и тогда оно перестало бы быть переменным, так как ни в каком уравнении переменное не может быть только одно.¹⁵⁾ Однако так как мы приняли, что дифференциал dx является постоянным и так как его отношение должно содержаться в уравнении, то нужно считать, что на самом деле он в уравнение входит.¹⁶⁾ Неудивительно поэтому, что часто встречаются дифференциальные уравнения второго и более высоких порядков, в которые входит, повидимому, только одно переменное.

< Далее Эйлер рассматривает возможности преобразования иррациональных и трансцендентных уравнений в дифференциальные. >

296. Так как дифференциальные уравнения первого и высших порядков, содержащие две переменные x и y, происходят из конечных уравнений, то и дифференциальные уравнения выражают соотношение между этими переменными¹⁷⁾. А именно, если предложено какое-либо дифференциальное уравнение, содержащее два переменных x и y, то оно обозначает, что между x и y существует некоторое соотношение, в силу которого y является какой-то функцией от x. Таким образом, природа дифференциального уравнения будет выяснена,¹⁸⁾ если можно будет представить y в виде такой функции x, которая указывается дифференциальным уравнением, т. е. которая составлена таким образом, что если повсюду подставить ее вместо y, ее дифференциал вместо dy, ее высшие дифференциалы вместо d²y, d³y и т. д., то получится тождественное уравнение.¹⁹⁾ Разысканием таких функций и занимается интегральное исчисление, цель которого состоит в том, чтобы по данному дифференциальному уравнению определить ту функцию количества x, которой равно другое переменное y, или, что то же, найти конечное уравнение, дающее соотношение между x и y.²⁰⁾

297. Пусть, например, предложено уравнение

2y dy – a dx – y2 dx a  + x dx = 0,

к которому мы пришли раньше (§ 288); оно определяет соотношение между x и y, выражаемое в то же время конечным уравнением

y2 – ax = b2ex/a.

Так как из этого уравнения мы находим y² = ax + b²e^x/a, то ясно, что

√	_________ ax + b2ex/a

 = y есть та функция от x, которой равно переменное y в силу предложенного уравнения. Ибо, если подставить в уравнение вместо y² значение ax + b²e^x/a и вместо 2y dy его дифференциал

a dx +

b2 a

ex/a dx

, то получим тождественное уравнение

a dx +  b2 a ex/a dx – a dx – x dx –  b2 a ex/a dx + x dx = 0.

Таким образом, ясно, что всякое дифференциальное уравнение, так же, как и уравнение конечное, выражает определенное соотношение между переменными x и y; однако это соотношение нельзя найти без помощи интегрального исчисления.

Примечания:

⁰⁾ Leonardo Eulero. Institutiones calculi differentialis cum eius vsu in analysi finitorum ac doctrina serierum, Impensis Academiae Imperialis Scientiarum, Petropolitanae, 1755; рус. пер. М.Я. Выготского в книге Леонард Эйлер. Дифференциальное исчисление, ГИТТЛ, М.-Л., 1949.

¹⁾ В современной терминологии — переменной, аргумента.

²⁾ Речь идет о правиле дифференцирования неявной функции.

³⁾ В современной терминологии — функциональных уравнений.

⁴⁾ Нахождение полного интеграла нулевого порядка эквивалентного исходному дифференциальному уравнению.

⁵⁾ Эти рассуждения представляют собой описание процедуры нахождения дифференциала неявной функции

⁶⁾ Следует отметить, что в объяснениях Эйлера, что есть бесконечно малая (т. е. дифференциал) и отношение бесконечно малых (т. е. дифференциалов), присутствует изрядная доля мистики: "Это учение о бесконечно малом станет более понятным, если мы разъясним, что такое бесконечно малое в математике. Нет никакого сомнения, что всякое количество может уменьшаться до тех пор, пока совсем не исчезнет и не обратится в ничто. Но количество бесконечно малое есть не что иное, как количество исчезающее, и поэтому оно точно равно нулю... Итак, если кто спросит, что такое бесконечно малое количество в математике, то мы ответим, что оно точно равно нулю. Следовательно, в этом понятии не кроется никаких тайн, какие ему обычно приписываются и которые для многих делают исчисление бесконечно малых весьма подозрительным." Несмотря на полемику с Лейбницем, оба трактуют дифференциал как бесконечно малое число. Впрочем, уже в наше время такое понимание бесконечно малых обрело строгое логическое обоснование в рамках так называемого нестандартного анализа (см., напр., М. Дэвис. Прикладной нестандартный анализ, М., Мир, 1980).

⁷⁾ Имеется в виду степень полинома от y, стоящего в левой части исходного функционального уравнения.

⁸⁾ Это типичный образец индукции того времени.

⁹⁾ Приближение к пониманию того, что множество решений дифференциального уравнения есть параметризованное семейство функций.

¹⁰⁾ Попытка понять от скольких параметров может зависеть общее решение дифференциального уравнения.

¹¹⁾ В нем d²y обозначает второй дифференциал, а dy² есть (dy)².

¹²⁾ В современной формулировке — именно то, которое принято за независимую переменную.

¹³⁾ Автономное дифференциальное уравнение.

¹⁴⁾ Еще один образец индукции.

¹⁵⁾ Имеются в виду функциональные и дифференциальные, а не алгебраические уравнения.

¹⁶⁾ Другими словами, несмотря на то, что в дифференциальном уравнении не указана явно переменная по которой ведется дифференцирование, предполагается, что входящие в уравнение функции есть функции одного и того же независимого переменного (см. трактовки ОДУ).

¹⁷⁾ В этой фразе и дальнейших рассуждениях, по существу, утверждается, что алгебраические преобразования уравнения и дифференцирование являются эквивалентными преобразованиями.

¹⁸⁾ То есть уравнение будет решено.

¹⁹⁾ По существу, современное определение решения дифференциального уравнения.

²⁰⁾ Найти общее решение или полный интеграл уравнения.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 27 Mar 2000, 20:43.
Last modified 7 May 2002.