§ И1. Извлечения из «Метод флюксий» Исаака Ньютона0)

До сих пор речь шла о методе вычисления, которые будет часто употребляться в последующем.¹⁾ Теперь для пояснения искусства анализа остается привести некоторые образцы задач, причем преимущественно таких, которых больше всего доставляет природа кривых. Но прежде всего следует заметить, что все заключающиеся в них затруднения можно свести к двум следующим проблемам относительно пути, описываемого местным движением, как либо ускоренным или замедленным.

Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каждый момент времени) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время.

Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути.

Если, например, в уравнении xx = yy представляет длину пути, пройденного к определенному моменту времени, а время измеряется и представляется описываемым с помощью другого пространства x, возрастающего с равномерной скоростью x., то 2xx. представляет собой скорость, с которой будет проходить путь y в этот момент времени, и наоборот. Поэтому я буду в последующем рассматривать величины как порождаемые посредством непрерывного нарастания, подобно пути, который описывает тело или какая-либо движущаяся вещь.

Но так как мы здесь привлекаем к рассмотрению время лишь в той мере, в которой оно выражается и измеряется равномерным местным движением, и так как, кроме того, сравнивать друг с другом можно только величины одного рода, а также скорости, с которыми они возрастают или убывают, то я в нижеследующем рассматриваю не время как таковое, но предполагаю, что одна из предложенных величин, однородная с другими, возрастает благодаря равномерному течению, а все остальные отнесены к ней как ко времени. Поэтому по аналогии за этой величиной не без основания можно сохранить название времени. Таким образом повсюду, где в дальнейшем встречается слово время (а я его очень часто употребляю ради ясности и отчетливости), под ним нужно понимать не время в его формальном значении, а только ту отличную от времени величину, посредством равномерного роста или течения которой выражается и измеряется время.²⁾

В дальнейшем я буду называть флюэнтами, или текущими величинами, величины, которые я рассматриваю как постепенно и неопределенно возрастающие; обозначать я их буду последними буквами алфавита u, y, x и z, чтобы их было возможно отличать от других величин, которые рассматриваются в уравнениях как известные и определенные и которые поэтому обозначаются первыми буквами алфавита a, b, c и т. д. Скорости, с которыми возрастают вследствие порождающего их движения отдельные флюэнты (и которые я называю флюксиями, или просто скоростями или быстротами), я буду обозначать теми же буквами, но пунктированными, например u., y., z., x., т. е. для скорости величины u я пишу u., аналогичным образом для скоростей других величин x, y и z я соответственно пишу y., z., x..3)

Предпослав это, я тотчас приступлю к изложению и прежде всего дам решение двух только что предложенных проблем.

По данному соотношению между флюэнтами определить соотношение между флюксиями.⁴⁾

Расположи уравнение, которое выражает данное соотношение, по степеням какой-либо из входящих в него текущих величин (например x) и члены его помножь на какую-либо арифметическую прогрессию, а затем на

x. x

. Это действие произведи отдельно для каждой из текущих величин. Затем положи сумму всех этих произведений равной нулю, и ты получишь искомое уравнение.⁵⁾

Если соотношение между текущими величинами x и y выражается уравнением

f(x,y) = x3 + ax2 + axy – y3 = 0,

то сперва расположи члены по x, а затем по y и помножь их, как указано ниже.⁶⁾

Сумма произведений есть

3xxx.– 2axx.+ ayx.– 3yyy.+ axy.= 0,

и это уравнение показывает, какое соотношение существует между флюксиями x. и y..

< Далее Ньютон рассматривает еще несколько примеров. >

По данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюэнтами.⁷⁾

Так как эта проблема обратна вышеизложенной, то ее можно решать с помощью противоположных действий, а именно, члены помноженные на x., должны быть расположены по степеням x и поделены на x. x , а затем — на показатели их степеней или же на какую-либо другую арифметическую прогрессию. После того как эти действия будут произведены и для членов, помноженных на u., y. или x., получившуюся при этом сумму по отбрасывании лишних членов следует положить равной нулю.

Предложено уравнение

3xxx.– 2axx.+ ayx.– 3yyy.+ axy.= 0,

Действие производится следующим образом:

Поэтому сумма

x3 – axx + ayx – y3 = 0

выражает искомое соотношение величин x и y.

Здесь следует заметить, что хотя член axy встречается дважды, я все же не выписываю его дважды в сумме

x3 – axx + ayx – y3 = 0

но один из них отбрасываю как лишний. Таким образом, если какой-либо член встречается дважды (или еще больше раз в том случае, если он получается от различных флюэнт), то в сумме членов его следует выписывать лишь один раз.⁸⁾

Прочие необходимые замечания я оставляю на долю проницательности самого мастера, тем более, что было бы излишним чересчур долго останавливаться на этом предмете, так как этим приемом проблема может быть решена не всегда. Я добавляю только одно замечание, а именно, что, найдя таким методом зависимость между флюэнтами, ты можешь затем согласно проблеме I вернуться к предложенному уравнению, содержащему флюксии, и тогда наверное узнаешь, правильно ли произведено действие или нет.

< Мы опускаем пример, подтверждающий последнее замечание. >

Предпослав все это беглым образом, я приступаю к общему решению.

Прежде всего следует заметить, что в предложенном уравнении знаки флюксий в отдельных членах должны быть одинакового измерения (ибо флюксии суть величины иного рода, чем те, для которых они служат флюксиями⁹⁾). Если в каком-либо случае дело обстоит иначе, то флюксию какой-либо флюэнты следует принять за единицу и помножить на нее низшие члены столько раз, сколько требуется для того, чтобы знаки флюксий привелись во всех членах к одинаковому числу измерений.

< Пример опускается. >

Уравнения, которые содержат только флюэнты, имеющие везде одинаковое число измерений, всегда можно привести к такому виду, чтобы в одной части находилось отношение флюксий (например,

y. x.

  или

x. y.

  или

z. x.

  и т. д.), а в другой — значение этого отношения, выраженное в простых алгебраических членах,¹⁰⁾ как, например,

y. x. = 2 + 2x – y.

В том случае, когда не может быть применено приведенное выше частное решение, уравнения всегда следует представлять в этой форме.

Поэтому когда в значении этого отношения имеется какой-либо член с составным знаменателем или радикалом или когда это отношение представляет собой корень неявного уравнения, то прежде чем приступить к действиям, ты должен совершить приведение либо посредством деления, либо с помощью извлечения корня, либо с помощью решения неявного уравнения, как мы это объясняли выше.¹¹⁾

Пусть, например, предложено уравнение

ay.– xy.– ax.+ xx.– yx.= 0.

Прежде всего приведение его дает

y. x.  = 1 +  y a – x

или

x. y.  =  a – x a – x + y .

При первом предположении я обращаю выражение

y a – x

  у которого знаменатель есть составное выражение a – x, в бесконечный ряд простых членов:

y a  +  xy aa  +  xxy a3  +  x3y a4  и т. д.

(приведение это производятся делением числителя y на знаменатель a – x), откуда получаю

y. x.  = 1 +  y a  +  xy aa  +  xxy a3  +  x3y a4  и т. д.

с помощью чего и следует определить отношение между x и y.

Таким же образом, если данное уравнение есть

y.y.= x.x.+ xxy.y.,

или

y.y.  x.x.  =  y. x.  + xx,

или после дальнейшего преобразования

y. x.  =  1 2  ±  √ ______ 1 4  + xx ,

то я извлекаю квадратный корень из членов 

1 4

  + xx и получаю бесконечный ряд

1 2  + xx – x4 + 2x7 – 5x8 + 14x10 и т. д.

При подстановке его вместо

±

√

_____ 1 4  + xx

  я буду иметь

y. x.  = 1 + xx – x4 + 2x7 – 5x8 + 14x10 и т. д.

или

y. x.  = –xx + x4 – 2x7 + 5x8 – 14x10 и т. д.

смотря по тому, прибавляю ли

±

√

_____ 1 4  + xx

  к 

1 2

  или вычитаю из нее.¹²⁾

< Мы опускаем еще один пример. >

Далее, чтобы легче было отличать одну из флюэнт от других, можно с достаточным основанием ту из флюксий, которая находится в числителе отношения, назвать величиной отнесенной, а ту, которая стоит в знаменателе и с которой сравнивается первая, — соотнесенной;¹³⁾ и этими же терминами можно соответственно называть и флюэнты. Для лучшего понимания дальнейшего можно представлять себе, что соотнесенная величина есть время или, лучше, какая-либо равномерно текущая величина, с помощью которой выражается и измеряется время, а другая, именно отнесенная, величина есть пространство, проходимое за это время вещью или точкой, обладающей некоторым ускоренным или замедленным движением. Сущность проблемы заключается тогда в определении пройденного за все время пути, если известна скорость для любого момента времени.

Уравнения, относящиеся к этой проблеме, можно привести к трем родам.

В первый входят те уравнения, в которых имеются две флюксии величин и только одна из флюэнт.¹⁴⁾

Во второй — те, которые содержат обе текущие величины с их флюксиями.¹⁵⁾

Наконец, в третий входят те, в которых имеются флюксии больше чем двух величин.¹⁶⁾

Предпослав это, я перехожу к решению проблемы в указанных трех случаях.

Прими единственную имеющуюся в уравнению флюэнту за соотнесенную величину и, преобразовав уравнение в соответствии с этим допущением (т. е. установив отношение флюксии второй величины к флюксии первой и значение этого отношения, выраженного через простые члены¹⁷⁾), помножь значение отношения флюксий на соотнесенную величину. Затем раздели каждый член этого выражения на показатель степени, в которую возведена в нем соотнесенная величина; то что ты таким образом получишь, и будет равно другой текущей величине.¹⁸⁾

< Мы опускаем примеры. >

До сих пор речь шла об уравнениях, которые заключают одну флюэнту. Когда же в уравнении появляются обе, то уравнение прежде всего следует привести к уже указанному виду, полагая с одной стороны отношение флюксий, а с другой — равную ему сумму простых членов.

Кроме того, если какой-либо член преобразованного таким образом уравнения представляет дробь с флюэнтой в знаменателе, то он должен быть освобожден от подобного знаменателя при помощи вышеприведенной замены текущей величины.

Таким образом, если дано уравнение

axy.+ xyx.– aax.= 0

или

y. x.  =  y a  +  a x ,

то в силу наличия члена

a x

  я беру произвольное b и вместо x пишу b + x или b – x или x – b. Если написать b + x, то получается

y. x.  =  y a  +  a b + x .

Обращая затем при помощи деления член

a b + x

  в бесконечный ряд, я вывел бы, что

y. x.  =  y a  +  a b  –  ax bb  +  aax b3  –  ax4 b4  и т.д.

< Еще один пример опускается. >

Подготовив таким образом (если это нужно) уравнение, расположи члены по степеням флюэнт, сперва ставя те, которые не содержат отнесенной величины, затем те, которые содержат ее в наименьшей степени, и т. д. Таким же образом распредели по отдельным родам члены согласно степеням соотнесенной величины и члены, которые образуют первый род (именно, которые не содержат отнесенной величины), запиши в виде горизонтального ряда слева направо, а остальные выпиши в левом столбце так, чтобы они образовывали нисходящий ряд, как это показано в нижеприведенной таблице.

Приготовив таким образом ряды, помножь первый или низший член первого рода на соотнесенную величину и раздели произведение на показатель его степени и то, что при этом получится, введи в результат.¹⁹⁾ Затем подставь это значение вместо отнесенной величины в те члены уравнения, которые расположены в левом столбце; второй член результата ты получишь из следующего низшего члена по тому же способу, каким добыт первый член результата. Повторяя эти действия, ты можешь продолжить результат сколь угодно.²⁰⁾ Это станет еще ясней из рассмотрения нескольких примеров.

Пусть дано уравнение

y. x. = 1 – 3x + y + xx + x.y.

Члены его 1 – 3x + xx, не содержащие отнесенной величины y, расположены, как видишь, в первой строке, а остальные члены y и xy — в левом столбце.

< Далее Ньютон подробно описывает действия по заполнению этой таблицы: "Прежде всего я помножаю первый член 1 на соотнесенную величину x и полученный при этом x, поделенный на показатель степени 1, я помещаю в выписанном ниже результате. Затем..." и т. д. >

Точно так же, если требуется определить соотношение между x и y из уравнения

y. x.  = 1 +  y a  +  xy aa  +  xxy a3  +  x3y a4  и т.д.,

в котором ряд предполагается продолжающимся до бесконечности, то наверху я пишу 1, остальные члены выписываю в левом столбце и затем произвожу действие, как это видно из представленной таблицы.

Предполагая, что мне предложено было найти выражение для y лишь до шестой степени x, я в силу этого опускаю при действии все члены, которые, как я предвижу, не будут использованы; это отмечается знаком "и т. д.", который я ставлю вместо отсеченных частей рядов.

Примечания:

⁰⁾ Эта работа (полное ее название "Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых") была написана Ньютоном в 1664 – 71 гг. и издана уже после его смерти; здесь она цитируется по изданию Isaaci Newtoni Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. 1, Lausaannæ et Genevæ, 1744 в пер. Д.Д. Мордухай-Болтовского (см. Исаак Ньютон. Математические работы, ОНТИ, М.-Л., 1937).

¹⁾ Имеется в виду численные расчеты с помощью разложения в ряды.

²⁾ В те годы изменения мыслились только с изменением времени, т. е. в качестве независимой переменной могло выступать только время. Независимость аргумента x означала, что скорость его изменения во времени постоянна. Производная dy/dx понималась как отношение скоростей изменения величин y и x во времени:

y. x.

.

3) То время было периодом интенсивного вырабатывания обозначений для появляющихся новых математических понятий. Для обозначения производных Ньютон использовал точку, а для обозначения первообразных — штрих: "Таким образом z'', z', z, z·, z··, z···, z····, z·····,и т. д. обозначают ряд величин, из которых каждая последующая есть флюксия предыдущей и каждая предыдущая есть флюэнта, имеющая своей флюксией последующую." (Цит. соч.) Приведем здесь же одну фразу из Эйлера: "Действительно, десятый дифференциал или десятую флюксию крайне неудобно обозначать таким образом:     z··········, тогда как наш способ обозначения d10y легко понятен." ("Дифференциальное исчисление", см. следующий очерк).

⁴⁾ Современная формулировка: какому дифференциальному уравнению удовлетворяют функции (независимого аргумента), связанные некоторым функциональным уравнением? Или: как дифференцировать неявно заданную функцию?

⁵⁾ У Ньютона нет других формул, кроме

(xn)′ = nxn–1.

Нет у него здесь формул производной произведения, дроби и сложной функции. (В "Математических началах натуральной философии", впрочем, дается формула для момента произведения.) Что производная суммы равняется сумме производных слагаемых — представляется ему совершенно очевидным. Основное правило Ньютона это не что иное, как правило определения производной полинома f(x, y) по t, когда x, y суть функции от t (t у него время). Мы будем писать, если

f(x, y) = x3 + ax2 + axy – y3 = 0,

что

∂f ∂x x′ +  ∂f ∂y y′ = 0,

где

∂f ∂x x′ = 3x2 + 2ax + y,    ∂f ∂y x′ = ax  – 3y2.

Ньютон предлагают находить эти (∂f/∂x)x′, (∂f/∂y)y′ следующим образом: члены с x³, x², x, x⁰ умножаются на 3x′/x, 2x′/x, x′/x, 0/x, а члены с y², y, y⁰ на 2y′/y, y′/y, 0/y. Прим. Д.Д. Мордухай-Болтовского.

⁶⁾ Звездочкой Ньютон обозначает члены, которые можно отбросить, но которые потребуются в дальнейшем.

⁷⁾ Найти общее (или хотя бы частное) решение дифференциального уравнения.

⁸⁾ Здесь описана следующая процедура нахождения частного решения дифференциального уравнения

(3x2 – 2ax + ay)dx = (3y2 + ax)dy.

Уравнение записывается в виде

d(x3 – ax2 – y 3 – axy) = 0,

откуда вытекает наличие решения

x3 – ax2 – y 3 – axy = 0.

Произвольной постоянной Ньютон не добавляет.

⁹⁾ Речь идет о том, что уравнение должно быть однородным, т. е. все его слагаемые должны измеряться в одних и тех же единицах измерения. Во времена Ньютона выражение вида x² + x считалось неправильным, поскольку нельзя "складывать площадь и длину".

¹⁰⁾ Таким образом, левая часть уравнения будет зависеть от производной y по x. См. сноску 2.

¹¹⁾ Речь идет, по существу, о хорошо известном методе Ньютона решения нелинейных уравнений, описываемом Ньютоном в предыдущем разделе трактата в форме представления решений в виде ряда.

¹²⁾ В этих примерах Ньютон описывает первый этап своего метод решения дифференциальных уравнений. В современной терминологии это приведение уравнения к нормальной форме и разложение правой части в степенной ряд.

¹³⁾ Зависимая и, соответственно, независимая переменные в дифференциальном уравнении (см. трактовки ОДУ).

14) Уравнения вида F(x, x., y.) = 0, приводящиеся к виду f(x, dy/dx) = 0.

15) Т. е. уравнения вида F(x, y, x., y.) = 0, приводящиеся к виду f(x, y, dy/dx) = 0.

¹⁶⁾ Одно дифференциальное уравнение с несколькими неизвестными.

¹⁷⁾ Т. е. разложенного в степенной ряд.

¹⁸⁾ В современных терминах это выглядит так: нужно уравнение f(x, y′) = 0 привести к виду y′ = φ(x) и проинтегрировать. Процедура же интегрирования сводится к разложению φ в степенной ряд и последующему почленному интегрированию ряда.

¹⁹⁾ Предлагается проинтегрировать ряд по степеням независимой переменной.

²⁰⁾ По существу, здесь описан следующий алгоритм. В уравнение подставляется разложение решения в ряд по степеням независимого аргумента с неопределенными коэффициентами. Затем коэффициенты при одинаковых степенях приравниваются. Получившаяся (бесконечная) система алгебраических уравнений получается треугольной, поэтому можно выписать ее решение в явном виде.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 27 Mar 2000, 17:29.
Last modified 7 May 2002.