Предисловие

Обыкновенные дифференциальные уравнения как учебная дисциплина университетского плана достаточно хорошо обеспечены литературой. Широко известны такие книги, как задачник А.Ф. Филиппова, учебники Л.С. Понтрягина, В.И. Арнольда, А.Н. Тихонова — А.Б. Васильевой — А.Г. Свешникова. Сохраняют свою ценность при изучении ряда разделов теории классические учебники В.В. Степанова и И.Г. Петровского. Интересны и полезны более новые учебники и учебные пособия А.М. Самойленко — С.А. Кривошеи — Н.А. Перестюка, Ю.С. Богданова — С.А. Мазаника — Ю.Б. Сыроида, а также изданные в разные годы книги Б.П. Демидовича, Н.М. Матвеева, Л.Э. Эльсгольца, М.В. Федорюка, А.П. Карташева — Б.Л. Рождественского.

Книга, которую авторы предлагают читателю, отличается, главным образом, тем, что она задумана скорее как путеводитель по основной проблематике и литературным источникам теории дифференциальных уравнений, чем как систематическое изложение основ предмета. Отсюда — весьма краткая собственно учебная первая часть книги, большая по объему вторая часть, содержащая очерки по различным разделам теории и примыкающий к ней необычно большой для учебного пособия библиографический список.

Первая часть написана (как надеются авторы) достаточно педантично, подробно и академично. Она содержит краткое введение в теорию, к которому авторы отнесли:

— основные приемы и идеологию интегрирования в квадратурах (глава 1),

— теоремы о разрешимости задачи Коши (глава 2),

— простейшие понятия и факты теории линейных уравнений (глава 3),

— краткое введение в теорию устойчивости по Ляпунову (глава 4).

Эта часть по объему и содержанию довольно точно соответствует лекционному курсу, неоднократно читавшемуся на математическом факультете Воронежского университета. Из используемых здесь не вполне традиционных понятий и фактов особо отметим введенное М.А. Красносельским понятие "оператора сдвига по траекториям дифференциального уравнения", которое "красной нитью" проходит через все изложение. Различные варианты этого понятия (и различные эквивалентные термины и обозначения) использовались, разумеется, и до, и наряду, и после М.А. Красносельского, однако именно от книги этого автора "Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений" идет четкое осознание того факта, что многие задачи теории дифференциальных уравнений наиболее естественно ставятся и решаются с помощью оператора сдвига.

Вторая часть книги предназначена служить введением в литературу по различным разделам теории обыкновенных дифференциальных уравнений и отнюдь не претендует на педантичность и академичность. Точность формулировок в этой части авторы считали скорее недостатком, чем достоинством - и убедительно просят читателей не цитировать этот материал как справочник. В педагогической работе составляющие эту часть очерки использовались в Воронежском и Новосибирском университетах для курсовых и дипломных работ и в семинарах для старшекурсников. Именно с этой частью, в основном, связан приводимый в книге обширный библиографический список. К ней относятся и извлечения из сочинений классиков по фундаментальным вопросам теории дифференциальных уравнений. Авторы отдают себе отчет в том, что любая хрестоматия во сто крат беднее оригинального источника, но также и в том, что во столько же раз беднее учебное пособие без хрестоматии.

В книге содержится (не очень) большое количество задач, как оригинальных, так и заимствованных (как правило, без указания источников). В первой части они делятся на:

— "упражнения", предназначенные для отработки навыков применения излагаемых алгоритмов и приемов,

— "контрольные вопросы", ответы на которые, как правило, основаны на непосредственном применении доказанных в данном параграфе утверждений,

— "задачи", требующие некоторых размышлений и рассуждений.

Задачи во второй части книги обычно соединены в усложняющиеся цепочки. По возможности, они подбирались так, чтобы в достаточно простых ситуациях выявлять суть обсуждаемых в очерках проблем. Как уже отмечалось, они могут использоваться для курсовых и дипломных работ (в последнем случае в качестве подхода к более сложным задачам).

Эпиграфы играют в этой книге, судя по реакции студентов, существенную роль, хотя авторы и не берутся определить, какую именно. Во всяком случае, если смысловая связь какого-либо эпиграфа с соответствующим параграфом покажется читателю сомнительной, то, возможно, именно раздумья на эту тему приведут его к созданию нового замечательного математического или литературного произведения.

От начала до конца книга написана и подготовлена к изданию Р.Р. Ахмеровым. Вклад второго автора заключался в кратких записках читавшегося им лекционного курса и подготовленных в разные годы задачах и контрольных вопросах.

Б.Н. Садовский