1.4.7. Принцип пространственной локализации

В формуле (4) взамен h, z О W₀ можно писать h, z О V_x, где V_x — некоторая окрестность точки x в W₀.

Этот принцип означает, что тензор напряжений в данной частице определяется лишь поведением среды в некоторой окрестности этой частицы. Если предположить аналитичность всех параметров среды, то принцип пространственной локализации можно переформулировать так. Тензор напряжений в данной частице зависит от предыстории параметров P и их производных в данной частице:

P[g(x, t), t] = F ж и x, t, И kОN ж и ¶k ¶xk g(x,·) к к [0, t] ,  ¶k ¶xk P[g(x,·),·] к к [0, t] ц ш ц ш .

Сплошная среда, для которой в правой части последнего равенства фигурируют только производные нулевого (т. е. сами функции) и первого порядков:

P[g(x, t), t] = F ж и x, t, g(x,·)|[0, t], ¶ ¶x g(x,·) к к [0, t] ,

P[g(x,·),·]|[0, t],  ¶ ¶x P[g(x,·),·] к к [0, t] ц ш ,

называется простой.

Наконец, если в правых частях приведенных выше уравнений взамен всех сужений функций f |_{[0, t]} на отрезок [0, t] фигурируют только сужения f |_{[t, t]} = f |_{t} = f(t) "на точку" t, то сплошная среда называется средой с бесконечно короткой памятью (синонимы: среда с нулевой памятью, среда без наследственности). Например, определяющие уравнения в простой среде с бесконечно короткой памятью должны выглядеть так:

P[g(x, t), t] = F ж и x,t, g(x,t),  ¶ ¶x g(x, t), P[g(x, t), t],  ¶ ¶x P[g(x,t), t] ц ш ,

или, короче,

P[g(x, t), t] = F ж и x,t, g,  ¶g ¶x , P[g, t],  ¶P(g, t) ¶x ц ш .

Описание последнего из формулируемых нами принципов — принципа независимости от системы отсчета — несколько сложнее. Оно требует дополнительных понятий.