1.1.5. Лагранжево и эйлерово описания сплошной среды

Как мы уже договорились, описать сплошную среду — это значит задать ее числовые характеристики. Это можно сделать, по крайней мере, двумя способами: привязывать характеристику к частице в данный момент времени и привязывать характеристику к точке пространства, в которой в данный момент находится частица. Эти два способа называются, соответственно, лагранжевым и эйлеровым описаниями сплошной среды. Таким образом, в лагранжевом подходе все характеристики задаются в переменных (x, t) О W₀ × R, а в эйлеровом — в переменных (x, t) О {W_t × {t}: t О R}. Соответственно, координаты (x, t) называются лагранжевыми координатами (или переменными), а (x, t) — эйлеровыми.

Эти два описания, разумеется, эквивалентны. Если известна некоторая характеристика F в лагранжевом описании, то можно найти ее представление в эйлеровом, и наоборот. Например, если v^L(x, t) и v^E(x, t) — лагранжево и эйлерово представления скорости, то, очевидно,

vL(x, t) = vE(g(x, t), t),

и, наоборот,

vE(x, t) = vL(g – 1(x, t), t).

Чтобы найти движение сплошной среды, т. е. траектории каждой частицы, в случае, когда известно поле скоростей в лагранжевом описании, достаточно найти интеграл от скорости:

gt(x) = x(t) = x(0) +  т t 0 xў(s) ds = x +  т t 0 vL(x,s) ds.

Если же поле скоростей задано в эйлеровом описании, то приходится решать задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

xў(t) = vE(x(t), t),   x(0) = x.

Каждое из этих описаний имеет свои преимущества и недостатки. В частности, основные дифференциальные уравнения сплошной среды (которые мы выведем ниже) проще в эйлеровом описании.